二次曲面習(xí)題課

1、整理ppt1解析幾何習(xí)題課(二) 整理ppt2Chap. 4 二次曲面二次曲面(quadric surfaces)(quadric surfaces)空間解析幾何的兩個基本問題： 一、給定曲面，建立方程； 二、給定方程,研究它的圖形及其幾何性質(zhì)。整理ppt31 1、柱面、柱面 ( (cylinder) )定義定義：一直線L沿一已知曲線C平行移動而得的曲面稱為 柱面柱面。 C 準線 (directrix ) ， L 母線(ruling )( , )0( , )0,0 . F x zF x zyy方程表示為準線母線平行于 軸的柱面直柱面：整理ppt4射影柱面射影柱面0),(0),( zyxGzyx

2、F空間曲線依次消去一個變元0),(0),(0),(321zyFzxFyxF射影柱面柱面的參數(shù)方程柱面的參數(shù)方程(parametric equation)（P147 ex4）( ) ( ), ( ), ( ), , ( , )( )r ux uy u z usX Y Zr u vr uvs準線為母線平行于的柱面為整理ppt5圓錐面圓錐面 直線l1繞另一條與l1相交于O的直線l2旋轉(zhuǎn)一周 所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面. O 頂點 (vertex) 兩直線的夾角 半頂角 錐面錐面 一直線通過定點O，且沿空間中一條定曲線C 移動所產(chǎn)生的曲面稱為錐面. O 頂點 C 準線（不唯一 ） 動直線 母線（不唯一 ）

3、2 2、錐、錐 面面 (conical surface)(conical surface)整理ppt6錐面的參數(shù)方程（錐面的參數(shù)方程（P152 ex6）00000( ) ( ), ( ), ( ), ( , )( )(1)r ux uy uz urxyzr u vvr uv r準線為，頂點向徑為的錐面為整理ppt73、旋轉(zhuǎn)曲面 (surface of revolution)定義定義：曲線C繞定直線l旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 曲面曲面。 l 旋轉(zhuǎn)軸 ， C 母線( , )0:0f y zCzx曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為22( ,) 0fxyz旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程（旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)

4、方程（P158 ex3）2222( ) ( ), ( ), ( ) ( , )( )( )cos ,( )( )sin , ( ) .r ux uy u z uzr u vx uy uvx uy uv z u曲線 ： 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周得到整理ppt84 4、橢、橢 球球 面面 (ellipsoid)(ellipsoid) （1 1）橢球面的方程）橢球面的方程 )0,(1222222cbaczbyax（2 2）橢球面的性質(zhì)）橢球面的性質(zhì) （1）關(guān)于坐標原點、坐標軸、坐標面都對稱。 （2）czbyax| ,| ,|并有六個頂點 ),0,0( ,)0,0(,)0,0,(cba整理ppt9（3 3）形狀

5、（與三個坐標面的交線）：）形狀（與三個坐標面的交線）： 012222zbyax 是一個橢圓 (ellipse)012222yczax(2) 是一個橢圓 012222xczby(3) 是一個橢圓 xyzobca整理ppt10（4 4）橢球面的參數(shù)方程橢球面的參數(shù)方程sinsincoscoscosczbyax（廣義球坐標系）, 0222整理ppt115 5、雙曲面、雙曲面 (hyperboloid)(hyperboloid) I I 單葉雙曲面單葉雙曲面 (hyperboloid of one sheet)(hyperboloid of one sheet) 方程：方程： )0,(1222222c

6、baczbyax性質(zhì)：性質(zhì)： （1）關(guān)于坐標原點、坐標軸、坐標面都對稱。 （2）有四個頂點 )0,0(,)0,0,(ba（3）形狀： 012222zbyax（1） 是一個橢圓 （腰橢圓） xyzo整理ppt12012222yczax（2） 是雙曲線 (hyperbola) 012222xczby（3） 是雙曲線 （4） 是一個橢圓 hzchbyax2222221xyzo整理ppt13IIII雙葉雙曲面雙葉雙曲面 (hyperboloid of two sheets) 方程： 性質(zhì)： （1）關(guān)于坐標原點、坐標軸、坐標面都對稱。 （2）有兩個頂點 （3）形狀： )0,(1222222cbaczby

7、ax),0,0(c012222yczax012222xczby（6） 是雙曲線 （7） 是雙曲線 整理ppt14)0,(1222222cbaczbyax 參數(shù)方程參數(shù)方程 (P168 ex.7)(1) 單葉雙曲面(2) 雙葉雙曲面)0,(1222222cbaczbyaxsec cossec sintanxauvybuvzcutan costan sinsecxauvybuvzcu整理ppt156 6、拋、拋 物物 面面 (paraboloid)(paraboloid) I I橢圓拋物面橢圓拋物面(elliptic paraboloid)(elliptic paraboloid) 方程方程： )

8、0,(22222bazbyax性質(zhì)性質(zhì)： （1）橢圓拋物面對稱于XOZ與YOZ坐標面， 對稱于z軸，無對稱中心。 （2）與對稱軸交于原點（0，0，0）， 叫做橢圓拋物面的頂點。 xyzo整理ppt16（3）形狀： 0222yzax0222xzby（1） 是拋物線 (parabola) （2） 是拋物線 主拋物線主拋物線 （3） 是一個橢圓 容易知道圖形（3）的兩對頂點分別在主拋物線（1）與（2）上。 hzhbyhax2222122xyzo整理ppt17 （4） 是拋物線 tybtzax)2(22222xyzo整理ppt18IIII雙曲拋物面雙曲拋物面 (hyperbolic paraboloi

9、d)(hyperbolic paraboloid) 方程方程： 性質(zhì)性質(zhì)： )0,(22222bazbyax（1）橢圓拋物面對稱于XOZ與YOZ坐標面， 對稱于z軸，無對稱中心。 （2）形狀： 002222zbyax（5）是一對相交于原點的直線整理ppt190222yzax0222xzby（6）是拋物線 （7）是拋物線 主拋物線主拋物線 （8）是雙曲線(hyperbola) hzhbyhax2222122tybtzax)2(22222（9） 是拋物線整理ppt20、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線定義：由一族直線生成的曲面稱為直紋面直紋面(ruled surfac

10、e)這族直線稱為曲面的一族直母線一族直母線。整理ppt21、單葉雙曲面、單葉雙曲面)0,(1222222cbaczbyax不同時為零wubywczaxubyuczaxw, 11u 族直母線不同時為零tvbytczaxvbyvczaxt, 11v 族直母線&對于單葉雙曲面上的每個點，兩族直母線中各有一條 直母線經(jīng)過該點整理ppt22)0,(22222bazbyax、雙曲拋物面、雙曲拋物面 2 2zbyaxvvbyaxorzbyaxuubyax&對于雙曲拋物面上的每個點，兩族直母線中各有一條直母線經(jīng)過該點直母線：整理ppt23定理定理單葉雙曲面上異族的任意兩直母線必共面，而雙曲拋物

11、面上異族的任意兩直母線必相交。定理定理單葉雙曲面或雙曲拋物面上同族的任意兩直母線總是異面直線，而且雙曲拋物面上同族的全體直母線平行于同一平面。整理ppt24例例 題題整理ppt25例例1. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx整理ppt26例例 2. 試建立頂點在原點, 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方

12、程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM整理ppt27xy例例3. 求坐標面 xoz 上的雙曲線22221xzac分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)222221xyzac繞 z 軸旋轉(zhuǎn)222221xyzac這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z整理ppt28例 4、求準線是 ，母線方向為 的柱面方程。 22250 xyz(5,3,2)s 解：準線可改寫為( )(5cos ,5sin ,0), 0,2

13、r uuuu所求柱面方程為( , )(5cos ,5sin ,0)(5,3,2) (5cos5 ,5sin3 ,2 ).r u vuuvuvuvv消去參數(shù) u, v 得2253()()25.22zzxy整理ppt29例 5、求半徑為2，對稱軸為 的圓柱面方程。 234xyz解：在所求圓柱面上任取一點 ，( , , )M x y z由|(2,3,4)|2.|(2,3,4)|OM 得222(43 )(24 )(32 )116.yzzxxy整理ppt30例 6、求準線是 ，頂點為原點的錐面方程。 22xpyzk解：準線方程為2( )( , ), (,)2ur uukup 所求錐面方程為22( , )

14、( , )(,).22uu vr u vv ukuvkvpp消去參數(shù) u, v 得22.kxpyz整理ppt31例7、由橢球面 的中心，引三條兩兩 互相垂直的射線，分別交曲面于 ，設(shè) ，試證： 2222221xyzabc123,P P P112233,OPr OPr OPr222222123111111.rrrabc（課本P162, ex4）解：設(shè) 的單位向量分別為312,OP OP OP 123123123(,),( ,),( ,)a a ab b bc c cP1的坐標為 ，代入橢球面方程，得 1 11213(,)ra ra ra222312222211.aaarabc整理ppt32同理可

15、得 222312222222223122222311.bbbrabccccrabc由于 兩兩垂直，知 是正交的矩陣，312,OP OP OP 123123123aaabbbccc于是有222111222222222333111abcabcabc所以222222123111111.rrrabc整理ppt33例 8、試求單葉雙曲面 上互相垂直的兩 直母線交點的軌跡方程。 2222221xyzabc（課本P182, ex8）11: 1xzyuvacbLxzyvuacb 解：過單葉雙曲面上所求軌跡上一點 的兩條直母線分別為L1和L2000(,)xyz當 時， 010yb000, 1;xzyuvacb

16、當 時， 010yb0001, .yxzuvbac 整理ppt34L1和L2的方向向量分別為2222122221121(),(),121(),()uvsuvuvbcacabststsstbcacab21: 1xzystacbLxzytsacb 當 時， 010yb0001, ;yxzstbac 當 時， 010yb000, 1.xzystacb 整理ppt35由 垂直，得 12,s s 222222222222221()()()()0.uvsta uvtsuvsta ca b010yb010yb分別在 和 的情況下，計算上式各項，再整理得所求軌跡均為 2220002222222220001,.

17、xyzabcxyzabc整理ppt36例例9.9. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t整理ppt371xty tz2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方程為4)(4222zyx例例10. 10. 求空間曲線 :整理ppt38r例例11. 11. 直線11

18、01:zyxL繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周, 求此旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲面的方程. 解解:在 L 上任取一點), 1 (000zyM軸繞為設(shè)zMzyxM0),(旋轉(zhuǎn)軌跡上任一點,Lxozy0MM則有00zy z22yx 201y得旋轉(zhuǎn)曲面方程1222zyxr，代入第二方程將zy 0整理ppt39例例12 12 求求在xoy 面上的投影曲線方程。222201xyyyz1) 1() 1(1:222222zyxzyxC002222zyyx整理ppt40zxyo1C例例13 13 求所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域。上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxz

19、yxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:整理ppt4122yxz221zxyxyz 221xyxy2210 xyxyz 例例1414求曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 1zyx解：解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為 此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為 2yz 0 x,它與所給平面的整理ppt42作作 圖圖 練練 習(xí)習(xí)整理ppt43 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo21、畫圖:整理ppt44(3)zxyo oaoa222azx222ayx整理ppt45(4)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy整理ppt46yz2x3思考思考: :by 對平面交線情況如何?,3時當b交線情況如何?,3時當b(5)19422yx3y整理ppt47,2) 1 (2xy 拋物柱面0z平面; 1224z