彈性力學讀書

1、彈塑性力學學習報告指導老師：王建偉學 生：李佳偉學 號;20159200彈塑性力學學習報告緒論：經(jīng)過幾月的學習我對彈性力學有了一個初步的認識，對它研究的對象也有了一個概括性的認識。彈性力學是高等的材料力學，不同于材料力學只能解決形狀非常固定的細長桿件，它可以解決任意形狀的材料性能計算問題。對于很多情況都可以分析出力學模型，然后得到方程組，但是大部分情況下解方程組卻是非常困難的。下面給出一個典型的模型對彈性力學做一個形象的表示：這個模型就是最普通的一個計算模型，它有分布力，集中力，約束，重力等作用。在這些條件下我們可以根據(jù)受力平衡列出方程組，從而求出各處的位移和形變。報告正文一、彈性力學的發(fā)展及

2、基本假設(shè)彈性力學是伴隨著工程問題不斷發(fā)展起來的，它是固體力學的一個分支，是研究彈性體由于外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移的一門學科。最早可以追溯到伽利略研究梁的彎曲問題、胡克的胡克定律。之后牛頓三定律的形成以及數(shù)學的不斷發(fā)展，后經(jīng)納維、柯西、圣維南、艾瑞、基爾、里茨、迦遼金等人的不斷努力。使得彈性力學具有了嚴密的理論體系并且能都求解各種復雜的問題，能夠解決強度、剛度和穩(wěn)定性等問題。目前彈性力學的相關(guān)理論在土木工程、水文地質(zhì)工程、石油工程、航空航天工程、礦業(yè)工程、環(huán)境工程以及農(nóng)業(yè)工程等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應用。彈性力學的幾個基本假設(shè)。1 、連續(xù)體假設(shè)：假設(shè)無題是連續(xù)的，沒有任何空

3、隙。因此，物體內(nèi)的應力、應變、位移一般都是逐點變化的，它們都是坐標的單值連續(xù)函數(shù)。2、  彈性假設(shè)：假設(shè)物體是完全彈性的。在溫度不變時，物體任一瞬間的形狀完全取決于在該瞬間時所受的外力。而與它過去的受力狀況無關(guān)。當外力消除后，它能夠恢復原來的形狀。彈性假設(shè)就是假設(shè)物體服從虎克定律，應力與應變成正比關(guān)系。3、 均勻性假設(shè)：假設(shè)物體是均勻的，各部分都具有相同的物理性質(zhì)，其彈性模量和泊松系數(shù)是一常數(shù)。4、各向同性假設(shè)：假設(shè)物體內(nèi)每一點各個方向的物理和機械性質(zhì)都相同。 5、小變形假設(shè)：假設(shè)物體的變形是微小的，即物體受力后，所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，應變都很小。這樣，在考慮物體變形

4、后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸。二、三維方程2.1三維應力狀態(tài)下的平衡微分方程物體處在平衡狀態(tài)，其內(nèi)部的每一點都處于平衡狀態(tài)。使用一個微六面體代表物體內(nèi)的一點，則作用在該微六面體上的所有力應滿足平衡條件，由此可以導出平衡微分方程。如圖一所示，取直角坐標系的坐標軸和邊重合，各邊的長度分別為dx，dy，dz。在微六面體x=0面上，應力是xxyxz；在x=dx面上的應力，圖一根據(jù)應力函數(shù)的連續(xù)性并按泰勒級數(shù)對x=0的面展開，略去高階項，可得同理，可由y=0，z=0面上的應力表示y=dy，z=dz面上的應力。最后，所有各面上的應力如圖一示。當彈性體平衡時，P點的平衡就以微元體平衡

5、表示。這樣，就有6個平衡方程考慮微單元體沿x方向的平衡，可得整理上式并除以微單元體的體積dxdydz，得（2-1.1）同理，建立y、z方向的平衡條件，可得（2-1.2）這就是彈性力學的平衡微分方程，其中X，Y，Z是單位體積里的體積力沿x，y，z方向上的分量?？紤]圖一中微單元體的力矩平衡。對通過點C平衡于x方向的軸取力矩平衡得于是力矩平衡方程在略去高階項之后只剩兩項由此可得同理可得這既是剪應力互等定理。它表明：在兩個互相垂直的平面上，與兩個平面的交線垂直的剪應力分量的大小相等，方向指向或者背離這條交線。根據(jù)剪應力互等定理，式（1-1）中包含的九個應力分量中只有6個是獨立的，這6個應力描述了物體內(nèi)

6、部的任意一點的應力狀態(tài)。2.2三維應力狀態(tài)下的幾何方程2.3三維應力狀態(tài)下的物理方程物理方程的矩陣形式其中矩陣D稱為三維應力狀態(tài)下的彈性矩陣三、在極坐標系下的基本方程3.1應力坐標變換我們知道，直角坐標系和極坐標系變量之間的關(guān)系為彈性體在一定的應力狀態(tài)下，可以在已知直角坐標系中求解應力分量，也可以在極坐標中求解。因而應力分量在兩種坐標系中的表達式就有一定的聯(lián)系，稱為應力的坐標變化。在直角坐標系中求出三角微元體的應力分量為在直角坐標系下的應力分量表示可在極坐標系下表示，變換后可得方程3.2極坐標下的平衡方程3.3極坐標下的幾何方程為四、彈性力學解題的主要方法4.1位移解法位移解法是以位移分量作為

7、基本未知量的解法。把平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程簡化為三個用位移分量表示的平衡方程，從中解出位移分量。然后再代回幾何方程和本構(gòu)方程，進而求出應變分量和應力分量。4.2應力解法應力解法是以應力分量作為基本的未知數(shù)的解法。由協(xié)調(diào)方程、本構(gòu)方程和平衡方程簡化出六個用應力分量表示的協(xié)調(diào)方程，再加上平衡方程和力邊界條件解出六個應力分量。然后由本構(gòu)方程求出應變分量，再對幾何方程積分即可得到位移分量。由于應力與應變間的胡克定律是代數(shù)方程，應變解法的求解難度不會比應力解法有實質(zhì)性的改善，而邊界條件用應力表示則方便很多，所以很少采用應變解法。4.3應力函數(shù)解法在位移解法中，引進三個單值連續(xù)的位移函數(shù)，使協(xié)調(diào)方程

8、自動滿足，問題被歸結(jié)為求解三個用位移表示的位移方程。應變分量可由位移偏導數(shù)的組合來確定。與此類似，在應力解法中也有可以引進某些自動滿足平衡方程的函數(shù)，稱之為應力函數(shù)，把問題歸結(jié)為求解用應力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程。應力分量可由應力函數(shù)偏導數(shù)的組合來確定。應力函數(shù)解法既保留了應力解法的優(yōu)點（能直接求出應力分量），又吸收了位移解法的思想（能自動滿足平衡方程，基本未知數(shù)降為三個），所以是彈性力學理論中最常用的解法之一。五、彈性力學的應用舉例例一：懸臂梁（1） 確定應力函數(shù)的邊界條件圖二以A（0，h/2）為起始點，調(diào)整中的任意常數(shù)使（a）選左手坐標系且M以逆時針為正，應力函數(shù)在邊界條件上滿足逆時鐘向：（b）

9、順時鐘向：（c）其中，為流動邊界點。Rx，Ry和M分別是從A點起算的邊界載荷對點簡化的主矢量和逆時鐘向主距。在下邊界AB上，載荷處處為零。由（b）式得：（d）左邊界AC是放松邊界，不必逐點給定及其偏導數(shù)值。在邊界CD上，按順時鐘向公式（c）得（e）（2）選擇域內(nèi)應力函數(shù)由應力函數(shù)沿主要邊界的分布規(guī)律可看出，沿x方向按二次多項式規(guī)律變化，沿y方向的規(guī)律未知，由此可選（f）帶入邊界條件（d（e）可以定出待定函數(shù)的邊界條件當y=h/2時，f0=f1= f2=0（g）當y=2時，f0=M；f1=P；f2=q（h）（3）求待定函數(shù)由邊界條件（g）可得出各待定常數(shù)：（i）進而可得（j）最后帶回到公式（f）

10、中得（k）（4）求應力把（k）式代入應力公式可以得到（l）例二：圓環(huán)或圓筒受均布壓力圖三設(shè)一軸向長度很長的圓環(huán)或者圓筒的截面如圖三示，起內(nèi)外徑分別為a，b，內(nèi)徑表面受內(nèi)壓力qa和外壓力qb作用。考慮邊界條件（a）將式（b）代入后得到（c）式中有三個未知數(shù)，連個方程不能確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件，即要使其單值，必須有B=0，由式（c）得將其代回應力分量式（b）得應力分量為上述應力表達式中（1） 若a=0，qa=0，圓筒受兩向等壓的情況則有。（2） 若qb=0（而qa0），則徑向應力和環(huán)向應力分別為可見，總是壓應力，總是拉應力。（3） 若qa=0（qb0），徑向應力和環(huán)向應力分別

11、為可見，總是壓應力。（4）若，則轉(zhuǎn)化為具有圓形孔道的無限大彈性問題，則有例三：矩形薄板的位移圖四取坐標軸如圖所示，把位移函數(shù)設(shè)為所以不論各系數(shù)如何取值，上式都滿足固定邊的位移邊界條件：按瑞利-里茲法求解。板的應力邊界條件為板上邊界：板下邊界：板右邊界：將位移試函數(shù)代入式得將位移試函數(shù)代入應變勢能表達式，通過積分運算，將結(jié)果代入上面六個方程可確定6個待定系數(shù)。其結(jié)果是：所得的位移分量為：結(jié)論： 彈性力學也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應力、應變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機械設(shè)計中所提出的強度和剛度問題。在研究對象上，彈性力學同材料力學和結(jié)構(gòu)力學之間有一定的分工。材

12、料力學基本上只研究桿狀構(gòu)件；結(jié)構(gòu)力學主要是在材料力學的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學研究包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。  彈性力學是固體力學的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力，也稱為彈性理論。它是材料力學、結(jié)構(gòu)力學、塑性力學和某些交叉學科的基礎(chǔ)，廣泛應用于建筑、機械、化工、航天等工程領(lǐng)域。彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當外力不超過某一限度時，除去外力后物體即恢復原狀。絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當作彈性體處理。 彈性力學的發(fā)展大體分為四個時期。

13、人類從很早時就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當時人們還是不自覺的運用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學，是從17世紀開始的。發(fā)展初期的工作是通過實踐，探索彈性力學的基本規(guī)律。這個時期的主要成就是R.胡克于1678年發(fā)表的彈性體的變形與外力成正比的定律，后來被稱為胡克定律。第二個時期是理論基礎(chǔ)的建立時期。這個時期的主要成就是，從 18221828年間，在A.-L·柯西發(fā)表的一系列論文中明確地提出了應變、應變分量、應力和應力分量概念，建立了彈性力學的幾何方程、平衡(運動)微分方程，各向同性和各向異性材料的廣義胡克定律，從而為彈性力學奠

14、定了理論基礎(chǔ)。彈性力學的發(fā)展初期主要是通過實踐，尤其是通過實驗來探索彈性力學的基本規(guī)律。英國的胡克和法國的馬略特于1680年分別獨立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學三定律。同時，數(shù)學的發(fā)展，使得建立彈性力學數(shù)學理論的條件已大體具備，從而推動彈性力學進入第二個時期。在這個階段除實驗外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來處理一些簡單構(gòu)件的力學問題。這些理論在后來都被指出有或多或少的缺點，有些甚至是完全錯誤的。在17世紀末第二個時期開始時，人們主要研究梁的理論。到19世紀20年代法國的納維和柯西才基本上建立了彈性力學的數(shù)學理論?？挛髟?8221828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應變、應變分量、應力和應力分量的概念，建立了彈性力學的幾何方程、運動(平衡)方程、各向