一致連續(xù)性定理

1、2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質實數(shù)完備性理論的一個重要作用就是證一、最大、最小值定理曾經(jīng)在第四章均給出過.明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質，這些性質三、一致連續(xù)性定理二、介值性定理首先來看一個常用的定理首先來看一個常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) , .a b在在上上有有界界證證 用兩種方法給出證明用兩種方法給出證明.第一種方法第一種方法 使用有限覆蓋定理使用有限覆蓋定理. 因為因為 f (x) 在在 a, b一、最大、最小值定理局部有界的性質化為整體有界性質局部有界的性質化為整體有界性質.上每一點連續(xù)上每一點連續(xù), 從而局

2、部有界從而局部有界. 我們的任務就是將我們的任務就是將 , ,0,0,ttta bM 對對于于任任意意的的存存在在以以及及(,) , ,ttxtta b 當當時時|( )|.tf xM H 覆蓋了閉區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間a, b. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 在在 H 中存中存1111(,), (,)nnttntnttttt , ,1,xa biin 于于任任意意存存在在使使 (,)| , ,ttttta bH 設設開開區(qū)區(qū)間間集集顯然顯然12 , .max,nttta bM 覆覆蓋蓋了了令令則對則對在有限個開區(qū)間在有限個開區(qū)間第二種證法第二種證法 采用致密性定理采用致密性定理.因為因為xn 有

3、界有界, 從而存在一個收斂的子列從而存在一個收斂的子列. 為了書為了書寫方便寫方便, 不妨假設不妨假設 xn 自身收斂自身收斂, 令令0lim.nnxx (,),|( )|.iiiitittxttf xM 因因此此設設 f (x) 在在a, b上無界上無界, 不妨設不妨設 f (x)無上界無上界. 則存在則存在lim().nnf x , ,nxa b 使使00,.( ),naxbaxbf xx 因因則則又又因因在在連連續(xù)續(xù)故由歸結原理可得故由歸結原理可得00lim()lim( )(),nnxxf xf xf x 矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函數(shù)若函數(shù) f (

4、x) 在在a, b證證 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 因而有界因而有界. 由確界定理由確界定理, f (x) 在在 a, b 上的值域有上確界上的值域有上確界. 設設上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 a, b 上取最大、最小值上取最大、最小值. , sup( ).xa bMf x :( , ).,Mfa b 要要證證若若不不然然 則則對對于于任任意意 , ,xa b 1( )( )F xMf x ( )f xM ， 于于是是在在a, b 上連續(xù)上連續(xù), 從而有界從而有界, 故存在故存在 G 0, 使使10( ).( )F xGMf x 這樣就有這樣就有1( ), , .f

5、xMxa bG這與這與 M 是是 f (x) 在在 a, b 上的上確界矛盾上的上確界矛盾.這就證明了上確界這就證明了上確界 M 與下確界與下確界 m 都是可取到的都是可取到的, 同理可證同理可證:下確界下確界 , inf( )xa bmf x 也屬于也屬于 f (a, b).最小值最小值.這也就是說這也就是說, M 與與 m 是是 f (x) 在在a, b上的最大、上的最大、(定理定理4.7) 設函數(shù)設函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)上連續(xù), 且且,( , ),a b 實實數(shù)數(shù) 則則存存在在使使證證 在第四章中在第四章中, 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理我們已經(jīng)用確界定理證明

6、此定理.現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明.( )( ),( ) , ,F xf xF xa b 設設則則在在上上連連續(xù)續(xù) 并并且且二、介值性定理f ( ). ( )( )f af b 若若是是介介于于與與之之間間的的一一個個f (a) f (b).將將 a, b 等分成兩個區(qū)間等分成兩個區(qū)間 a, c, c, b, 若若 F(c)=0, . 0)()( bFaF下去下去, 得到一列閉子區(qū)間得到一列閉子區(qū)間個區(qū)間的端點上的值異號個區(qū)間的端點上的值異號. 將這個過程無限進行將這個過程無限進行F(c1)=0, 已證已證. 不然同樣可知函數(shù)不然同樣可知函數(shù) F(x) 在其中一在其中一將將

7、a1 , b1 等分成兩個區(qū)間等分成兩個區(qū)間 a1, c1, c1 , b1, 若若間端點上的值異號間端點上的值異號, 將這個區(qū)間記為將這個區(qū)間記為a1, b1 . 再再已證已證. 不然不然, 函數(shù)函數(shù) F(x)在這兩個區(qū)間中有一個區(qū)在這兩個區(qū)間中有一個區(qū)11(i) ,1, 2,;nnnnababn (ii)0 ,;2nnnbaban (iii)()()0.nnF aF b 由區(qū)間套定理由區(qū)間套定理, 存在惟一的存在惟一的,1, 2,nnabn limlim.( )nnnnabF x并且因為在點連續(xù),并且因為在點連續(xù),20lim()()( ) ,nnnF aF bF 所所以以( )0.:F 即

8、這也就是說即這也就是說.)( f an , bn , 滿足滿足:(定理定理4.9) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在 a ,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在證證 (證法一證法一) 首先用致密性定理來證明該定理首先用致密性定理來證明該定理. 在在設設 f (x) 在在 a, b 上不一致連續(xù)上不一致連續(xù), 即存在即存在對于對于, 00 0(), , ,xxa b 一一切切無無論論多多么么小小 總總是是存存在在三、一致連續(xù)性定理a, b 上一致連續(xù)上一致連續(xù).究究.下述證明過程中下述證明過程中, 選子列的方法值得大家仔細探選子列的方法值得大家仔細探|,xx 雖雖然然但但0|()()|.f x

9、f x 現(xiàn)分別取現(xiàn)分別取11 1111, , ,|1,xxa bxx 110|()()|;f xf x 222211, , ,|,22xxa bxx 220|()()|;f xf x 11, , ,|,nnnnnxxa bxxnn 0|()()|;nnf xf x , , ,nnxxa b 由由此此得得到到兩兩列列雖雖然然1|0,nnxxn 0|()()|.nnf xf x 因為因為 xn 有界有界, 從而由致密性定理從而由致密性定理, 存在存在 xn 的的kknnkxxx0.lim. 一一個個收收斂斂子子列列設設.但是總有但是總有, bxakn因為因為所以由極限的不等式性質所以由極限的不等式

10、性質.0bxa連續(xù)連續(xù), 所以由歸結原理得到所以由歸結原理得到0lim |()()|kknnkf xf x 矛盾矛盾.(證法二證法二) 再用有限覆蓋定理來證明再用有限覆蓋定理來證明.00| lim( )lim( )|0,xxxxf xf x 0limlim()lim,kkkknnnnkkkxxxxx 因因為為以及以及 f0,0,( ;) , xxxU xa b 給存在當時有給存在當時有|()( )|.2f xf x 考慮開區(qū)間集考慮開區(qū)間集( ;)| ,2xHU xxab 那么那么 H 是是 a, b 的一個開覆蓋的一個開覆蓋. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理,因因 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 對任意一點對任意一點 , ,xa b 任任存在有限個開區(qū)間存在有限個開區(qū)間令令1min0,2iin 對于任何對于任何,baxx 只只要要,| xx那么那么x 必屬于上述必屬于上述 n 個小區(qū)間個小區(qū)間中的一個中的一個,(,).22iiiixxx 設于是設于是1111(,), (,)