微積分課件：5-6 高階線性微分方程

1、 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程15.6 高階線性微分方程高階線性微分方程線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 二階線性微分方程舉例二階線性微分方程舉例線性線性(higher-order linear ordinary differential equation)第第5 5章章 微分方程微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程2當物體處于靜止狀態(tài)時當物體處于靜止狀態(tài)時, 例例 設(shè)有一個設(shè)有一個彈簧彈簧, 它的上端固定它的上端固定, 下端掛一個下端掛一個并在并在平衡位置附近上下平衡位置附近上下xxo物體的位置物體的位

2、置x隨時間隨時間試建立物體位移試建立物體位移滿滿一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體的物體.作用在物作用在物方向相反方向相反.體上的重力與彈性力大小相等、體上的重力與彈性力大小相等、這個位置這個位置 就是物體的平衡位置就是物體的平衡位置. 如圖所示如圖所示.物體具有一個初始速度物體具有一個初始速度如果使如果使, 00 v那么物體那么物體 便離開平衡位置便離開平衡位置, 振動振動.在振動過程中在振動過程中,t變化變化, 即即x是是 t 的函數(shù)的函數(shù). 足的微分方程足的微分方程, 即即x = x(t).解解 (1) 自由振動情況自由振動情況. 物體所受的力為物體所受

3、的力為建立坐標系建立坐標系彈性恢復力彈性恢復力虎克定律虎克定律xcf 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程3據(jù)牛頓第二定律得據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22 ,2mck ,2mn 令令則則阻尼自由振動方程阻尼自由振動方程為為, 0dd2dd222 xktxntx阻力阻力txRdd (2) 強迫振動情況強迫振動情況. 若物體在運動過程中還受若物體在運動過程中還受,sin作用作用tpHF ,Hmh 令令則則.sindd2dd222tphxktxntx 鉛直外力鉛直外力強迫振強迫振動方程動方程為為 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程4求電容器兩兩極板間電壓求電容器兩兩極板間電壓u

4、c所滿足的微分方程所滿足的微分方程 . 0dd iRCqtiLE例例 聯(lián)組成的電路聯(lián)組成的電路, 其中其中R, L, C 為常數(shù)為常數(shù) ,sintEEm LERKCqqi電容器電容器由電學知由電學知,ddtqi ,CquC tiLELdd 由回路電壓定律由回路電壓定律, 得得設(shè)有一個電阻設(shè)有一個電阻 R, 自感自感L,電容電容 C 和電源和電源 E 串串在閉合回路中在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為所有支路上的電壓降為 0自感電動勢為自感電動勢為EL. 設(shè)電路中電流為設(shè)電路中電流為 i(t),極板極板上的電荷量為上的電荷量為 q(t), 兩極板間兩極板間的電壓為的電壓為uC , 5.6 高階

5、線性微分方程高階線性微分方程5LCLR1,20 令令tLCEututumCCC sindd2dd2022 串聯(lián)電路的振蕩方程為串聯(lián)電路的振蕩方程為如果電容器充電后撤去電源如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ), 則得則得. 0dd2dd2022 CCCututu 22ddtuCLCtuCRCdd Cu tEm sin ,ddtuCiC 注意注意故有故有 化為關(guān)于化為關(guān)于uC的微分方程的微分方程:0dd iRCqtiLEtEEm sin CquC LERKCqqi 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程6二階二階)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy ,0)(時時當當 xf二階線

6、性二階線性齊次齊次微分方程微分方程,0)(時時當當 xf二階線性二階線性非齊次非齊次微分方程微分方程微分方程微分方程)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 線性線性微分方程微分方程)(xfn階階線性線性以上兩例方程的以上兩例方程的共性共性 可歸結(jié)為可歸結(jié)為同一形式同一形式: 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程7)()(2211xyCxyCy yxQyxPy)()(定理定理5.15.1,)1()()(21的兩個解的兩個解是方程是方程與與如果函數(shù)如果函數(shù)xyxy的的也也是是那那末末)1()()(2211xyCxyCy ).,(21是常數(shù)是常數(shù)CC證證 2211yCyC

7、)(2211yCyCxP )(2211yCyCxQ )()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC . 0 ,)1()()(21的兩個解的兩個解是方程是方程與與如果函數(shù)如果函數(shù)xyxy疊加原理疊加原理0一定是通解一定是通解(1)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)解解1. 二階二階齊次線性齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)齊次齊次 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程8說明說明不一定不一定是所給二階齊次是所給二階齊次如如,)(1xy是某二階線性齊次方程的解是某二階線性齊次方程的解,)(2)(12xyxy 也是二階線性齊次方程的解也是二階線性齊次方程的解 )

8、()2()()(1212211xyCCxyCxyC 并不是并不是二階線性齊次方程二階線性齊次方程通解通解但是但是)()(2211xyCxyCy 則則為解決為解決通解通解的判別問題的判別問題, 下面引入函數(shù)的下面引入函數(shù)的線性線性相關(guān)與相關(guān)與線性無關(guān)概念線性無關(guān)概念. 線性線性方程的通解方程的通解.一個任意常數(shù)一個任意常數(shù)C 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程9線性無關(guān)線性無關(guān)nyyy,21設(shè)設(shè)02211 nnykykyk線性相關(guān)線性相關(guān). .否則稱否則稱 線性無關(guān)線性無關(guān). .如如),(sin,cos122 xxx，),(e,e,e2 xxxx線性相關(guān)線性相關(guān)有恒等式有恒等式取取, 1,

9、 1321 kkk0sincos122 xx內(nèi)恒等式成立內(nèi)恒等式成立如果存在如果存在n個不全為零的常數(shù)個不全為零的常數(shù), 使得當使得當x在該區(qū)間在該區(qū)間那末稱這那末稱這n個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的n個函數(shù)個函數(shù). 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程10如如, 0 yy,cos1xy xyytan12 且且.sincos21xCxCy 線性無關(guān)線性無關(guān).定理定理5.25.2)()(2211xyCxyCy )1(0)()( yxQyxPy通解通解,常常數(shù)數(shù) 為了求為了求只要求它的兩個線性無關(guān)的特解只要求它的兩個線性無關(guān)的特解.,sin2xy )()(21

10、xyxy兩個兩個線性無關(guān)線性無關(guān)的特解的特解,常常數(shù)數(shù) 那末那末也是也是(1)的的齊次齊次線性方程的通解線性方程的通解,若在若在I上有上有通解通解.則函數(shù)則函數(shù)y1(x)與與y2(x)在在I上上如果函數(shù)如果函數(shù)y1(x)與與y2(x)是方程是方程(1)的的 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程11推論推論是是n 階階齊次線性方程齊次線性方程0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn的的n 個線性無關(guān)的解個線性無關(guān)的解, 那么那么, 此方程的通解為此方程的通解為),()()(2211xyCxyCxyCynn 其中其中nCCC,21為任意常數(shù)為任意常數(shù).定理定理2可推廣到可推廣

11、到n階齊次線性方程階齊次線性方程.)(,),(),(21xyxyxyn如果函數(shù)如果函數(shù) 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程122. 二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)定理定理5.35.3 yxQyxPy)()( y設(shè)設(shè) 的一個的一個特解特解, yYy那么那么 為了求為了求非齊次線性方程的一個特解非齊次線性方程的一個特解和對應(yīng)齊次線性方程和對應(yīng)齊次線性方程只要求得只要求得:的通解的通解.)1(0)()( yxQyxPy非齊次非齊次)(xf(2)非齊次非齊次線性方程的通解線性方程的通解, Y 是與是與(2)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程(1)的通解的通解, 是二階非齊次線

12、性微分方程是二階非齊次線性微分方程(2)的的通解通解. 是二階非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程132xyy 方程方程已知已知xCxCYsincos21 0 yy的通解的通解.又容易驗證又容易驗證22 xy是所給方程的一個特解是所給方程的一個特解.是是非齊次非齊次方程的通解方程的通解. yYy如如是二階是二階非齊次非齊次線性方程線性方程.xCxCsincos21 22 x是對應(yīng)齊次方程是對應(yīng)齊次方程所以所以 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程14解的疊加原理解的疊加原理定理定理5.45.4 yxQyxPy)()(如如分別是分別是與與而而

13、21yy)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 21yy)2()()()(xfyxQyxPy )(xf )(1xf)(2xf函數(shù)之和函數(shù)之和,的特解的特解, 那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理5.35.3和和定理定理5.45.4也可推廣到也可推廣到 n 階非齊次階非齊次設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)的右端的右端f (x)是幾個是幾個線性方程線性方程. 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程15 求解求解解解 yy的通解是的通解是xCxCYsincos21 再考慮兩個方程再考慮兩個方程, xyy xye212 ,1xy 分別是原方程的特解分別是原方程

14、的特解.所以原方程的通解為所以原方程的通解為 y例例xyye xCxCsincos21 0 x .e21x yY.exxyy 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程16常數(shù)變易法常數(shù)變易法 )()(xfyxpy 對應(yīng)對應(yīng)齊次方程齊次方程的通解的通解 xxpCxCyyd)(1e)(設(shè)設(shè)非齊次方程非齊次方程的解為的解為 )(1xyy 代入原方程確定代入原方程確定u(x). )(xu三、常數(shù)變易法三、常數(shù)變易法一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程17對二階線性非齊次方程對二階線性非齊次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1 1 )()(2211x

15、yCxyCy 設(shè)設(shè)(3)的解為的解為 )()()()(2211xvxyxvxyy 由于有兩個待定函數(shù)由于有兩個待定函數(shù), 所以要建立兩個方程所以要建立兩個方程:(3)(4)已知對應(yīng)齊次方程通解為已知對應(yīng)齊次方程通解為 2211vyvyy 2211vyvy (v1(x), v2(x)待定待定) 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程,21vvy 中不含中不含為使為使令令02211 vyvy于是于是22112211vyvyvyvyy 將以上結(jié)果代入方程將以上結(jié)果代入方程 (3), 2211vyvy 1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得得)(2211xfvyvy (6)故

16、故(5), (6)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式, 02121 yyyyW y1, y2是對應(yīng)是對應(yīng)齊次方程的解齊次方程的解18(5) 因因y1, y2線性無關(guān)線性無關(guān),)3()()()(xfyxQyxPy 2211vyvyy 2211vyvy 00.1,11221fyWvfyWv 可解得可解得, 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程19fyWvfyWv12211,1 積分積分, 得得 ,d121CxWfyv 代入代入(3)的解的解設(shè)設(shè)中中,2211yCyCy 說明說明 將將(3)的解設(shè)為的解設(shè)為 )()(21xyxyy )(1xv)(2xv只有一個必須滿足的條件即方程只有一個必須滿足的條件即方

17、程(3), 因此必需再附因此必需再附 加一加一個條件個條件, 方程方程(5)的引入是為了簡化計算的引入是為了簡化計算.)3()()()(xfyxQyxPy .d212CxWfyv 設(shè)設(shè)(3)的解為的解為 )()()()(2211xvxyxvxyy xWfyyd21 .d12xWfyy 即得即得非齊次方程的通解非齊次方程的通解)5(02211 vyvy 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程20情形情形2 2 僅知僅知(3)的齊次方程的一個非零特解的齊次方程的一個非零特解y1(x). , )()(1xyxuy 令令代入代入 (3)并化簡并化簡, 得得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(1

18、11 f uz 令令fzyPyzy )2(111設(shè)其通解為設(shè)其通解為 )()(2xzxZCz 積分得積分得12d)(d)(CxxzxxZCu 一階線性方程一階線性方程由此得原方程由此得原方程(3)的通解為的通解為)3()()()(xfyxQyxPy 0).(d)(d)(112xyCxxzxxZCy 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程21例例0)1( yyxyx的通解為的通解為,e21xCxCY 解解 1111 xyxyxxy已知齊次方程已知齊次方程.)1()1(2的通解的通解求求 xyyxyx y令令0e21 vvxx1e21 xvvx,e,121xxvv 解解得得積分得積分得,11xC

19、v 故所求通解為故所求通解為)1(e221 xxCxCyx).1(e221 xCxCx將所給方程化為將所給方程化為 )(022112211xfvyvyvyvy公式公式xxCv e)1(22),(e)(21xvxvxx 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程22例例,02e的解的解是齊次方程是齊次方程已知已知 yyyYx解解 令令),(exuyx 代入非齊次方程并化簡代入非齊次方程并化簡, 得得.1xu 將上式兩邊積分將上式兩邊積分, 得得于是所求通解為于是所求通解為 .e12的通解的通解求非齊次方程求非齊次方程xxyyy ),()(exuxuyx ),()(2)(exuxuxuyx ,|ln1Cxu 兩邊再積分兩邊再積分, 得得,|ln21CxCxxxu )1( ,|ln12 CCCCxxx其其中中.ee|lne2xxxCCxxxy 5.6 高階線性微分方程高階線性微分方程23線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)四、小結(jié)線性微分方程的概念線性微分方程的概念常數(shù)變易法常數(shù)變易法 5.6 高階線性微分方程高階線性微