圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式及其推導(dǎo)過程

1、圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式及其推導(dǎo)過程關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長(zhǎng)，通用方法是將直線ykxb代入曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)AXi,yi,BX2，y2，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式J（1k2）（x1x2）24x1x2求出弦長(zhǎng),這種整體代換、設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長(zhǎng)是十分有效的，然而對(duì)于過焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，若利用圓錐曲線的定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷.一、橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)* V22若橢圓方程為:41（ab0）,半焦距為c>0,焦點(diǎn)Fi（c,0）,F2（c,0）,設(shè)過Fiab的直線l的傾斜角為，l交橢圓于兩點(diǎn)Ax

2、i，yi,Bx2，y2，求弦長(zhǎng)AB.解：連結(jié)F2A,F2B,設(shè)|FiA|x,|FiB|y,由橢圓定義得|F2A2axB2ay,由余弦定理得x2 (2c)2 2x 2c cos2b2(2ax)2,整理可得xb,同理可求accos2ab2-222 ；a c cos.2.2.2得y，則|AB|xyaccosaccosaccos2同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|AB|a（a為長(zhǎng)半軸，b為短acsin半軸，c為半焦距）.結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式:22ab2222AB a c cos 2ab_2_22a c sin（焦點(diǎn)在x軸上）,（焦點(diǎn)在y軸上）.、雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)22設(shè)雙曲線I41a0,b0,其

3、中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fi（c,0）,F2（c,0）,過Fi的直線l的ab傾斜角為，交雙曲線于兩點(diǎn)Axi，yi,BX2，y2，求弦長(zhǎng)|AB|.解：（1）當(dāng)arctanarctan一時(shí)，（如圖2）aa圖2直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在同一支上，連FzAB,設(shè)|FiAx,|FiBy,)(y 2a)2由雙曲線定義可得p2Ax2a,RBy2a,由余弦定理可得x2(2c)22x2ccos(x2a)2,y2(2c)22y2ccos(整理可得xb2 a c cosb2，y a c cos,則可求得弦長(zhǎng)AB x y(2)當(dāng) 0b2b22ab2222；a c cos a c cos a c cosb . arctan

4、 一取 ab arctan a時(shí)，如圖3,直線l與雙曲線交點(diǎn)Axi,yi,Bx2,y2在兩支上，連F2A,F2B,設(shè)|FAx,|FiBy,則F2Alx2a,F2B|y2a,由余弦定理可得2_2_22_2_2x2(2c)22x2ccos(x2a)2,y2(2c)22y2ccos(y2a)2,整理可得，xb2,y c cos ab2c cosAB y xb2b2c cos a c cos2ab222 .cos a因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為2ABa22ab22c cos2ab2-2 2c cosa2(0(1 b (arctanaarctan b 或a1 b、arctan ),a( b arctana

5、).同理可得焦點(diǎn)在y軸上的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2AB a2ab22 . 2 c sin(02ab22 . 2 c sinarctan b 或ab-2 (arctan 一a a( b arctana b arctan). a),其中a為實(shí)半軸，b為虛半軸，c為半焦距,為AB的傾斜角.三、拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)若拋物線y22px（p0）與過焦點(diǎn)嘴,0）的直線l相交于兩點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,若l的傾斜角為，求弦長(zhǎng)|AB|.（圖4）圖4一則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為P2解：過A、B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線AAi、BBi,Ai、Bi為垂足，設(shè)"Ax,|FBxcos，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為ycos,由拋物線定義知p2x cos

6、x pVcospx,ycos22y,即x p1 cosp1 cos同理y2p1 cos2p1 cos 1 cos22p2sin2px(p 0)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|AB| 3 sin2x22py（p0）的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為AB二L,所以拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為cos2p（焦點(diǎn)在x軸上），IABsin2p（焦點(diǎn)在y軸上）.cos由以上三種情況可知利用直線傾斜角求過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)，非常簡(jiǎn)單明確，應(yīng)予以掌握?qǐng)A錐曲線的弦長(zhǎng)公式一、橢圓：設(shè)直線與橢圓交于Pi(xi,yi)R(x2,y2),且PiP2斜率為K,則|PiP2|=|xi-X2|f(1K2)或|PiP2|=|yi-y2|q'(11/K2)K=(y?-yi)/(x2-xi).22=(1k)(Xix2)4x1x2二、雙曲線：設(shè)直線與雙曲線交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K,則|P1P2|=|x1-x2|y'(1K2)或|P1P2|=|y1-y2|7(11/K2)K=(乎-y1)/(x2-x1)=(1/)(為x2)24x1x2三、拋物線：(1)焦點(diǎn)弦：已知拋物線y2=2px,A(x,y1),B(x2,y2),AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，則|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin2)為弦AB的傾斜角或|ab|2P上丁(k為弦AB所在直線的斜率)1k(2)設(shè)直線與拋物線交