牛頓萊布尼茨公式

1、裝訂線(xiàn)教學(xué)過(guò)程1、復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引入課題（1）復(fù)習(xí)：定積分的概念及幾何意義 原函數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義（2）課題引入：從上節(jié)的例題和習(xí)題中可以看到利用定積分的定義計(jì)算定積分的值是十分繁瑣且易出錯(cuò)的，有時(shí)甚至無(wú)法計(jì)算。下面將通過(guò)對(duì)定積分與原函數(shù)關(guān)系的討論，到出一種計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便有效的方法牛頓-萊布尼茨公式。2、講解新課2.1 定積分與不定積分的聯(lián)系若質(zhì)點(diǎn)以速度作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由定積分的定義，質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻到所經(jīng)過(guò)的路程為。另一方面，質(zhì)點(diǎn)從某時(shí)刻到時(shí)刻 經(jīng)過(guò)的路程記為，則，于是注意到路程函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)，因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來(lái)了，這就是下面要介紹的牛頓-萊布尼茨公式。2.2牛頓-萊布尼茨公

2、式定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù),即，則在上可積，且裝訂線(xiàn) （1）則上式稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式，也稱(chēng)為微積分基本公式，它也常寫(xiě)成 證明：由定積分定義，任給，要證明存在，當(dāng)時(shí)，有下面證明滿(mǎn)足如此要求的確實(shí)是存在的。事實(shí)上，對(duì)于的任一分割，在每個(gè)小區(qū)間上對(duì)使用拉格朗日中值定理，則分別存在，使得（2）因?yàn)樵谏线B續(xù)，從而一致連續(xù)，所以對(duì)上述，存在，當(dāng)且時(shí)有于是，當(dāng)時(shí)，任取便有，這就證得裝訂線(xiàn)所以在上可積，且有公式（1）成立。公式使用說(shuō)明：（1）在應(yīng)用公式求時(shí)，的原函數(shù)必須是初等函數(shù)，否則使用公式求失效。即的原函數(shù)可由求出。（2）定理的條件還可以適當(dāng)減弱，如：1） 對(duì)的要求可減弱為：在上連續(xù)，在內(nèi)可

3、導(dǎo)，且，不影響定理的證明。 2）對(duì)的要求可減弱為：在上可積（不一定連續(xù)），這時(shí)公式（2）仍成立。2.3 例題講解例1 利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分（1）（為正整數(shù)）（2）（3）（4）裝訂線(xiàn)（5）解：其中（1）（3）即為上節(jié)的例題和習(xí)題，現(xiàn)在用牛頓-萊布尼茨公式來(lái)計(jì)算就十分方便了。（1）（2）（3）（4）（5）先用不定積分法求出的任一原函數(shù)，然后完成定積分計(jì)算：例2 利用定積分求極限：解：把極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分。為此作如下變形：不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)積分和（這里所取得是等分分割，），所以裝訂線(xiàn)當(dāng)然，也可把J看作在上定積分，同樣有注意：這類(lèi)問(wèn)題的解題思想，是要把所求的極限轉(zhuǎn)化為某個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算的值。3、課堂小結(jié)微積分基本公式：若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù),即，則在上可積，且 4、課后作業(yè) 習(xí)題4-3裝訂線(xiàn)裝訂線(xiàn)裝訂線(xiàn)裝訂線(xiàn) 裝訂線(xiàn)山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案紙 裝訂線(xiàn)山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案紙裝訂線(xiàn)山西水利職業(yè)