數(shù)學(xué)：321《幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型》課件

1、 通過(guò)一些實(shí)例通過(guò)一些實(shí)例,來(lái)感受一次函數(shù)、來(lái)感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應(yīng)用數(shù)的廣泛應(yīng)用;結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同增長(zhǎng)的函數(shù)模指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型意義，理解它們的增長(zhǎng)差異性型意義，理解它們的增長(zhǎng)差異性學(xué)習(xí)目標(biāo)互動(dòng)交流互動(dòng)交流,探求新知探求新知例例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：回報(bào)的累積值回報(bào)的累積值方案二方案二：第一天回報(bào)：第一天回報(bào)10元，以

2、后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回報(bào)回報(bào)10元；元；方案三方案三：第一天回報(bào)：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前元，以后每天的回報(bào)比前 一天翻一番。一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？1.考慮回報(bào)量考慮回報(bào)量,除了要考慮每天的回報(bào)量之除了要考慮每天的回報(bào)量之外外,還得考慮什么還得考慮什么?想一想：想一想：方案一方案一：每天回報(bào)：每天回報(bào)40元；元；我來(lái)說(shuō)我來(lái)說(shuō)想一想：想一想：2.本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系本題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系?如何利用函數(shù)如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系描述這些數(shù)量關(guān)系?我來(lái)說(shuō)我來(lái)說(shuō)設(shè)第設(shè)第x天所得回報(bào)是天所得回報(bào)是y元元,則方案一可用

3、函數(shù)則方案一可用函數(shù)y=40(xN*)進(jìn)行描述進(jìn)行描述;方案二可以用函數(shù)方案二可以用函數(shù)y=10 x(xN*)進(jìn)行描述進(jìn)行描述;方案三可以用函數(shù)方案三可以用函數(shù) 進(jìn)行描述。進(jìn)行描述。10.4 2(*)xyxN想一想：想一想：3.怎樣去研究這三個(gè)函數(shù)怎樣去研究這三個(gè)函數(shù),才能找到最佳的才能找到最佳的方案呢方案呢?要對(duì)三個(gè)方案作出選擇要對(duì)三個(gè)方案作出選擇,就要對(duì)它們的增長(zhǎng)就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析情況進(jìn)行分析,用計(jì)算器計(jì)算出三種方案所用計(jì)算器計(jì)算出三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況得回報(bào)的增長(zhǎng)情況,列表如下：列表如下：我來(lái)說(shuō)我來(lái)說(shuō)x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增增加加量量/元元y/

4、元元增增加加量量/元元y/元元增增加加量量/元元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.43040300214748364.800000000001010101010101010100.40.81.63.26.412.825.651.2107374182.4我想問(wèn)我想問(wèn)根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù)根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù),你對(duì)三種方你對(duì)三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)么認(rèn)識(shí)?我來(lái)說(shuō)我來(lái)說(shuō)方案一每天的回報(bào)不變方案一每天的回報(bào)不變;方案

5、二、三每天的方案二、三每天的回報(bào)都在增加回報(bào)都在增加,且方案三隨且方案三隨x的增加每天的的增加每天的回報(bào)越來(lái)越大回報(bào)越來(lái)越大,比方案二要大得多。比方案二要大得多。我想問(wèn)我想問(wèn)作出三個(gè)方案的圖象看看作出三個(gè)方案的圖象看看?圖112-1我想問(wèn)我想問(wèn)根據(jù)以上分析根據(jù)以上分析,你認(rèn)為該作出何種選擇你認(rèn)為該作出何種選擇?從問(wèn)題從問(wèn)題1可知可知,考慮回報(bào)量考慮回報(bào)量,除了要考慮每天除了要考慮每天的回報(bào)量之外的回報(bào)量之外,還得考慮回報(bào)的累積值還得考慮回報(bào)的累積值.你能你能把前把前11天回報(bào)的累積值算出來(lái)嗎天回報(bào)的累積值算出來(lái)嗎?累計(jì)回報(bào)表累計(jì)回報(bào)表 天數(shù)天數(shù)方案方案1234567891011一一408012

6、0160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8我想問(wèn)我想問(wèn) 投資投資8天以下（不含天以下（不含8天）天）,應(yīng)選擇第一種投資方案；投資應(yīng)選擇第一種投資方案；投資810天，應(yīng)選擇第二種投資方案；天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資投資11天（含天（含11天）以上，應(yīng)選天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。擇第三種投資方案。解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題讀懂問(wèn)題讀懂問(wèn)題抽象概括抽象概括數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題演算演算推理推理數(shù)學(xué)問(wèn)題的解數(shù)學(xué)問(wèn)題

7、的解還原說(shuō)明還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的解實(shí)際問(wèn)題的解例例2 2、某公司為了實(shí)現(xiàn)、某公司為了實(shí)現(xiàn)10001000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到銷售利潤(rùn)達(dá)到1010萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(y(單位：萬(wàn)元單位：萬(wàn)元) )隨著銷售利潤(rùn)隨著銷售利潤(rùn)x x ( (單位：萬(wàn)元單位：萬(wàn)元) )的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)不超的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)不超過(guò)過(guò)5 5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%25%?，F(xiàn)有。現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log

8、7x+1，y=1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求呢？呢？我想問(wèn)我想問(wèn)本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型本題中涉及了哪幾類函數(shù)模型?實(shí)質(zhì)是什么實(shí)質(zhì)是什么?本例涉及了一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函本例涉及了一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型數(shù)三類函數(shù)模型,實(shí)質(zhì)是比較三個(gè)函數(shù)的增實(shí)質(zhì)是比較三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)情況。長(zhǎng)情況。我來(lái)說(shuō)我來(lái)說(shuō)我再問(wèn)我再問(wèn)怎樣才能判斷所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公怎樣才能判斷所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司的要求呢司的要求呢?我來(lái)說(shuō)我來(lái)說(shuō)要對(duì)每一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型的獎(jiǎng)金總額是否超出要對(duì)每一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型的獎(jiǎng)金總額是否超出5萬(wàn)元萬(wàn)元,以及獎(jiǎng)勵(lì)比例是否超過(guò)以及獎(jiǎng)勵(lì)比例是否超過(guò)2

9、5%進(jìn)行分析進(jìn)行分析,才能做出正確選擇。才能做出正確選擇。解解:借助計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的圖象如下借助計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的圖象如下:對(duì)于模型對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間它在區(qū)間10,1000上遞增上遞增,當(dāng)當(dāng)x(20,1000)時(shí)時(shí),y5,因此該模型不符合要求。因此該模型不符合要求。對(duì)于模型對(duì)于模型 ,由函數(shù)圖象由函數(shù)圖象,并利用計(jì)算器并利用計(jì)算器,可可知在區(qū)間知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn) 滿足滿足 ,由于它在由于它在10,1000上遞增上遞增,因此當(dāng)因此當(dāng) 時(shí)時(shí),y5,因因此該模型也不符合要求。此該模型也不符合要求。1.002xy 0 x0 xx01.0025x對(duì)于模型對(duì)

10、于模型 ,它在區(qū)間它在區(qū)間10,1000上遞上遞增增,而且當(dāng)而且當(dāng)x=1000時(shí)時(shí), ,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求。萬(wàn)元的要求。7log1yx7log 1000 14.555y 再計(jì)算按模型再計(jì)算按模型 獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金是否不獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的超過(guò)利潤(rùn)的25%,即當(dāng)即當(dāng)x10,1000時(shí)時(shí),是否有是否有 7log1yx7log10.25xyxx 成立。成立。 令令 ,x10,1000,利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象的圖象7( )log1 0.25f xxx 由圖可知它是減函數(shù)由圖可知它是減函數(shù),因此因此f(x)f(10)-0.31671

11、)1)，對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù) y=y=logloga ax(ax(a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=x y=x n n (n (n0)0)在區(qū)在區(qū)間（間（0 0，+）上的單調(diào)性如何？）上的單調(diào)性如何？ 2.2.利用這三類函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)利用這三類函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，其增長(zhǎng)速度是有差異的，我們?cè)鯓宇}，其增長(zhǎng)速度是有差異的，我們?cè)鯓诱J(rèn)識(shí)這種差異呢？認(rèn)識(shí)這種差異呢？ 探究（一）：特殊冪、指、對(duì)函數(shù)模型的差異探究（一）：特殊冪、指、對(duì)函數(shù)模型的差異 對(duì)于函數(shù)模型對(duì)于函數(shù)模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, y=log, y=log2 2x x 其中其中x x0. 0. 思考思考1:1:

12、觀察三個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng)觀察三個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng) 表表, , 這三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的快慢情況如何？這三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的快慢情況如何？ 1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4850.4850 0-0.737-0.737-2.322-2.322y=logy=log2x x11.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.360.040.04y=xy=x210.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 2

13、1.5161.5161.1491.149y=2y=2x3.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.60.20.2x xx012345678y=2x12481632 64 128 256y=x201491625 364964思考思考2:2:對(duì)于函數(shù)模型對(duì)于函數(shù)模型y=2y=2x x和和y=xy=x2 2，觀察下列，觀察下列自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng)表：自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng)表： 當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)，你估計(jì)函數(shù)時(shí)，你估計(jì)函數(shù)y=2y=2x x和和y=xy=x2 2的圖象共的圖象共有幾個(gè)交點(diǎn)？有幾個(gè)交點(diǎn)？ 思考思考3:3:在同一坐標(biāo)系中這三個(gè)函數(shù)圖象的相在同一坐標(biāo)系中

14、這三個(gè)函數(shù)圖象的相對(duì)位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫(huà)出其大致圖象對(duì)位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫(huà)出其大致圖象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2xy=log2x思考思考4:4:根據(jù)圖象，不等式根據(jù)圖象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 21 1和和n n0 0，在區(qū)間，在區(qū)間(0,+(0,+) )上上a ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? a ax x是否恒小于是否恒小于x xn n? ?思考思考2:2:當(dāng)當(dāng)a a1 1，n n0 0時(shí)，在區(qū)間時(shí)，在區(qū)間(0,+(0,+) )上上, a, ax x與與x xn n的大小關(guān)系應(yīng)如何闡述？

15、的大小關(guān)系應(yīng)如何闡述？ 思考思考3:3:一般地，指數(shù)函數(shù)一般地，指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (a(a1)1)和冪函和冪函數(shù)數(shù)y=y=x xn n(n(n0)0)在區(qū)間在區(qū)間(0,+(0,+) )上，其增長(zhǎng)的快上，其增長(zhǎng)的快慢情況是如何變化的？慢情況是如何變化的？總存在一個(gè)總存在一個(gè) ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有0 x0 xnxxa 思考思考4:4:對(duì)任意給定的對(duì)任意給定的a a1 1和和n n0 0，在區(qū)間，在區(qū)間 (0,+)(0,+)上上, ,logloga ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? logloga ax x是否是否恒小于恒小于x xn n? ?思考思考5:5:隨著

16、隨著x x的增大的增大, ,logloga ax x增長(zhǎng)速度的快慢增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化程度如何變化? ? x xn n增長(zhǎng)速度的快慢程度如何增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化？變化？思考思考6:6:當(dāng)當(dāng)x x充分大時(shí)充分大時(shí), ,logloga ax(ax(a1)x1)xn n與與(n(n0)0)誰(shuí)誰(shuí)的增長(zhǎng)速度相對(duì)較快？的增長(zhǎng)速度相對(duì)較快？總存在一個(gè)總存在一個(gè) ，當(dāng)，當(dāng)x 時(shí)，就會(huì)有時(shí)，就會(huì)有0 x0 xnaxx log思考思考7:7:一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)y=y=logloga ax(ax(a1)1)和冪和冪函數(shù)函數(shù)y=y=x xn n(n(n0) 0) 在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,

17、+)上，其增長(zhǎng)的上，其增長(zhǎng)的快慢情況如何是如何變化的？快慢情況如何是如何變化的？xyo1y= =loglogax xy= =x xn思考思考8:8:對(duì)于指數(shù)函數(shù)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=y=a ax x(a(a1)1)，對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù) y=y=logloga ax(ax(a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=y=x xn n(n(n0)0)，總存在一，總存在一個(gè)個(gè)x x0 0，使，使x xx x0 0時(shí)時(shí), ,a ax x,log,loga ax,xx,xn n三者的大小關(guān)系三者的大小關(guān)系如何？如何？思考思考9:9:指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x (0(0a a1)1)，對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logy=

18、loga ax(0 x(0a a1)1)和冪函數(shù)和冪函數(shù)y=y=x xn n(n(n 時(shí)，時(shí)，就會(huì)有就會(huì)有0 x0 xxnaaxxlogxyo1y=a=axy= =x xny=log=log0.2x一般地一般地,對(duì)于指數(shù)函數(shù)對(duì)于指數(shù)函數(shù) 和冪函數(shù)和冪函數(shù)(1)xya a(0)nyxn通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn),在區(qū)間在區(qū)間(0,+)上上,無(wú)論無(wú)論n比比a大大多少多少,盡管在盡管在x的一定變化范圍內(nèi)的一定變化范圍內(nèi), 會(huì)小于會(huì)小于 ,但由于但由于 的增長(zhǎng)快于的增長(zhǎng)快于 的增長(zhǎng)的增長(zhǎng),因此因此,總存在一總存在一個(gè)個(gè) ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),就會(huì)有就會(huì)有xanxxanx0 x0 xxxnax同樣地同樣地,對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù) 和冪函數(shù)和冪函數(shù) ,在區(qū)間在區(qū)間(0,+)上上,隨著隨著x的增大的增大, 增長(zhǎng)得越來(lái)越慢增長(zhǎng)得越來(lái)越慢,圖