中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案

1、 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3、 會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達(dá)法則

2、。教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。§3. 1 中值定理 一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對(duì)任意xÎU(x0), 有 f(x)£f(x0) (或f(x)³f(x0), 那么f ¢(x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x , 使得f ¢(x)=0. 簡(jiǎn)

3、要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f ¢(x)º0, 定理的結(jié)論顯然成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn), 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)xÎ(a, b). 于是, , 所以f ¢(x)=0. 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(a<x<b), 使得等式f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的幾何意義: f ¢(x)=, 定理的證明:

4、 引進(jìn)輔函數(shù)令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件: j(a)=j(b)=0, j(x)在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且j ¢(x)=f ¢(x)-. 根據(jù)羅爾定理, 可知在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x, 使j ¢(x)=0, 即f ¢(x)-=0. 由此得 = f ¢(x) , 即 f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個(gè)公式對(duì)于b<a也成立. 拉格朗日中

5、值公式的其它形式: 設(shè)x 為區(qū)間a, b內(nèi)一點(diǎn), x+Dx 為這區(qū)間內(nèi)的另一點(diǎn)(Dx>0或Dx<0), 則在x, x+Dx (Dx>0)或x+Dx, x (Dx<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1). 如果記f(x)為y, 則上式又可寫(xiě)為Dy=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1). 試與微分d y=f ¢(x)Dx 比較: d y =f ¢(x)Dx是函數(shù)增量Dy 的近似表達(dá)式, 而f ¢(x+qDx)Dx是函數(shù)增量Dy 的精確表達(dá)式

6、. 作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用, 我們證明如下定理: 定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零, 那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù). 證 在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1, x2(x1<x2), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f ¢(x)(x2 - x1) (x1<x< x2). 由假定, f ¢(x)=0, 所以f(x2)-f(x1)=0, 即f(x2)=f(x1). 因?yàn)閤1, x2是I上任意兩點(diǎn), 所以上面的等式表明: f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的, 這就是說(shuō), f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù). 例. 證明當(dāng)x>0時(shí), . 證

7、 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f ¢(x)(x-0), 0<x<x。由于f(0)=0, , 因此上式即為 .又由0<x<x, 有 . 三、柯西中值定理 設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程 (a£x£b)表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點(diǎn)x=x , 使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB, 曲線C上點(diǎn)x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F

8、(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F ¢(x)在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使等式 .成立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫(xiě)成: f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a) (a<x<b), 這樣就變成了拉格朗日中值公式了. 作業(yè)：P134：2；7；10；11（2）；12§3. 2 洛必達(dá)法則一、當(dāng)或時(shí)的未定式型和型的情形定理1 設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)，及都存

9、在且；（3）存在（或無(wú)窮大），則例1. 求，；例2 求例3求定理2 設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于零；（2）當(dāng)時(shí)，及都存在且；（3）存在（或無(wú)窮大），則例4求例5求例6求例7求二、,型的未定式這幾種類(lèi)型都可以化為未定式型和型的情形。1. 型例8. 求2. 型例9. 求3. ,型例10. 求 例11. 求 例12. 求例13. 求作業(yè)：P138：1（1）（2）（4）（5）（7）（9）（11）（13）（14）（15）§3. 3 泰勒公式 對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù), 為了便于研究, 往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá). 由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù), 只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算, 便能求出

10、它的函數(shù)值, 因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù). 在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道, 當(dāng)|x|很小時(shí), 有如下的近似等式: e x »1+x, ln(1+x) »x. 這些都是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)的例子. 但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無(wú)窮小; 其次是用它來(lái)作近似計(jì)算時(shí), 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候, 就必須用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù), 同時(shí)給出誤差公式. 設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個(gè)關(guān)于(x-x0 )的n次多項(xiàng)

11、式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ × × × + a n (x-x0 ) n來(lái)近似表達(dá)f(x), 要求p n(x)與f(x)之差是比(x-x0 ) n高階的無(wú)窮小, 并給出誤差| f (x)- p n (x)|的具體表達(dá)式. 我們自然希望p n(x)與f(x)在x0 的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+× × × + a n (x-x0 ) n , p n¢(x)= a 1+2 a 2(x-x0

12、 ) +× × × +na n (x-x0 ) n-1 , p n¢¢(x)= 2 a 2 + 3×2a 3(x-x0 ) +× × × + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n¢¢¢(x)= 3!a 3 +4×3×2a 4(x-x0 ) +× × × + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , × × × × × × , p

13、n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n ¢(x0 )= a 1 , p n ¢¢(x0 )= 2! a 2 , p n ¢¢¢(x)= 3!a 3 , × × × , p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f ¢(x0)= p n ¢(x0)= a 1 , f ¢¢(x0)= p n ¢¢(x0)= 2! a 2 , f ¢¢¢(

14、x0)= p n ¢¢¢(x0)= 3!a 3 , × × × × × × f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 從而有 a 0=f(x0 ), a 1=f ¢(x0 ), , × × × , , . (k=0, 1, 2, × × ×, n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f ¢(x0) (x-x0)(x-x0) 2 +× × × (x-x0) n . 泰勒中

15、值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到(n+1)的階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)x 在(a, b)內(nèi)時(shí), f(x)可以表示為(x-x0 )的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)R n(x)之和: 其中(x 介于x0與x之間).這里 多項(xiàng)式 . 稱(chēng)為函數(shù)f(x)按(x-x0 )的冪展開(kāi)的n 次近似多項(xiàng)式, 公式 +× × ×, 稱(chēng)為f(x)按(x-x0 )的冪展開(kāi)的n 階泰勒公式, 而R n(x)的表達(dá)式其中(x介于x與x0之間). 稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng). 當(dāng)n=0時(shí), 泰勒公式變成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f ¢(x)(x-x0 ) (

16、x在x0 與x 之間). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 如果對(duì)于某個(gè)固定的n, 當(dāng)x在區(qū)間(a, b)內(nèi)變動(dòng)時(shí), |f (n+1)(x)|總不超過(guò)一個(gè)常數(shù)M, 則有估計(jì)式: ,及 . 可見(jiàn), 妝x ®x0時(shí), 誤差|R n(x)|是比(x-x0 )n高階的無(wú)窮小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí), n 階泰勒公式也可寫(xiě)成 +× × ×. 當(dāng)x0 =0時(shí)的泰勒公式稱(chēng)為麥克勞林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 誤差估計(jì)式變?yōu)? . 例1寫(xiě)出函數(shù)f(x)=e x 的n 階麥克勞林公式.

17、解: 因?yàn)?f(x)=f ¢(x)=f ¢¢(x)= × × × =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f ¢(0)=f ¢¢(0)= × × × =f ( n)(0)=1 , 于是 (0<q<1), 并有 . 這時(shí)所產(chǎn)性的誤差為 |R n(x)|=|x n+1|<| x | n+1. 當(dāng)x=1時(shí), 可得e的近似式: . 其誤差為 |R n |<. 例2求f(x)=sin x的n階麥克勞林公式. 解: 因?yàn)?f ¢(x)=cos

18、x , f ¢¢(x)=-sinx , f ¢¢¢(x)= -cos x , , × × × , f (0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0 , f ¢¢¢(0)=-1, f ( 4)(0)=0, × × ×, 于是 . 當(dāng)m=1、2、3時(shí), 有近似公式sin x»x, , . 作業(yè)：P145：1；4；5 §3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)y=f(x)在a

19、, b上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線. 這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）, 即y¢=f ¢(x)³0(y¢=f ¢(x)£0). 由此可見(jiàn), 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系. 反過(guò)來(lái), 能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢？ 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)&

20、lt;0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在a, b上任取兩點(diǎn)x1 , x2 (x1 <x2 ), 應(yīng)用拉格朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2-x1) (x1 <x<x2 ). 由于在上式中, x2-x1>0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f ¢(x)保持正號(hào), 即f ¢(x)>0, 那么也有f ¢(x)>0. 于是f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2 -x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ), 這函數(shù)y=f(

21、x) 在a, b上單調(diào)增加. 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例1 判定函數(shù)y=x-sin x 在0, 2p上的單調(diào)性. 解 因?yàn)樵?0, 2p)內(nèi)y¢=1-cos x >0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒(méi)指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y¢=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域?yàn)?-¥, +¥). 因?yàn)樵?-¥, 0)內(nèi)y¢<0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因?yàn)樵?0,

22、 +¥)內(nèi)y¢>0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在0, +¥)上單調(diào)增加. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥). 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (x¹0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當(dāng)x=0時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因?yàn)閤<0時(shí), y¢<0, 所以函數(shù)在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因?yàn)閤>0時(shí), y¢>0, 所以函數(shù)在0, +¥)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f ¢

23、;(x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f ¢(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f ¢(x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)f ¢(x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, 1和2, +¥

24、;)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)? (-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: y¢=3x2 . 除當(dāng)x=0時(shí), y¢=0外, 在其余各點(diǎn)處均有y¢>0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-¥, 0及0, +¥)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域: (-¥, +¥)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f ¢(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加

25、（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)x>1時(shí), . 證明: 令, 則 . 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí), f ¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x>1時(shí), f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸性的概念: x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) x1 x 2 yx O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x 1, x 2, 恒有, 那么稱(chēng)f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹

26、弧); 如果恒有, 那么稱(chēng)f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義¢ 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)>0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)<0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 簡(jiǎn)要證明

27、只證(1). 設(shè)x1, x2Îa, b, 且x1<x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱(chēng)為這曲線的拐點(diǎn). 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f¢¢ (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的

28、凹凸性. 解: , . 因?yàn)樵诤瘮?shù)y=ln x的定義域(0, +¥)內(nèi), y¢¢<0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y¢=3x 2, y¢¢=6x . 由y¢¢=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí), y¢¢<0, 所以曲線在(-¥, 0內(nèi)為凸的; 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí), y¢¢>0, 所以曲線在0, +¥)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x

29、2+6x-12, . 令y¢¢=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢¢<0; 當(dāng)時(shí), y¢¢>0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域?yàn)?-¥, +¥); (2),; (3)解方程y¢¢=0, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È

30、 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間(-¥, 0和2/3, +¥)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問(wèn)曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y¢=4x 3, y¢¢=12x 2. 當(dāng)x ¹0時(shí), y¢¢>0, 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無(wú)拐點(diǎn). 例6. 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥); (2) , ; (3)無(wú)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)

31、不存在的點(diǎn)為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x<0當(dāng), y¢¢>0; 當(dāng)x>0時(shí), y¢¢<0. 因此, 點(diǎn)(0, 0)曲線的拐點(diǎn). 作業(yè)：P152：3（1）（3）（5）；5（1）（2）（4）；8（1）（3）；9（1）（3）；12 §3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0Î(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0), 則稱(chēng)f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值; 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)

32、>f(x0), 則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)<f(x0) (或f(x)>f(x0), 則稱(chēng)f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn). 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值, 那只是就x0 附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō), f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值; 如果就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō), f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類(lèi)似. 極值與水平切線的關(guān)系:

33、 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f ¢(x0)=0. 證 為確定起見(jiàn), 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類(lèi)似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi), 對(duì)于任何點(diǎn)x , f(x) < f(x0)均成立. 于是 當(dāng)x < x0 時(shí), 因此 f ¢(x0); 當(dāng)x > x0 時(shí), 因此 ; 從而得到 f ¢(x0) = 0 . 駐點(diǎn): 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即

34、方程f ¢(x) = 0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn). 定理就是說(shuō): 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但的過(guò)來(lái), 函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況. 定理(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f ¢(x)>0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)

35、f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f ¢(x)不改變符號(hào), 那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值. 定理¢ (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f ¢(x)>0, 在(x0, b)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f ¢(x)<0, 在(x0, b)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(

36、x0, b)內(nèi) f ¢(x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值. 定理2¢¢(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)È(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f ¢(x)>0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f ¢(x)<0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-

37、d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f ¢(x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值. 定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說(shuō): 當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí), 如果f ¢(x)的符號(hào)由負(fù)變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f ¢(x)的符號(hào)由正變負(fù), 那么f(x)在x0處取得極小值; 如果f ¢(x)的符號(hào)并不改變, 那么f(x)在x0處沒(méi)有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f ¢(x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察f ¢(x)的符號(hào)在

38、每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f ¢(x)=0, 得駐點(diǎn)x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0 (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

39、x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么 (1)當(dāng)f ¢¢(x0)<0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (1)當(dāng)f ¢¢(x0)>0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f ¢¢(x0)<0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 當(dāng)x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí), . 但f ¢(x0)=0, 所以上式即. 從而知道, 對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的x來(lái)說(shuō), f ¢(x)與x-x0符號(hào)相反.

40、因此, 當(dāng)x-x0<0即x<x0時(shí), f ¢(x)>0; 當(dāng)x-x0>0即x>x0時(shí), f ¢(x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 類(lèi)似地可以證明情形(2). 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f ¢¢(x0) ¹0, 那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn), 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f ¢¢(x0)的符來(lái)判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f ¢¢(x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4, g(x)=x3在點(diǎn)x=0是

41、否有極值？ 提示: f ¢(x)=4x 3, f ¢(0)=0; f ¢¢(x)=12x2, f ¢¢(0)=0. 但當(dāng)x<0時(shí)f ¢(x)<0, 當(dāng)x>0時(shí)f ¢(x)>0, 所以f(0) 為極小值. g ¢(x)=3x2, g ¢(0)=0; g ¢¢(x)=6x, g ¢¢(0)=0. 但g(0)不是極值 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f ¢(x)=6x(x2-1)2. (2)令f &#

42、162;(x)=0, 求得駐點(diǎn)x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f ¢¢(x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f ¢¢(0)=6>0, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f ¢¢(-1)=f ¢¢(1)=0, 用定理3無(wú)法判別. 因?yàn)樵?1的左右鄰域內(nèi)f ¢(x)<0, 所以f(x)在-1處沒(méi)有極值; 同理, f(x)在1處也沒(méi)有極值. 二、最大值最小值問(wèn)題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中, 常常會(huì)遇到這樣一類(lèi)問(wèn)題: 在一定條件下,

43、怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問(wèn)題, 這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者. 最大值

44、和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1, x2, × × × , xn, 則比較 f(a), f(x 1), × × × , f(x n), f(b)的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點(diǎn)為; 不可導(dǎo)點(diǎn)為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0, f(2)=0, f(4)=6, 比較可得f(

45、x)在x=-3處取得它在-3, 4上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在-3, 4上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么 y=5k×CD+3k×DB (k是某個(gè)正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0£x£

46、100). 現(xiàn)在, 問(wèn)題就歸結(jié)為: x 在0, 100內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小. 先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y¢=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 注意: f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限, 開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 , 并且這個(gè)駐點(diǎn)x0 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 那么, 當(dāng)f(x0)是極大值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)f(x0)是極小值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b

47、 x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y 應(yīng)當(dāng)指出, 實(shí)際問(wèn)題中, 往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d hb 例5 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0<b<d). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0,

48、 d). 現(xiàn)在, 問(wèn)題化為: b等于多少時(shí)目標(biāo)函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對(duì)b 的導(dǎo)數(shù): . 解方程W ¢=0得駐點(diǎn). 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以當(dāng)時(shí), W 的值最大. 這時(shí), , 即 . . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0<b<d). 由, 得駐點(diǎn). 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在函數(shù)W在(0, d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以當(dāng)時(shí), 抗彎截面模量W最大, 這時(shí).作業(yè)：P162：1（1）（3）（5）（7）；4（1）（2）；10；13 §

49、3. 6 函數(shù)圖形的描繪 描繪函數(shù)圖形的一般步驟: (1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù); (2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (3)列表分析, 確定曲線的單調(diào)性和凹凸性; (4)確定曲線的漸近性; (5)確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它點(diǎn); (6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖形. 例1. 畫(huà)出函數(shù)y=x 3-x 2-x+1的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥), (2) f ¢(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), f ¢¢(x)=6x-2=2(3x-1

50、). f ¢(x)=0的根為x= -1/3, 1; f ¢¢(x)=0的根為x= 1/3. (3)列表分析: x(-¥, -1/3)-1/3(-1/3, 1/3)1/3(1/3, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+0-0+f ¢¢(x)-0+f(x)Ç極大Ç拐點(diǎn)È極小È (4)當(dāng)x ®+¥時(shí), y ®+¥ 當(dāng)x ®-¥時(shí), y ®-¥. (5)計(jì)算特殊點(diǎn): f(-1/3)=32/27, f(1/3

51、)=16/27, f(1)=0, f(0)=1; f(-1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描點(diǎn)聯(lián)線畫(huà)出圖形: 例2. 作函數(shù)的圖形. 解: (1) 函數(shù)為偶函數(shù), 定義域?yàn)?-¥, +¥), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). (2), . 令f ¢(x)=0, 得x=0; 令f ¢¢(x)=0, 得x=-1和x=1. (3)列表: x(-¥, -1)-1(-1, 0)0(0, 1)1(1, +¥)f ¢(x)0f ¢¢(x)00y=f(x)È拐點(diǎn)Ç極大值Ç拐點(diǎn)È

52、 (4)曲線有水平漸近線y=0. (5)先作出區(qū)間(0, +¥)內(nèi)的圖形, 然后利用對(duì)稱(chēng)性作出區(qū)間(-¥, 0)內(nèi)的圖形. 例3. 作函數(shù)的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, -3)È(-3, +¥). (2), . 令f ¢(x)=0得x=3, 令f ¢¢(x)=0得x=6. (3)列表分析:x(-¥, -3)(-3, 3)3(3, 6)6(6, +¥)f ¢(x)-+0-f ¢¢(x)-0+f(x)ÇÇ4極大Ç11/3拐點(diǎn)È (4) x = -3是曲線的鉛直漸近線, y = 1是曲線的水平漸近線. (5)計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值: f(0)=1, f(-1)=-8, f(-9)=-8, f(-15)=-11/4. (6)作圖.作業(yè)：P169：1；2 §3.7 曲 率 一、弧微分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 在曲線y=f(x)上取固定點(diǎn)M 0(x 0, y 0)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn), 并規(guī)定依x增大的方向