113角的平分線的性質(zhì)1

1、1 1、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；A,O,B, A,O,B, 。把角。把角AOBAOB對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。2 2、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)P P。作。作PDPD垂直與垂直與OAOA，垂足為，垂足為DD。3 3、過點(diǎn)、過點(diǎn)P P作作OBOB邊的垂線邊的垂線PEPE，垂足為，垂足為E E。做一做做一做問：點(diǎn)問：點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)E重合嗎？由此你可得到重合嗎？由此你可得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？ 按照做一做做一做的順序畫AOB的折痕OC ,過點(diǎn)P的垂線段PD、PE ，并度量所畫PD、PE是否等長(zhǎng)？議一議：由此你可

2、得到什么猜想？議一議：由此你可得到什么猜想？畫一畫畫一畫同學(xué)甲、乙誰的畫法是正確的?角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等距離相等 議一議：由做一做和畫一畫你可得到什議一議：由做一做和畫一畫你可得到什么猜想？么猜想？驗(yàn)證 結(jié)論已知已知: :如圖如圖,OC,OC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E.D,E.求證求證:PD=PE.:PD=PE.而OPDOPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS). 故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它

3、們所在的OPDOPE，w角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. .OCB1A2PDE能否用符號(hào)語言來翻譯能否用符號(hào)語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的兩邊的距離相等”這句話請(qǐng)?zhí)钕卤恚哼@句話請(qǐng)?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E為為垂足垂足于是我們得角的平分線的性質(zhì)：于是我們得角的平分線的性質(zhì)： 在角的在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？否在角的平分線上呢？議議 一一 議議根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)

4、，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語言填寫下表：點(diǎn)P在AOB的平分線上 這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論：這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論： 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。分線上。請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過程請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過程同學(xué)們思考一下，這節(jié)課所學(xué)的這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三

5、邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.證明：證明：過點(diǎn)過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別垂直于分別垂直于AB、 BC、CA，垂足分別為，垂足分別為D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 的距離相等）的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、 CA的距離相等的距離相等想一想，點(diǎn)想一想，點(diǎn)P在在A A 的的 平分線上嗎？這平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？暢 談 收 獲，1 1、在、在RtR

6、tABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ ABCDE 2 2 、 如 圖、 如 圖 , O C, O C 是是 A O B A O B 的 平 分 線的 平 分 線 , , 點(diǎn)點(diǎn) P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用B 思考：思考：如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點(diǎn)一點(diǎn),問問PE=PD?為什

7、么為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等直所以不一定相等直思考：思考：要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應(yīng)建在何處？（比例尺處米，應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路練習(xí)練習(xí)1：如圖，如圖，的的的外角的平的外角的平分線與分線與的外角的平分線相交于的外角的平分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，所在直線的距離相等所在直線的距離相等F FGH練習(xí)練習(xí)2： 如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到AOB的兩邊的距離相等. CDABO知識(shí)拓展知