預(yù)見(jiàn)2019極坐標(biāo)參數(shù)方程

1、(1)理解坐標(biāo)系的作用.(2)了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.(3)能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.(4)能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.(5)了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法,并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較,了解它們的區(qū)別.(1)了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.(3)了解平擺線、漸開(kāi)線的生成過(guò)程,并能推導(dǎo)

2、出它們的參數(shù)方程.(4)了解其他擺線的生成過(guò)程,了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用,了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用. 選考必考題型之一，多考極參與普通方程的互化，直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 注意極坐標(biāo)系下的直線方程;極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程必須經(jīng)過(guò)普通方程建立聯(lián)系。題型示例極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，如圖所示。(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0，0,2)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下，由tan確定角

3、時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角。1.在極坐標(biāo)系中，圓是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓。(1)求圓的極坐標(biāo)方程。(2)求圓被直線所截得的弦長(zhǎng)。解(1)設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)，M(，)，如圖，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4。因?yàn)閏osAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，驗(yàn)證可知，極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程，故4cos為所求。(2)設(shè)l：(R)交圓C于點(diǎn)P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2。解：(1)圓C是將圓4cos繞極點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的圓，所以圓C的極坐標(biāo)方程是4cos。(2)將代入圓C的極坐標(biāo)方程4cos，得2，所以

4、圓C被直線l：(R)所截得的弦長(zhǎng)為2。2.在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足，記點(diǎn)的軌跡為。(1)求曲線的極坐標(biāo)方程。(2)求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最大值。解(1)設(shè)P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2。因?yàn)镸是上任意一點(diǎn)，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21，則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1，由直線cos，得：coscossinsin，即xy2，圓心(0,1)到直線xy2的距離為d，所以曲線C2上的點(diǎn)到直線co

5、s距離的最大值為1。3()在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程4cos(0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)，由題設(shè)知|OA|2，B4cos，于是OAB面積S|OA|BsinAOB4cos22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.4

6、. (2017全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線。(1)寫(xiě)出的普通方程。(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)：，為與的交點(diǎn)，求的極徑。解(1)消去參數(shù)t得的普通方程：yk(x2)；消去參數(shù)m得的普通方程：y(x2)，設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k并整理得x2y24(y0)。所以C的普通方程為x2y24(y0)。(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)，聯(lián)立得cossin2(cossin)。故tan，從而cos2，sin2。代入2(cos2sin2)4得25，所以交點(diǎn)M的極徑為。5

7、.(2015全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系中，直線：，圓C2：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求，的極坐標(biāo)方程；(2)若直線的極坐標(biāo)方程為()，設(shè)與的交點(diǎn)為，求的面積解：(1)因?yàn)閤cos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，|MN|12，因?yàn)镃2的半徑為1，所以C2MN的面積為.6.在直角坐標(biāo)系中，直線，圓:： (為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)求直線與圓的極坐標(biāo)方程。(2)設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，求的面積。解(1)將C的參數(shù)方程化為普通方程，

8、得(x1)2(y2)21，因?yàn)閤cos，ysin，所以直線l的極坐標(biāo)方程為(R)，圓C的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40。(2)將代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，|MN|12|，因?yàn)閳AC的半徑為1，所以CMN的面積為1sin。7. (2015全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系中，曲線(為參數(shù)，)，其中.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，.(1)求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的最大值解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)

9、方程為(R，0)，其中00)由(t為參數(shù))消去t得xy20.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程分別是y22ax(a0)，xy20.(2)將(t為參數(shù))代入y22ax(a0)，整理得t22(4a)t8(4a)0.設(shè)t1，t2是該方程的兩根，則t1t22(4a)，t1t28(4a)，因?yàn)閨MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，所以8(4a)248(4a)8(4a)，所以a1.12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，傾斜角.(1)寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的參數(shù)方程。(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的值。解(1)消去，得圓的

10、標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y216。直線l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù))。(2)把直線l的方程代入x2y216，得2216，即t2(2)t110，所以t1t211，即|PA|PB|11。13.(2016全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo)解：(1)C1的普通方程為y21，C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos，sin)因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d()，當(dāng)且僅當(dāng)2

11、k(kZ)時(shí)，d()取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.14.已知曲線，直線l：(為參數(shù))(1)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；(2)過(guò)曲線上任一點(diǎn)作與夾角為30的直線，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d|4cos3sin6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.15.已知直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐

12、標(biāo)方程為(1)求圓的直角坐標(biāo)方程；(2)若是直線l與圓面的公共點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為4sin，所以24sin4.又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22 y2x，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2 y0.(2)方法一：設(shè)zxy，由圓C的方程x2y22x2 y0(x1)2(y)24，所以圓C的圓心是(1，)，半徑是2，將代入zxy得zt.又直線l過(guò)C(1，)，圓C的半徑是2，所以2t2，即xy的取值范圍是2，2方法二：直線l的參數(shù)方程化成普通方程為xy2.由解得P1(1，1)，P2(1，1)因?yàn)镻(x，y)是直線l與圓面4sin的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P在線段P1

13、P2上，所以xy的最大值是(1)(1)2，最小值是(1)(1)2，所以xy的取值范圍是2，216在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.(1)設(shè)P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)2時(shí)，求點(diǎn)P到直線的距離的最小值；(2)若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍解：(1)由，得(cossin)2，化成直角坐標(biāo)方程，得(xy)2，即直線l的方程為xy40.依題意，設(shè)P(2cost，2sint)，則P到直線l的距離d22cos，當(dāng)t2k，即t2k，kZ時(shí)，dmin22.故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為22.(2)因?yàn)榍€C

14、上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，所以對(duì)tR，有acost2sint40恒成立，即cos(t)4恒成立，所以0，解得0a0，t20，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|3.23.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為(1)寫(xiě)出直線與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)過(guò)點(diǎn)平行于的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程解：(1)直線：yx，曲線C：y21.(2)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)及過(guò)點(diǎn)M的直線為l1： (t為參數(shù))，直線l1與曲線C聯(lián)立可得：(x02y0)tx2y20.因?yàn)閨MA|MB|，所以，即x2y6，而方程1表示一個(gè)橢圓取yxm

15、代入y21得：3x24mx2m220，由0得m，故點(diǎn)M的軌跡是橢圓1夾在平行直線yx之間的兩段弧24.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線交于兩點(diǎn)(1)若，求；(2)若點(diǎn)是曲線上不同于的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值【解析】(1) =2cos(+)可化為=2cos 2sin ，將，代入，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2+(y+1)2=2將直線的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))，代入(x1)2+(y+1)2=2，得t1=0，設(shè)方程的解為，則+=，=1，因而|PA|+|PB|=|+|=（5分）(2)將直線的參數(shù)方程化為普通方程得2xy1=0，設(shè)M(1+cos ，1+sin )，由點(diǎn)到直線的距離公式，得M到直線AB的距離為d=，最大值為，由(1)知 |AB|=|PA|+|PB|=，因而MAB面積的最大值為25.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標(biāo)方程為(1)求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓與直線交于兩點(diǎn)