反比例函數(shù) ---動點、面積專題(附詳解)

1、反比例函數(shù) -動點、面積專題（附詳解）一、解答題（共7小題）1、已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A（3，1）（1）試確定此反比例函數(shù)的解析式；（2）點O是坐標原點，將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；（3）已知點P（m，3m+6）也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中m0），過P點作x軸的垂線，交x軸于點M若線段PM上存在一點Q，使得OQM的面積是12，設Q點的縱坐標為n，求n223n+9的值2、已知：反比例函數(shù)y=kx（k0）經(jīng)過點B（1，1）（1）求該反比例函數(shù)解析式；（2）連接OB，再把點A（2，0）與點B連接，將OAB繞點O按

2、順時針方向旋轉135°得到OAB，寫出AB的中點P的坐標，試判斷點P是否在此雙曲線上，并說明理由；（3）若該反比例函數(shù)圖象上有一點F（m，32m1）（其中m0），在線段OF上任取一點E，設E點的縱坐標為n，過F點作FMx軸于點M，連接EM，使OEM的面積是22，求代數(shù)式n2+2n23的值3、如圖，M點是正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=mx的圖象的一個交點（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）在反比例函數(shù)y=mx的圖象上取一點P，過點P做PA垂直于x軸，垂足為A，點Q是直線MO上一點，QB垂直于y軸，垂足為B，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ的面積是OPA的面積的2倍？如果存在，

3、請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由4、如圖，已知：一次函數(shù)：y=x+4的圖象與反比例函數(shù)：y=2x（x0）的圖象分別交于A、B兩點，點M是一次函數(shù)圖象在第一象限部分上的任意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M1、M2，設矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比例函數(shù)圖象上任意一點，過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N1、N2，設矩形NN1ON2的面積為S2；（1）若設點M的坐標為（x，y），請寫出S1關于x的函數(shù)表達式，并求x取何值時，S1的最大值；（2）觀察圖形，通過確定x的取值，試比較S1、S2的大小5、如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），且P（

4、1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由6、如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等如果存在，請求出點的坐標，

5、如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值7、如圖，點P（a，b）和點Q（c，d）是反比例函數(shù)y=1x圖象上第一象限內的兩個動點（ab，ac），且始終有OP=OQ（1）求證：a=d，b=c；（2）P1是點P關于y軸的對稱點，Q1是點Q關于x軸的對稱點，連接P1Q1分別交OP、OQ于點M、N求證：PQP1Q1；求四邊形PQNM的面積S能否等于85？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由反比例動點與面積 答案與評分標準一、解答題（共7小題）1、已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A（3，1）（

6、1）試確定此反比例函數(shù)的解析式；（2）點O是坐標原點，將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；（3）已知點P（m，3m+6）也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中m0），過P點作x軸的垂線，交x軸于點M若線段PM上存在一點Q，使得OQM的面積是12，設Q點的縱坐標為n，求n223n+9的值考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；旋轉的性質。專題：綜合題。分析：（1）由于反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A（3，1），運用待定系數(shù)法即可求出此反比例函數(shù)的解析式；（2）首先由點A的坐標，可求出OA的長度，AOC的大小，然后根據(jù)旋轉的性

7、質得出AOB=30°，OB=OA，再求出點B的坐標，進而判斷點B是否在此反比例函數(shù)的圖象上；（3）把點P（m，3m+6）代入反比例函數(shù)的解析式，得到關于m的一元二次方程；根據(jù)題意，可得Q點的坐標為（m，n），再由OQM的面積是12，根據(jù)三角形的面積公式及m0，得出mn的值，最后將所求的代數(shù)式變形，把mn的值代入，即可求出n223n+9的值解答：解：（1）由題意得1=k3，解得k=3，反比例函數(shù)的解析式為y=3x；（2）過點A作x軸的垂線交x軸于點C在RtAOC中，OC=3， AC=1，OA=OC2+AC2=2，AOC=30°，將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線

8、段OB，AOB=30°，OB=OA=2，BOC=60°過點B作x軸的垂線交x軸于點D在RtBOD中，BD=OBsinBOD=3，OD=12OB=1，B點坐標為（1，3），將x=1代入y=3x中，得y=3，點B（1，3）在反比例函數(shù)y=3x的圖象上（3）由y=3x得xy=3，點P（m，3m+6）在反比例函數(shù)y=3x的圖象上，其中m0，m（3m+6）=3，m2+23m+1=0，PQx軸，Q點的坐標為（m，n）OQM的面積是12，12OMQM=12，m0，mn=1，m2n2+23mn2+n2=0，n223n=1，n223n+9=8點評：本題綜合考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解

9、析式，旋轉的性質，三角函數(shù)的定義，求代數(shù)式的值等知識，尤其是在最后一問中，沒有必要求出n的具體值，而是將mn=1作為一個整體代入，有一定的技巧性，使計算簡便2、已知：反比例函數(shù)y=kx（k0）經(jīng)過點B（1，1）（1）求該反比例函數(shù)解析式；（2）連接OB，再把點A（2，0）與點B連接，將OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到OAB，寫出AB的中點P的坐標，試判斷點P是否在此雙曲線上，并說明理由；（3）若該反比例函數(shù)圖象上有一點F（m，32m1）（其中m0），在線段OF上任取一點E，設E點的縱坐標為n，過F點作FMx軸于點M，連接EM，使OEM的面積是22，求代數(shù)式n2+2n23的值考

10、點：反比例函數(shù)綜合題。分析：（1）函數(shù)式y(tǒng)=kx，且過（1，1）點，代入可確定k的值，從而求出函數(shù)式（2）因為OAB是等腰直角三角形，旋轉后求出A和B的坐標，從而求出AB中點的坐標，可判斷是否在雙曲線線上（3）因為EH=n，0M=m，OEM的面積是22，從而可求出n和m的關系式，因為F在反比例函數(shù)圖象上，代入函數(shù)式，可求出結果解答：解：（1）反比例函數(shù)解析式：y=1x；（1分）（2）已知B（1，1），A（2，0）OAB是等腰直角三角形順時針方向旋轉135°，B（0，2），A（2，2）中點P為（22，2）（2分）（22）（2）=1（3分）點P在此雙曲線上（4分）（3）EH=n，0M=m

11、 SOEM=12OMEH=12mn=22，m=2n（5分）又F（m，32m1）在函數(shù)圖象上 m（32m1）=1（6分）將m=2n代入上式，得32（2n）22n=1，n2+2n=3，n2+2n23=3（7分）點評：本題考查反比例函數(shù)的綜合應用，關鍵是知道用已知點確定反比例函數(shù)式k的值，進而確定函數(shù)式，以及反比例函數(shù)上的點，和由這點做頂點的三角形的面積的關系3、如圖，M點是正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=mx的圖象的一個交點（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）在反比例函數(shù)y=mx的圖象上取一點P，過點P做PA垂直于x軸，垂足為A，點Q是直線MO上一點，QB垂直于y軸，垂足為B，直線MO上是否存在這

12、樣的點Q，使得OBQ的面積是OPA的面積的2倍？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由考點：反比例函數(shù)綜合題。分析：（1）從圖象上可看到正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=mx都過（1，2）點，從而可求出函數(shù)式（2）P是反比例函數(shù)上的一點，過點P做PA垂直于x軸，垂足為A，所以OPA的面積是12m，點Q是直線MO上一點，QB垂直于y軸，垂足為B，Q點的坐標為（x，kx），所以根據(jù)OBQ的面積是OPA的面積的2倍可列方程求解解答：解：（1）y=kx過（1，2）點，k=2，y=2xy=mx過（1，2）點，m=2y=2x；（2）OPA的面積是12m=1，Q點的坐標為（x，2x），12|x|

13、2x|=2，x=±2，因為在第二象限所以Q點的坐標為（2，22），或（2，22）點評：本題考查反比例函數(shù)的綜合運用，關鍵能夠熟練確定函數(shù)式，并能夠掌握由函數(shù)圖象上的點作為頂點的三角形面積和函數(shù)坐標之間的關系4、如圖，已知：一次函數(shù)：y=x+4的圖象與反比例函數(shù)：y=2x（x0）的圖象分別交于A、B兩點，點M是一次函數(shù)圖象在第一象限部分上的任意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M1、M2，設矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比例函數(shù)圖象上任意一點，過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N1、N2，設矩形NN1ON2的面積為S2；（1）若設點M的坐標為（x，y），請寫出S1

14、關于x的函數(shù)表達式，并求x取何值時，S1的最大值；（2）觀察圖形，通過確定x的取值，試比較S1、S2的大小考點：反比例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的圖象。專題：計算題。分析：（1）已知M點坐標，根據(jù)M點在一次函數(shù)：y=x+4的圖象上，代入把M點縱坐標用x表示出來，從而表示出矩形MM1OM2的面積為S1；（2）觀察圖形S1、S2，觀察反比例函數(shù)在一次函數(shù)上方還是下方，從而比較其大小解答：解：（1）M的坐標為（x，y），M點在還函數(shù)y=x+4的圖象上，y=x+4，S1=xy=x（x+4）=x2+4x=（x2）2+4，當x=2時，S1最大值=4；（2）設N（x1，y1），點N在反比例函數(shù)：y=2x圖象上，S

15、2=x1×y1=2，由S1=S2可得：x2+4x=2，即x24x2=0，x=2±2，通過觀察圖象可得：當x=2±2時，S1=S2，當0x22或x2+2時，S1S2，當22x2+2時，S1S2點評：此題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質及應用，學會通過圖象比較面積的大小，比較簡單5、如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等

16、？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由考點：反比例函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)綜合題。分析：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=kx，正比例函數(shù)的解析式為y=kx把點M（2，1）分別代入其函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法即可求出對應的函數(shù)的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，12x），使得OBQ與OAP面積相等，則B（0，12x）根據(jù)三角形的面積公式列出關于x的方程，解方程即可解答：解：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=kx，正比例函數(shù)的解析式為y=kx正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），1=k2，1=2k，k=2，k=12正比例函數(shù)的解析式為y

17、=12x，反比例函數(shù)的解析式為y=2x（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，12x），使得OBQ與OAP面積相等，則B（0，12x）SOBQ=SOAP，12x12x=12×2×1，解得x=±2當x=2時，12x=1；當x=2時，12x=1故在直線MO上存在這樣的點Q（2，1）或（2，1），使得OBQ與OAP面積相等點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及三角形的面積，利用形數(shù)結合解決此類問題，是非常有效的方法6、如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，P

18、A垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得OBQ與OAP面積相等如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值考點：反比例函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），設出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運用待定系數(shù)法可求它們解析式；（2）因為P（1，2）為雙曲線Y=2X上的一點，所以OBQ、OAP面積為2，依據(jù)反比

19、例函數(shù)的圖象和性質，點Q在雙曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點；（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQOQ=PC，而點P（1，2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值解答：解：（1）設正比例函數(shù)解析式為y=kx，將點M（2，1）坐標代入得k=12，所以正比例函數(shù)解析式為y=12x，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為y=2x；（2）當點Q在直線OM上運動時，設點Q的坐標為Q（m，12m），于是SOBQ=12|OB×BQ|=12×12m×m=14m2，而SOAP=12|（1）&#

20、215;（2）|=1，所以有，14m2=1，解得m=±2，所以點Q的坐標為Q1（2，1）和Q2（2，1）；（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（1，2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，2n），由勾股定理可得OQ2=n2+4n2=（n2n）2+4，所以當（n2n）2=0即n2n=0時，OQ2有最小值4，又因為OQ為正值，所以OQ與OQ2同時取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=5，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是

21、2（OP+OQ）=2（5+2）=25+4（10分）點評：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質，綜合性比較強要注意對各個知識點的靈活應用7、如圖，點P（a，b）和點Q（c，d）是反比例函數(shù)y=1x圖象上第一象限內的兩個動點（ab，ac），且始終有OP=OQ（1）求證：a=d，b=c；（2）P1是點P關于y軸的對稱點，Q1是點Q關于x軸的對稱點，連接P1Q1分別交OP、OQ于點M、N求證：PQP1Q1；求四邊形PQNM的面積S能否等于85？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；平行四邊形的判定。專題：證明題；探究型。分析：（1）由于點P（a，b）和點Q（c，d）是反比例函數(shù)y=1x圖象上第一象限內的兩個點，所以可用含a、c的代數(shù)式分別表示b、d，然后由OP=OQ，列出等式，將式子變形，即可得出結果；（2）首先求出點P1、Q1的坐標，根據(jù)（1）的結論，把點P1、Q1、P、Q四點的坐標都用含a、b的代數(shù)式分別表示，然后運用待定系數(shù)法分別求出直線PQ與直線P1Q1的解析式，發(fā)現(xiàn)它們的斜率相同，因而得出PQP1Q1如果設PP1與y軸交于點A，QQ1與x軸交于點B，過點P作PDx軸于點D，則SOPQ=S梯形PD