微積分試題和答案

1、高等數學：微積分部分：試卷：數學教研是：一、選擇題（每題2分）1、設比x）定義域為（1,2）,則九lg x ）的定義域為（）A、f 0,lg2)B、f0, lg2 C、(10,100)D、f 1,2)2、x=-1是函數V)=2x ;x的f)x|(x -1)A、跳躍間斷點B、可去間斷點C、無窮間斷點D、不是間斷點3、試求lim 2 °x 已知常數a、b,ljm x2+bx+a=5,貝y此函數的最大值為xT1 -x 已知直線y=6xk是y = 3x2的切線，貝U k= 求曲線xlny + y-2x=1，在點（11）的法線方程是 等于（）xA、1B、0C、1D、QO44、若丫亠1,求y等于

2、（）x yA、2x yB、y 2xc、2y xD、x+2y2y x2y x2x y2x y5、曲線y- 2xv的漸近線條數為()1 -xA、0B、1c、2D、36、下列函數中，那個不是映射（）A、y2 =x (x 壬B、y2=-x2+1C、2y =xD、y =ln x(x>0)、填空題（每題2 分）1、 y二的反函數為2、 、設f（x）mt（n11-，則f x的間斷點為Yn x +1三、判斷題(每題2分)21、函數y二止萬是有界函數1 +x22、有界函數是收斂數列的充分不必要條件3、 若lim，就說：是比二低階的無窮小a4、可導函數的極值點未必是它的駐點5、曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為拐

3、點()()()( )四、計算題(每題6分)sin!求函數y=x x的導數1 2 已知 f(x)二 xarcta nx- ln(1 x),求 dy2已知x2 -2xy y3 =6,確定y是x的函數，求y1、2、3、4、求 lim tan x 7in x x 0 xsin x5、dx計算(13xb-x1& 計算 lim (cos x)x" xT十五、應用題1、設某企業(yè)在生產一種商品 x件時的總收益為R(x)=100x-x2，總成本函數為C(x200 50x x2，問政府對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業(yè)獲得利潤最大的情況下，總稅額最大？(8分)2 12、描繪函數y二x -的圖形

4、(12分)x六、證明題(每題6分)11、用極限的定義證明：設im._f(x)=A,則lim.f() = A2、證明方程xex =1在區(qū)間(0,1)內有且僅有一個實數、選擇題1、C2、C 3、A 4、B5、D6、B、填空題1、x=0 2、a=6,b-73、18 4、35、x y-2=01、四、1、判斷題v計算題2、X3、V4、X5、X.1 si n (x x).1,sin In x (e xsin 1 In x=e xcosl(二)lnxIL x x1 . 1 sin x x1si n xx (一丄coshx x1 . sinx丄)x2、dy = f (x)dxt)dx21 x21二(arcta

5、nx x 2 1+ x2=arcta nxdx3、解：2x- 2y - 2xy 3y2y = 0.2x 3yy =27(2 3y)(2x 3y2)(2x 2y)(2 6yy)(2x-3y2)24、解:0時,x ： tanx : sin x,1 - cosx :x1 X? tan x(cosx)x 2 x原式= lim2 lim 分x 巾 xsin x x >0 x5、解:令 t= vx, x = t6dx6t5原式(1 t1 2)t3t26 1 t21 t6t - 6 arctan t C66 x - 6 arctan 6 x C6、解:原式lim ex0 'lim 1 In c

6、os xe x j x其中:lim ' ln cos xx >0 ' xlimx0 'In cos x(- sin x ) xlimx.O '-tan x原式五、應用題1、解：設每件商品征收的貨物稅為利潤為L(x)L(x)二 R(x) -C(x) -ax2 2= 100x-x -(200 50x x )ax»2x2(50a)x200L (x) - -4x 50 - a令L(x) =0,得乂二遼蘭,此時L(x)取得最大值4稅收T=ax二珀50")4T J(50 2a)41 令 T =0得 a=25T02.當a =25時，T取得最大值2、解

7、：D - -：,0 一. 0：間斷點為 x = 01y =2x 2x令八0則x J2y 電x令廠=0則x=-1limx-y無水平漸近線limXr00： x=0是y的鉛直漸近線Xim：x3+ 1廠二y無斜漸近線xx(r-1)-1(-1,0)0(1 )1 菠1(才)rfy0+rr y+0+y拐 占 八、無定義極值點/漸進線:>J y17V/1-4-3-2U1234 rT-?-3-4圖象六、證明題1、證明：lim f(x) = Ax：:“名 > OM > 0當xM時，有f(x)-円£名取=丄 0，則當0 ： x時，有MMMx1:、f () - A < 名x1即 lim f()二 Ax ；： x2、證明：令f (x) = xex -1f(x )在(0,1) 上 連續(xù)f (0) = -1 ： 0, f (1) = e-10由零