(教師)七年級下壓軸題專題訓練(1)北師大版

1、1 / 11七年級數學下學期試題七年級下壓軸題專題訓練11.如圖，四邊形 ABCD 中，AB 丄 BC , CD 丄 BC, E 為 BC 上一點，且 AB=CE , CD=BE .(1) 求證：/ AED=90 ;(2) 若 EN 平分/ AED 交 AD 于 N，試判斷厶 BCN 的形狀并證明；(3) 在(2)問的條件下，猜想： MBC 與四邊形 ABCD 的面積有何數量關系？并說明理由.(1) 證明：TAB 丄 BC, CD 丄 BC ,/ ABE= / ECD=90 ,在 ABE 和厶 ECD 中，AB=CE / ABE= / ECD CD=BE , ABEECD ( SAS),/ A

2、EB= / EDC ,/ EDC+ / DEC=90 ,/ AEB+ / DEC=90 ,/ AED=90 ;(2) 解： BCN 為等腰直角三角形，證明： ABEECD ,AE=DE，/ BAE= / DEC,/ AED=90 , AED 為等腰直角三角形，/ EN 平分/ AED ,/ NED= / NAE=45 , EN 丄 AD ,/ BAN= / CEN , AN=EN ,在 BAN 和厶 CEN 中，AB=EC / BAN= / CEN AN=EN , BANCEN (SAS),NB=NC，/ ANB= / ENC ,/ ANB+ / BNE=90 ,/ ENC+ / BME=90

3、 , BNC 為等腰直角三角形；(3) 解：2SABNC=S 梯形 ABCD .理由如下： 作 NM 丄 BC ,AED 為等腰直角三角形，EN 平分/ AED ,N 點為 AD 的中點，/ AB 丄 BC, CD 丄 BC , NM 丄 BC,AB / CD / MN ,豆B2 / 11M 點為 BC 的中點，3 / 11 MN 為梯形 ABCD 的中位線，NE 丄 BC , SABNC=BC?NE?1/ 2,S 梯形 ABCD=BC ?NE , 2SABNC=S 梯形 ABCD .2. 已知 x, y 滿足(x+2y) (x-2y) =-5(y-), 2x(y-1)+4(：x-1)=0 .

4、求( 1) (x-y ) J; (2) x 弓 +y 乳 x 月 y 目.解：( x+2y ) (x-2y ) =-5 (y2-6 /5 ),x4y4=-5y 1+6, x2+y2=6 ,/ 2x (y-1 ) +4 (1/ 2 x-1 ) =0, 2xy-2x+2x-4=0 , xy=2 ,(1)(x-y) 2=x2+y2-2xy=6-4=2 ;(2)x4+y4-x2y2= (x2+y2 ) 2-2x2y2-x2y2=(x2+y2)2-3x2y2=36-3 4424.3.如圖 1，在等腰梯形 ABCD 中，BC / AD , BC=8 , AD=20 , AB=DC=10，點 P 從 A 點

5、出發(fā)沿 AD 邊向點 D 移動，點 Q 自 A 點出發(fā)沿 ATBTC 的路線移動，且 PQ/ DC,若 AP=x，梯形位于線段 PQ 右側部分的面積 為 S.(1) 分別求出點 Q 位于 AB、BC 上時，S 與 x 之間函數關系式，并寫出自變量 x 的取值范圍；(2)當線段 PQ 將梯形 ABCD 分成面積相等的兩部分時， x的值是多少？(3) 在(2)的條件下，設線段 PQ 與梯形 ABCD 的中位線 EF 交于 0 點，那么 0E 與 OF 的長度有什么關系？借助備用圖 2 說明理由；并進一步探究：對任何一個梯形，當一直線l 經過梯形中位線的中點并滿足什么條件時，其一定平分梯形的面積？(

6、只要求說出條件，不需證明)解：(1)等腰梯形中，/ A= / D，因為 PQ/ DC,所以 QP=AQ ,當 x 12 時，S 梯形=SABP+S 平行四邊形=48+ (x-12)X8,所以 SAAPQ= 1 3 x2(xw12) S 梯形=SAAPQ+S 平行四邊形=48+(x-12)X8(12vx 20);(2) S 梯形=1 2( 8+20)X8=112 ,當線段 PQ 將梯形 ABCD 分成面積相等的兩部分時，即 48+ (x-12 )?8=56 ,解之得，x=13 .(3) 如圖所示，過點 B 作 BM / PQ,由(2)得，PD=7=OE，在 ABM 中，FN=1 2 AM=6 ,

7、 ON=PM=1，所以 OF=7=OE ./ 11研究發(fā)現，當直線 L 經過梯形中位線的中點且與較短的底（上底）相交時，它一定平分梯形的面積.4.平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系（1） 如圖 a,若 AB / CD ,點 P 在 AB、 CD 外部， 則有/ B= / BOD ,又因/ / BPD+/ D，得/ BPD= / B-/ D .將點 P 移到 AB、CD 內部，如圖 b，以上結論是否成立？若成立，說明理 由；若不成立，則/ BPD、/ B、/ D 之間有何數量關系？請證明你的結論；（2）在圖 b 中，將直線 AB 繞點 B 逆時針方向旋轉一定角度交直線CD 于點 Q,如圖

8、c,則/ BPD、/ B、/D、/ BQD 之間有何數量關系？（不需證明）（3）根據（2）的結論求圖 d 中/A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F 的度數.5.已知點 C 為線段 AB 上一點， 分別以 AC、 BC 為邊在線段 AB 同側作 ACD 和厶 BCE， 且 CA=CD , CB=CE , / ACD=/ BCE，直線 AE 與 BD 交于點 F,（1）如圖 1，若/ ACD=60 ，則/ AFB=;如圖 2，若/ACD=90 ，則/ AFB= ;如圖 3，若/ ACD=120 ，則/ AFB=;（2） 如圖 4，若/ ACD=a,則/ AFB=（用含a的式子表示）

9、.EBOD 是厶 POD 的外角，故/ BOD=5 / 11解：(1)如圖 1, CA=CD，/ ACD=60 所以 ACD 是等邊三角形/ CB=CE，/ ACD= / BCE=60 所以 ECB 是等邊三角形/ AC=DC，/ ACE= / ACD+ / DCE，/ BCD= / BCE+ / DCE又/ ACD= / BCE/ ACE= / BCD/ AC=DC , CE=BC ACEDCB/ EAC= / BDC/ AFB 是厶 ADF 的外角/ AFB= / ADF+ / FAD= / ADC+ / CDB+ / FAD= / ADC+ / EAC+ / FAD= / ADC+ /

10、DAC=120 如圖2,TAC=CD，/ ACE= / DCB=90 , EC=CB ACEDCB/ AEC= / DBC ,又/ FDE= / CDB，/ DCB=90 / EFD=90 / AFB=90 如圖 3,vZACD=/BCE/ ACD- / DCE= / BCE- / DCE/ ACE= / DCB又 CA=CD , CE=CB ACEDCB/ EAC= / BDC/ BDC+ / FBA=180 -/ DCB=180 - (180-/ ACD ) =120/ FAB+ / FBA=120 / AFB=60 故填 120， 90， 60(2)VZACD= / BCE/ ACD+

11、/ DCE= / BCE+ / DCE/ ACE= / DCB/ CAE= / CDB/ DFA= / ACD /AFB=180-ZDFA=180-ZACD=180-a.6、如圖 1 所示：AM/ DN AE、DE 分別平分ZMAD 和ZAND 并交于 E 點.過點 E 的直線分別交 AM DN 于 B、C.(1) 如圖 2,當點 B、C 分別位于點 AD 的同側時，猜想 AD AB、CD 之間的存在的數量關系：(2)試證明你的猜想(3)若點 B、C 分別位于點 AD 的兩側時，試寫岀 AD AB CD 之間的關系，并選擇一個寫岀證明過程。(3)證明:第一種情況：當點 B 位于點 A 左側，點

12、 C 位于點 D 右側時，DC=AD+AB.6、（1）AD=AB+CD證明：在AD 上截取AB=AF/BAE=/ FAEAE=AEABEAAFE-A/ABC=/ AFE / AB II CD/ ABC+/BCD=180 又J/AFE+/DFE=180 / DFE=/ C/ DE 平分/ ADC：/ ADEN CDE在厶FDE和厶CDE中/ DFE=/ C叫/ ADE=/ CDEDE=DEFDEA CDE- DF=CD AF+DF=AB+CD即 AD=AB+CD圖 2在 CD 上截取 DF=AD,連接 EF.D9 / 11/ DE 平分/ ADC/ADEN CDEDA=DF/DFEN EAM 又

13、J/BAE+ZEAM=180/DFE+ZCFE=180/BAE=ZCFE/ AM/ DN/ABC=ZBCD在厶 8人和厶 CFE 中ZBAE=ZCFEZABC=ZBCDEA=EFBAEACFEAB=FC/ DC=DF+FC- DC=AD+AB在 AB 上截取 AF=AD,連接 EF / AE 平分ZBAD ZBAE=ZDAE在人。和厶 AEF 中AF=ADZBAE=ZDAE AE=AE在厶 BEF 和厶 CED 中廠ZBFE=ZEDCZABC=ZBCD第二種情況：當點B 位于點 A 右側，點 C 位于點 D 左側時,AB=AD+CD：AEFAAEDEF=ED ZAFE=ZADE/ DE 平分Z

14、AND/ADE=ZEDNAFE=ZEDN又TZAFE+ZBFE=180ZEDN+ZEDC=180 ZBFE=ZEDCTAM/ DNABC=ZBCD/ADE=ZCDEDE=DEEA=EF/DAE=ZDFE/ AE 平分/ DAM/DAEK EAMDE=EFBFEACDECD=BFJAB=AF+FB AB=AD+(D10 / 117、如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90, AC=BC 點 P 是斜邊中點，將一個等腰直角三角板繞點P 旋轉，三角板的兩條直角邊與 AC、BC 交于點 D、E,連結 PC.(1)求證：PC 平分/ ACB ;(2)_ 圖中有個等腰直角三角形，分別吉_；(3)求證：PD

15、=PE(1) CP 平分/ ACB/ AB=AC，點 P 是斜邊中點.CP 平分/ ACB(三線合一)(2) 3 個分別為 ： ABC APC BCP伯)TCP平分厶 ZDCPZECFyDCT=ZECP=4Efr/A3=AJCSZACESODCP=ZBAB=JiC點P是斜迦中點f-CP丄ABy/ ZDPE=9OQ：Z DPC+ZCFE= ZCFE+ZBFE -ZDPC=ZBPE丁AACF和ASCF都是等腰直駕三:形 氏=円在ADCP和蟲EEP中ZDC?=ZECFPC=FBDPC-ZBPEASCPSSABBP (ASA) -ipp=PE11 / 118 如圖，在ABC中，AD平分/BAC(1)若

16、AC=BCZB：/C=2 ： 1,試寫岀圖中的所有等腰三角形，并給予證明.(2)若A時BD= AC求/B：/C的比值.即/B：/C=2 : 1方法 2:延長 AB 到 E，使 AE=AC 連接 DE證明ADEAADC再類似證明得到/B=2/AED=/C利用“截長法”或“補短法”添加輔助線，將ACAB 或 AB + BD(ABC證明 1 分，ABDHADC的證明各 3 分，本小題共 7 分)等腰三角形有 3 個：ABCABDADC(只寫岀沒有任何證明，1 個給 1 分)證明： AC=BC/B=/BAC/B：/C=2:1/B+/BAG/C=180/B=/BAC=72，/C=36I/ BA=/DAC

17、=/BAC=36/B= /ADB=72 ,/DAC/C=36ABDHA ADC是等腰三角形(2)方法 1:在AC上截取AE=AB連接DE又/BAD/DAE AD=AD ABDAADE /AED/B， BD = DE/ AB+ BD= ACBD= ECDE=EC /B=/AED/EDC/C=2/C12 / 11轉化成一條線段13 / 119、已知：如圖， -丄；中，一 上二-I，匚丄-二于匚,53 平分_5 :,且二_丄于 E，與匚匚相交于點-匸：三是三邊的中點，連結匚三與三三相交于點.1(1)求證：3F - 二；(2)求證：亡總二?;(3) 三與王-的大小關系如何？試證明你的結論.證明:亠_二

18、； 形-BD = CD在二 J. J 二禾 口二. 一 中,工ZDESFD ZDCAW-ZEFC且佔FD=MFC? ? -?/. DBF=ADCA又/ZBDF = CDA9Q BD = CD二RtZXZ）勵坐DAC BF = AC(2)證明在 =：一三三-和?. r中T丄二 平分 王匚-是等腰直角三角14 / 11/. ZABE =ACBE.又BS=BErZBEABSC =9 ,(3)匸-證明：連結.rZ：=CZ.又片是蘭二邊的中點，匸三垂直平分蘭二在丄D_中，是斜邊，丁三是直角邊，二工咗三三10、圖中是一副三角板，45的三角板 RtDEF的直角頂點D恰好在 30的三角板 RtABC斜邊AB的中點處，/A=30o，ZE= 45,/EDF=/ACB=0,DE交AC于 點G GML AB于M.(1)如圖，當DF經過點C時，作CNLAB于N求證：AM=DN (2)如圖，當DF/ AC時，DF交BC于H,作HNL AB于N,( 1 )的結論仍然成立，請你說明理由.證明：（1）v/A=