初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題技巧

1、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題技巧以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分規(guī)律的問(wèn)題， 稱(chēng)之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。 動(dòng)態(tài)幾 何問(wèn)題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某 些元素（點(diǎn)、線(xiàn)段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引 起了其它一些元素的數(shù)量、 位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生 變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中卻互相依存， 具有一 定的規(guī)律可尋。所謂“ 動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題 ”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,它們?cè)诰€(xiàn)段、射 線(xiàn)或弧線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的一類(lèi)開(kāi)放性題目， 注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查。 解決 這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜 , 靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)

2、題 . 在變化中找到不 變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué) “動(dòng)點(diǎn) ”探究題的基本思路 ,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最 核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究三角形、 四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過(guò) “對(duì) 稱(chēng)、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) ”等研究手段和方法， 來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化， 在解 題過(guò)程中滲透空間觀念和合情推理。 這些壓軸題題型繁多、 題意創(chuàng)新， 目的是考 察學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力 等。從數(shù)學(xué)思想的層面上講需要具備以下思想： 分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、 轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想 。常見(jiàn)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距

3、離。 為了便于對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的分 析，先明確以下 3 個(gè)問(wèn)題：1. 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。 即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 = 右邊點(diǎn)表示的數(shù)左邊點(diǎn)表示的 數(shù)。2. 點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看 作正速度， 而向左運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。 這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路 程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為ab ;向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物,分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,點(diǎn)在 數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線(xiàn)段的和差

4、關(guān)系。例1如圖.A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上，A表示的數(shù)為-10, B表示的數(shù)為14,點(diǎn)C 在點(diǎn) A 與點(diǎn) B 之間,且 AC=BC （1）求 A、 B 兩點(diǎn)間的距離;（2）求 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù);（3）甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/s,乙的 速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度/s,求相遇點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù).練習(xí)1已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為一1, 3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 x。若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5 ?若存在，請(qǐng)求出x 的值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從 0點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，

5、點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 一每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？二、求最值問(wèn)題利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線(xiàn)”求幾何圖形中一些線(xiàn)段和最小值問(wèn)題。 利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問(wèn)題借助的主要基本定理有三個(gè)：（1）兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線(xiàn)段最短。求線(xiàn)段和最小值問(wèn)題可以歸結(jié)為： 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題， 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題。例2如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，使PD+PE的值最小，則其最小值是 .特點(diǎn)：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線(xiàn)的同一側(cè)，在

6、直線(xiàn)上確定一動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)線(xiàn)段和最小，求出最小值。思路：解決這類(lèi)題目的方法是找出其中一定點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 連結(jié)這個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線(xiàn)于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足最值的位置。練習(xí)2如圖，等邊 ABC的邊長(zhǎng)為4, AD是BC邊上的中線(xiàn)，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則/ ECF的度數(shù)為（ ）A15°B.22.5°C.30°D. 45°例3如圖，/ AOB=30。，內(nèi)有一點(diǎn)P且0P= a6，若M、N為邊OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn)，那么 PMN的周長(zhǎng)最小為（）A. 2V6B.6C. V6/2D. V6特點(diǎn)：

7、已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線(xiàn)之間， 分別在兩直線(xiàn)上確定兩個(gè) 動(dòng)點(diǎn)使線(xiàn)段和最小。思路：這類(lèi)問(wèn)題通過(guò)做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線(xiàn)的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線(xiàn)” ， 把線(xiàn)段“移”到同一直線(xiàn)上來(lái)解決。練習(xí)3如圖，已知/ AOB的大小為a, P是/AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且0P=2， 點(diǎn)E、F分別是OA、0B上的動(dòng)點(diǎn)，若 PEF周長(zhǎng)的最小值等于2，則a =（） A. 30°B.45°C.60°D.90° 例4在銳角三角形 ABC中，AB=4，/ BAC=60。，/ BAC的平分線(xiàn)BC于D,M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn)，貝U BM+MN 的最小值是 .特點(diǎn)：兩動(dòng)點(diǎn)在兩條直線(xiàn)

8、上，定點(diǎn)和其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)共線(xiàn)，求不共線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)分別到定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距 離和最小值。思路：（ 1）利用軸對(duì)稱(chēng)變換，使不共線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線(xiàn) 段上（兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短） .（2）這條線(xiàn)段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所在直線(xiàn)時(shí)， 兩線(xiàn)段和最小，最小值等于這條垂線(xiàn)段的長(zhǎng)。練習(xí)4如圖，在 ABC中，/ C=90 °，CB=CA=4，/ A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn) D，若點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，貝U CQ+PQ的最小值是.三、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題背景是特殊圖形 ,考查問(wèn)題也是特殊圖形 ,所以要把握好一般與特殊 的關(guān)系 ;分析過(guò)程中 ,特別要關(guān)注圖形的特性 （特殊角、特殊圖形的性

9、質(zhì)、 圖形的特 殊位置）.分析圖形變化過(guò)程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變 量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。1 把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程 ;思考運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求 出的量。2 先確定特定圖形中動(dòng)點(diǎn)的位置 ,畫(huà)出符合題意的圖形 化動(dòng)為靜 。3 根據(jù)已知條件， 將動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)距離以及解決問(wèn)題時(shí)所需要的條件用含 t 的代數(shù) 式表示出來(lái)。4 根據(jù)所求 , 利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來(lái)解決動(dòng) 點(diǎn)問(wèn)題。例5如圖，在Rt ABC中，/ B=90 ° , AB=5 ，/ C=30。.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

10、點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)， 另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過(guò)點(diǎn)D作DF丄 BC于點(diǎn)F，連接DE、EF.(1) 求證： AE=DF ；(2) 當(dāng)t為何值時(shí)， DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.例6如圖，點(diǎn)A在丫軸上，點(diǎn)B在X軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0的直 線(xiàn)L交線(xiàn)段AB于點(diǎn)C,過(guò)C作0C的垂線(xiàn)，與直線(xiàn)X=1相交于點(diǎn)P,現(xiàn)將直線(xiàn) L繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記 AC 的長(zhǎng)為t，分析此圖后，對(duì)下列問(wèn)題作出探究：(1)當(dāng)厶AOC和厶BCP全等時(shí)，求出t的值(2)通過(guò)動(dòng)

11、手測(cè)量線(xiàn)段0C和CP的長(zhǎng)來(lái)判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。鞏固提升1. 如圖在銳角 ABC中，AB=4 V2, / BAC=45。，/ BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝U BM+MN 的最小值是 .2. 已知，數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，到原點(diǎn)的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn) 的右邊，從點(diǎn)A走到點(diǎn)B,要經(jīng)過(guò)32個(gè)單位長(zhǎng)度.(1)求 A、 B 兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)若點(diǎn)C也是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3 倍, 求點(diǎn) C 對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）已知，點(diǎn)M從點(diǎn)A向右出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B向右出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線(xiàn)段

12、NO的中點(diǎn)為P,線(xiàn)段PO-AM 的值是否變化？若不變求其值.3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（，0），B（3，2），C （0，2） 動(dòng)點(diǎn)D以每秒 1個(gè)單位的速度從點(diǎn)0出發(fā)沿0C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的 速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)E作EF上AB，交BC于點(diǎn)F，連結(jié) DA、DF.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）求/ ABC的度數(shù)；當(dāng)t為何值時(shí)，AB / DF;w4. 如圖， ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn) 動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同 的速度由B 向CB延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE± AB于E,連接PQ交AB 于