2小升初數(shù)學(xué)講義幾何篇1教師版

1、小升初提升專題 -幾何（一）一、熱點命題方向幾何問題是小升初考試的重要內(nèi)容，分值一般在12-14分（包含1道大題和2道左右的小題）。尤其重要的就是平面圖形中的面積計算，幾何從內(nèi)容方面，可以簡單的分為直線形面積（三角形四邊形為主），圓的面積以及二者的綜合。其中直線形面積近年來考的比較多，值得我們重點學(xué)習(xí)。從解題方法上來看，有割補法，代數(shù)法等，有的題目還會用到有關(guān)包含與排除的知識。二、考點預(yù)測小升初考試將以大題形式考查幾何，命題的熱點在于等積變換和燕尾定理在求解三角形面積里的運用同時還需要重點關(guān)注在長方形和平行四邊形框架內(nèi)運用邊長比等于相似比的定理，請重點學(xué)習(xí)沙漏原理的題型。三、典型例題解析1 等

2、積變換在三角形中的運用首先我們來討論一下和三角形面積有關(guān)的問題，大家都知道，三角形的面積=1/2×底×高因此我們有【結(jié)論1】等底的三角形面積之比等于對應(yīng)高的比【結(jié)論2】等高的三角形面積之比等于對應(yīng)底的比這2個結(jié)論看起來很顯然，可大家小看它們，在許多和三角形面積比有關(guān)的題目中它們都能發(fā)揮巨大的作用，因為它們把三角形的面積比轉(zhuǎn)化為了線段的比，我們來看下面的例題?！纠?】（）如圖，四邊形ABCD中，AC和BD相交于O點，三角形ADO的面積=5，三角形DOC的面積=4，三角形AOB的面積=15，求三角形BOC的面積是多少？【解】：SADO=5,SDOC=4根據(jù)結(jié)論2，ADO與DOC

3、同高所以面積比等于底的比,即AO/OC=5:4同理SAOB/SBOC=AO/OC=5:4,因為SAOB=15所以SBOC=12?！究偨Y(jié)】從這個題目我們可以發(fā)現(xiàn)，題目的條件和結(jié)論都是三角形的面積比，我們在解題過程中借助結(jié)論2，先把面積比轉(zhuǎn)化成線段比，再把線段比用結(jié)論2轉(zhuǎn)化成面積比，解決了問題。事實上，這2次轉(zhuǎn)化的過程就相當(dāng)于在條件和結(jié)論中搭了一座“橋梁”，請同學(xué)們體會一下?！就卣埂縎AOD×SBOC=SCOD×SAOB，也適用于任意四邊形。【練習(xí)】如下圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面

4、積為3平方千米，公園陸地的面積是6.92平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？【例2】（）將下圖中的三角形紙片沿虛線折疊得到右圖，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為2:3。已知右圖中3個陰影的三角形面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少？【解】：粗線面積：黃面積=2：3， 綠色面積是折疊后的重疊部分，減少的部分就是因為重疊才變少的，這樣可以設(shè)總共3份，后來粗線變2份，減少的綠色部分為1份，所以陰影部分為2-1=1份，【總結(jié)】份數(shù)在小升初中運用的相當(dāng)廣，一定要養(yǎng)成這個思想！2 燕尾定理在三角形中的運用 下面我們再介紹一個非常有用的結(jié)論:【燕尾定理】:在三角形ABC中，AD,BE,CF相交

5、于同一點O,那么SABO:SACO=BD:DC 【證明】：根據(jù)結(jié)論2 BD/DC=SABD/SADC=SBOD/SCOD因此BD/DC=( SABD- SBOD)/( SADC- SCOD)=SABO/SACO證畢上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為ABO和ACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理。該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用。【例3】（）在ABC中=2:1, =1:3，求=?【分析】題目求的是邊的比值，我們可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以方法二是我們要首選的方法。本題的圖形一看就知道是

6、燕尾定理的基本圖，但2個燕尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補全，所以第一步我們要連接OC?！窘狻浚哼B接OC因為AE:EC=1:3 (條件)，所以SAOE/SCOE=1:3 若設(shè)SAOE=x,則SCOE=3x，所以SAOC=4x,根據(jù)燕尾定理 SAOB/ SAOC=BD/DC=2:1，所以SAOB=8x，所以BO/OE=SAOB/SAOE=8x/x=8:1。【例4】（）三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（陰影部分）的面積為多少？ 【解】：因為缺少尾巴，所以連接BN如下，的面積為3×2÷2=3這樣我們可以根據(jù)燕尾定理很容易發(fā)現(xiàn)：=CD：

7、BD=2：1；同理：=BM：AM=1：1；設(shè)面積為1份，則的面積也是1份，所以得面積就是1+1=2份，而：=CD：BD=2：1，所以得面積就是4份；：=BM：AM=1：1，所以也是4份，這樣的面積總共分成4+4+1+1=10份，所以陰影面積為3×=。3 平行線定理在三角形中的運用（熱點）下面我們再來看一個重要定理：平行線的相關(guān)定理：（即利用求面積來間接求出線段的比例關(guān)系）同學(xué)們應(yīng)該對下圖所示的圖形非常熟悉了相交線段AD和AE被平行線段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形狀完全相似所謂“形狀完全相似”的含義是：兩個三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例體現(xiàn)在右圖中， 就是AB：AD=

8、BC：DE=AC：CE=三角形ABC的高：三角形ADE的高這種關(guān)系稱為“相似”，同學(xué)們上了中學(xué)將會深入學(xué)習(xí)相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系在解幾何問題的時候非常有用，要多加練習(xí)在實際運用的時候，相似的三角形往往作為圖形的一部分，有時還要經(jīng)過翻轉(zhuǎn)、平移等變化（如右下圖），往往不易看出相似關(guān)系如（右下圖）AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC與三角形DEC也是相似三角形下圖形狀要牢記并且要熟練掌握比例式 【例5】（）如圖所示，BD，CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4 cm，CED的面積是6cm。問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【解】：方法一：連接BF

9、，這樣我們根據(jù)“燕尾定理”在梯形中的運用知道三角形BEF的面積和三角形EDC的面積相等也是6，再根據(jù)例1中的結(jié)論知道三角形BCE的面積為6×6÷4=9，所以長方形的面積為：15×230。四邊形面積為3046911。方法二：EF/EC4/62/3=ED/EB，進而有三角形CBE的面積為：6×3/29。則三角形CBD面積為15，長方形面積為15×230。四邊形面積為3046911?！纠?】（）如右圖，單位正方形ABCD，M為AD邊上的中點，求圖中的陰影部分面積?！窘?】：兩塊陰影部分的面積相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形A

10、BG和三角形AMB同高，所以SBAG=SABM=××1÷2=，所以陰影面積為×2=【解2】：四邊形AMCB的面積為（0.5+1）×1÷2=，根據(jù)燕尾定理在梯形中的運用，知道： =AM：BC：AM×BC：AM×BC=：1：=1：4：2：2；所以四邊形AMCB的面積分成1+4+2+2=9份，陰影面積占4份，所以面積為×=?！窘?】：如右圖，連結(jié)DG，有：SACM=SBAM（同底等高），又SBAG=SADG（BAG與ADG關(guān)于AC對稱）又SAGM=SGDM（等底同高）【例7】（）如圖，正方形ABCD的面積是12

11、0平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形BGHF的面積是_平方厘米。【解】：解：延長EB到K，使BK=CD。 三角形EGK與三角形DGC成比例，DC：EK=2：3，所以DG：GK=2：3，由于三角形DEK=90，所以EGK=90÷3/5=54，所以四邊形EBFG=EGK-BKF=24。同理，EB：DC=1：2，所以BH：HD=1：2，所以三角形EBH=1/3EBD=10所以，四邊形BGHF的面積是24-10=144 利用“中間橋梁”聯(lián)系兩塊圖形的面積關(guān)系【例8】（）如圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？【解

12、】：連結(jié)AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）. SAGD=4×4÷2=8，又DG=5，SAGD=AH×DG÷2，AH=8×2÷5=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）?！纠?】（）如下圖所示，四邊形ABCD與DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等?！咀C明】：這道題兩個平行四邊形的關(guān)系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結(jié)CE（見圖），這時通過三角形DCE，就把兩個平行四邊形聯(lián)系起來了。在平行四邊形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高與平行四邊形ABCD邊DC上的高相等，所以平行

13、四邊形ABCD的面積是三角形DCE的兩倍；同理，在平行四邊形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高與平行四邊形DEFG邊DE上的高相等，所以平行四邊形DEFG的面積也是三角形DCE的兩倍。 兩個平行四邊形的面積都是三角形DCE的兩倍，所以它們的面積相等。5 差不變原理的運用【例10】（）左下圖所示的ABCD的邊BC長10cm，直角三角形BCE的直角邊EC長8cm，已知兩塊陰影部分的面積和比EFG的面積大10cm2，求CF的長?！窘狻浚簝蓧K陰影部分的面積和比EFG的面積大10,兩部分分別加上四邊形BCFG，這樣四邊形ABCD的面積比三角形BEC的面積大10cm2SBCE=1/2×10&

14、#215;8=40 所以四邊形ABCD的面積是50 。 底是10，所以高是5cm【例11】（）如圖，ABCG是4×7的長方形，DEFG是2×10的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？ 方法一：思 路：公共部分的運用，這是小升初的常用方法，熟練找出公共部分是解題的關(guān)鍵?！窘狻浚?GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2陰影BCM面積-陰影MDE面積=(BCM面積+空白面積)-(MDE面積+空白面積)=三角形BHE面積-長方形CDEH面積=3×6÷2-3×2=3總 結(jié)：對于公共部分要大膽的進行處理,這樣可以把

15、原來無關(guān)的面積聯(lián)系起來,達到解題的目的.拓 展：如圖,已知圓的直徑為20,S1-S2=12,求BD的長度?方法二：思 路：畫陰影的兩個三角形都是直角三角形，而BC和DE均為已知的，所以關(guān)鍵問題在于求CM和DM這兩條線段之和CD的長是易求的，所以只要知道它們的長度比就可以了，這恰好可以利用平行線BC與DE截成的比例線段求得解: GC=7，GD=10 知道CD=3；BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。陰影面積差為:4×2÷2-1×2÷2=3方法三：連接BD S S =SS =(3×42×3)÷

16、;2=36 其他常考題型【例12】（）下圖中，五角星的五個頂角的度數(shù)和是多少？【解】：連接AB（見右圖）。因為AOB=COD，所以O(shè)AB+OBA=OCE+OEC。由此推知，五角星五個頂角之和等于三角形ABD的三個內(nèi)角之和，是180度。【例13】用同樣大小的22個小紙片擺成下圖所示的圖形，已知小紙片的長是18厘米，求圖中陰影部分的面積和?！窘狻浚河蓤D形的等量關(guān)系：5×長3×長3×寬，則寬18×2/312。再由弦圖的特點，陰影中正方形的邊長為18126。可見陰影部分面積為3×6×6108。小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）等積變換在

17、三角形中的運用。參見例1，22）燕尾定理在三角形中的運用。 參見例3，43）平行線定理在三角形中的運用。參見例5，6，74）利用“中間橋梁”聯(lián)系兩塊圖形的面積關(guān)系。參見例8，95）差不變原理的運用。參見例10，116）其他常考題型。參見例12，13【課外知識】春秋戰(zhàn)國時代，一位父親和他的兒子出征打戰(zhàn)。父親已做了將軍，兒子還只是馬前卒。又一陣號角吹響，戰(zhàn)鼓雷鳴了，父親莊嚴(yán)地托起一個箭囊，其中插著一只箭。父親鄭重對兒子說：“這是家襲寶箭，配帶身邊，力量無窮，但千萬不可抽出來。”那是一個極其精美的箭囊，厚牛皮打制，鑲著幽幽泛光的銅邊兒，再看露出的箭尾。一眼便能認(rèn)定用上等的孔雀羽毛制作。兒子喜上眉梢，

18、貪婪地推想箭桿、箭頭的模樣，耳旁仿佛嗖嗖地箭聲掠過，敵方的主帥應(yīng)聲折馬而斃。果然，配帶寶箭的兒子英勇非凡，所向披靡。當(dāng)鳴金收兵的號角吹響時，兒子再也禁不住得勝的豪氣，完全背棄了父親的叮囑，強烈的欲望驅(qū)趕著他呼一聲就拔出寶箭，試圖看個究竟。驟然間他驚呆了。一只斷箭，箭囊里裝著一只折斷的箭。我一直刳著只斷箭打仗呢！兒子嚇出了一身冷汗，仿佛頃刻間失去支柱的房子，轟然意志坍塌了。結(jié)果不言自明，兒子慘死于亂軍之中。拂開蒙蒙的硝煙，父親揀起那柄斷箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永遠也做不成將軍?！卑褎贁〖耐性谝恢粚毤?，多么愚蠢，而當(dāng)一個人把生命的核心與把柄交給別人，又多么危險！比如把希望寄托在兒

19、女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在單位身上溫馨提示：自己才是一只箭，若要它堅韌，若要它鋒利，若要它百步穿楊，百發(fā)百中，磨礪它，拯救它的都只能是自己。作業(yè)題 （注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1，2類型1；題3，4類型5；題5，6類型6； 1、（）如右圖所示，已知三角形ABC面積為1，延長AB至D，使BD=AB；延長BC至E，使CE=2BC；延長CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面積。解：作輔助線FB，則SBAF3×SABC1/2×SDAF；則有SABC1/6×SDAF；作輔助線AE，則SACE2×SABC1/4×SCE

20、F；則SABC1/8×SCEF；作輔助線CD，則有：SCBDSABC1/3×SCEF；綜上，三角形DEF由這四個三角形構(gòu)成，那么由已求出的比例關(guān)系可知，三角形DEF的面積為1+6+8+318。2、（）右圖是一塊長方形耕地，它由四個小長方形拼合而成，其中三個小長方形的面積分別為15、18、30公頃，問圖中陰影部分的面積是多少？解：設(shè)定陰影部分面積為X,則不難由長方形面積公式看出比例關(guān)系為：X/30=15/18，則X=25。3、正方形ABFD的面積為100平方厘米，直角三角形ABC的面積，比直角三角形（CDE的面積大30平方厘米，求DE的長是多少？解：公共部分的運用，三角形AB

21、C面積-三角形CDE的面積=30，兩部分都加上公共部分（四邊形BCDF），正方形ABFD-三角形BFE=30，所以三角形BFE的面積為70，所以FE的長為70×2÷10=14，所以DE=4。4、（）如下圖，已知D是BC的中點，E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點，且的面積比的面積大6平方厘米。 解：因為。根據(jù)已知條件：。所以三角形DEF的面積為6。因此三角形ABC的面積為48平方厘米。5、（）長方形ABCD的面積為36平方厘米，E、F、G分別為邊AB、BC、CD的中點，H為AD邊上的任一點。求圖中陰影部分的面積是多少？解1：極限考慮，若H點動到D點，那么陰影面積為四邊形BEFH，

22、所以面積占總共的一半為18。解2：過H作HI垂直BC，這樣四邊形FCGH的面積就分成三角形FHI和梯形ICGH，所以空白部分的總面積為：（CG+HI）×IC÷2+FI×HI÷2+AE×AH÷2=×（CG×IC+HI×IC+FI×HI+AE×AH） (CG=AE)=×CG×(IC+AH)+HI×(IC+FI) (HI=CD)=×(CG×BC+CD×FC)= 四邊形ABCD的面積=18.7、（）如圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的

23、邊長分別是10厘米和12厘米，求陰影部分的面積。解：我們要得到陰影部分，只要兩個正方形的面積和扣除三個三角形的面積即可。那么正方形面積和為：10×1012×12244。三角形ABG面積為50；三角形ABD面積為1/2×22×12132；三角形AFG面積為1/2×2×1212。則陰影部分面積為244501321250。1 （06年清華附中考題）如圖，在三角形ABC中，D為BC的中點，E為AB上的一點，且BE=AB,已知四邊形EDCA的面積是35，求三角形ABC的面積. 2 （06年西城實驗考題）四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成

24、一個大正方(如圖)如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長度是_米. 3 （05年101中學(xué)考題）一塊三角形草坪前，工人王師傅正在用剪草機剪草坪一看到小靈通，王師傅熱情地招呼，說：“小靈通，聽說你很會動腦筋，我也想問問你，這塊草坪我把它分成東、西、南、北四部分(如圖)修剪西部、東部、南部各需10分鐘，16分鐘，20分鐘請你想一想修剪北部需要多少分鐘？ 4 （05年三帆中學(xué)考題）右圖中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四邊形ABDE的面積是 平方厘米 5 (06年北大附中考題)三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2,CB=

25、3,AM=BM，那么三角形AMN（陰影部分）的面積為多少？ 【附答案】1 根據(jù)定理：=，所以四邊形ACDE的面積就是6-1=5份，這樣三角形35÷5×6=42。2 小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，所以外邊四個面積和是5-1=4，所以每個三角形的面積是1，這個圖形是“玄形”，所以長直角邊和短直角邊差就是中間正方形的邊長，所以求出短邊長就是1。3 如下所示：將北部分成兩個三角形，并標(biāo)上字母那么有，即有，解得所以修剪北部草坪需要20+2444分鐘評注：在本題中使用到了比例關(guān)系，即：SABG：SAGCSAGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFC

26、AF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；有時把這種比例關(guān)系稱之為燕尾定理4 四邊形AFDC的面積=三角形AFD+三角形ADC=（×FD×AF）+（×AC×CD）=（FE+ED）×AF+ （AB+BC）×CD= （×FE×AF+×ED×AF）+（×AB×CD+×BC×CD）。所以陰影面積=四邊形AFDC-三角形AFE三角形BCD=（×FE×AF+×ED×AF）+（×AB×CD+

27、×BC×CD）-×FE×AF-×BC×CD=×ED×AF+×AB×CD=×8×7+×3×12=28+18=46。5 因為缺少尾巴，所以連接BN如下，的面積為3×2÷2=3這樣我們可以根據(jù)燕尾定理很容易發(fā)現(xiàn)：=CD：BD=2：1；同理：=BM：AM=1：1；設(shè)面積為1份，則的面積也是1份，所以得面積就是1+1=2份，而：=CD：BD=2：1，所以得面積就是4份；：=BM：AM=1：1，所以也是4份，這樣的面積總共分成4+4+1+1=10份

28、，所以陰影面積為3×=。1 （06年清華附中考題）如圖，在三角形ABC中，D為BC的中點，E為AB上的一點，且BE=AB,已知四邊形EDCA的面積是35，求三角形ABC的面積. 2 （06年西城實驗考題）四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方(如圖)如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長度是_米. 3 （05年101中學(xué)考題）一塊三角形草坪前，工人王師傅正在用剪草機剪草坪一看到小靈通，王師傅熱情地招呼，說：“小靈通，聽說你很會動腦筋，我也想問問你，這塊草坪我把它分成東、西、南、北四部分(如圖)修剪西部、東部、南部各需10分鐘，16分鐘，20分鐘請你想一想修剪北部需要多少分鐘？ 4 （05年三帆中學(xué)考題）右圖中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四邊形ABDE的面積是 平方厘米 5 (06年北大附中考題)