基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像噪聲處理

1、基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像噪聲處理摘 要本文首先介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及其現(xiàn)狀，緊接著詳細(xì)的闡述了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理和分析中的理論基礎(chǔ)。并從二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)出發(fā)著重研究了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的膨脹、腐蝕、開運(yùn)算、閉運(yùn)算等各種運(yùn)算和性質(zhì)，然后根據(jù)已有的運(yùn)算，接著引入了形態(tài)濾波器設(shè)計(jì)、形態(tài)學(xué)圖像處理的實(shí)用算法。由于在圖像的獲取中存在各種可能的噪聲，比如高斯噪聲、瑞利噪聲、伽馬噪聲、指數(shù)噪聲、均勻噪聲以及椒鹽等噪聲，由于這些噪聲的普遍存在，因此，利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的腐蝕、膨脹、開啟、閉合設(shè)計(jì)出了一種比較理想的（閉和開）形態(tài)學(xué)濾波器，并且用MATLAB語(yǔ)言編寫程序，反復(fù)的使用這種開閉、閉開來處理圖像中存在的噪聲，其效

2、果比較滿意。 關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 圖像處理 腐蝕 膨脹 濾波 1 / 46Studies on Mathematical Morphologyfor Image ProcessingABSTRACT In this paper ,we first introduced the brief history and development of mathematical morphology some general theory of mathematical morphology analysis and many experiment results are presented. Later

3、 ,from the aspect of morphology of dual value, special emphasis on various operations and properties including dilation, erosion, open operation and close operation etc. In addition, morphology analysis method of the dual value image is also discussed and the practical and improved operations of the

4、 morphological image processing such as electric filter design, marginal pattern testing are introduced. As the image of the acquisition in the range of possible noise, such as Gaussian noise, Rayleigh noise, Gamma noise, Uniform noise Salt and Pepper noise and so on. As the prevalence of such noise

5、, so using mathematical morphology of erosion, dilation, opening, closing designed a more ideal (open and closed) morphological filter, And repeated to use opening and closing, closing and opening handle image processing in the noise. It is satisfied with its results. And the simulation results is m

6、ore satisfactory after the use of MATLAB language programming.Keyword：mathematical morphology image processing erosion dilation electric 目 錄一 緒論11.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史11.2 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與數(shù)字圖像處理11.3 本文的研究?jī)?nèi)容及安排2二 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算32.1 基本概念32.2 二值腐蝕和膨脹32.2.1 二值腐蝕運(yùn)算32.2.2 二值膨脹運(yùn)算42.2.3 腐蝕和膨脹的代數(shù)性質(zhì)52.3 二值開運(yùn)算和閉運(yùn)算62.3.1 二值開運(yùn)算72.3.2

7、二值閉運(yùn)算92.4 小結(jié)10三 使用形態(tài)學(xué)濾波器處理噪聲113.1 噪聲模型113.1.1 一些重要噪聲的概率密度函數(shù)113.1.2 噪聲的參數(shù)的估計(jì)163.2 濾波器的設(shè)計(jì)173.3 濾波器對(duì)圖像噪聲的處理193.4 小結(jié)20結(jié)論21謝辭22參考文獻(xiàn)23附錄24 一 緒論1.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)作為一門新興的圖像處理與分析學(xué)科，1964年由法國(guó)的G.Mathern和J.Serra在積分幾何的基礎(chǔ)上首次創(chuàng)立。70年代初，采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的學(xué)者們開拓了圖像分析的一個(gè)新的領(lǐng)域。經(jīng)過十多年的理論與實(shí)踐探索，G.Mathern和J.Serra等人在研究中認(rèn)識(shí)到，對(duì)圖像先作開運(yùn)算接著再作閉運(yùn)算，

8、可以產(chǎn)生一種冪等運(yùn)算;采用遞增尺寸的交變開閉序列作用于圖像，可有效地消除圖像的噪聲，1982年他們正式提出了形態(tài)學(xué)濾波器的概念。90年代數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有兩個(gè)顯著的發(fā)展趨勢(shì)，第一個(gè)是致力于運(yùn)動(dòng)分析，包括編碼與運(yùn)動(dòng)景物描述;第二個(gè)是算法與硬件結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)發(fā)展，用于處理數(shù)值函數(shù)的形態(tài)學(xué)算子的開發(fā)與設(shè)計(jì)。目前國(guó)內(nèi)許多有效的圖像處理系統(tǒng)有的是基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法原理設(shè)計(jì)的，有的是把數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法納入其基本軟件，并以其運(yùn)算速度作為系統(tǒng)性能的重要標(biāo)志之一1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與數(shù)字圖像處理在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)字圖像處理經(jīng)常需要利用計(jì)算機(jī)去研究將連續(xù)圖像數(shù)字化，例如，識(shí)別簽名或者票據(jù)、識(shí)別細(xì)胞圖片或X光照片、解釋和破譯各種遙感

9、照片、檢查各種工業(yè)制品的表面質(zhì)量、識(shí)別指紋等等。為了能將圖像輸入到計(jì)算機(jī)內(nèi)，需要對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)字化，得到所謂數(shù)字圖像。數(shù)字圖像處理的主要內(nèi)容或目的包括以下幾個(gè)部分:對(duì)圖像質(zhì)量加以改善，使圖像更加清晰，有助于提高目視效果，或者從圖像中檢測(cè)出所需要的部分;對(duì)圖像進(jìn)行描述和分析，通過描述圖像的幾何、拓?fù)湫再|(zhì)、紋理性質(zhì)等來提取圖像的各種特征，以便利用這些特征進(jìn)行對(duì)圖像的理解和識(shí)別;圖像理解，由投影圖重建三維圖像以及對(duì)三維場(chǎng)景的分析等等。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以看作是一種特殊的數(shù)字圖像處理方法和理論，以圖像的形態(tài)特征為研究對(duì)像。它通過設(shè)計(jì)一整套變換(運(yùn)算)、概念和算法，用以描述圖像的基本特征。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的

10、各種變換、運(yùn)算、概念和算法的目的，在于描述一圖像的基本特征或基本結(jié)構(gòu)，亦即一圖像的各個(gè)元素或者各個(gè)部分之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)作為一種用于數(shù)字圖像處理和識(shí)別的新理論和新方法，它的理論雖然很復(fù)雜，被稱為“驚人數(shù)學(xué)”，但它的基本思想?yún)s是簡(jiǎn)單而完美的。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基于集合的觀點(diǎn)是極其重要的。這意味著:它的運(yùn)算由集合運(yùn)算(如并、交、補(bǔ)等)來定義;所有的圖像都必須以合理的方式轉(zhuǎn)換為集合。1.3本文的研究?jī)?nèi)容及安排本文首先從數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本理論入手，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的理論基礎(chǔ)進(jìn)行了詳盡的分析和討論。接著把數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算運(yùn)用到二值圖像中去，通過組合，形成了一些形態(tài)學(xué)分析算法和一系列形態(tài)學(xué)處理算法

11、，這些算法主要包括膨脹、腐蝕、開、閉等運(yùn)算，并對(duì)這些算法進(jìn)行了深入的研究。全文共分三章:第一章介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r以及其在數(shù)字圖像處理中所應(yīng)用概況;第二章詳盡介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算及其基本性質(zhì); 第三章用形態(tài)學(xué)濾波器去處理圖像噪聲。二 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算2.1基本概念 2.2二值腐蝕和膨脹二值圖像是指那些灰度只取兩個(gè)可能值的圖像，這兩個(gè)灰度值通常取為O和1。習(xí)慣上認(rèn)為取值1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于景物中的點(diǎn)，取值為0的點(diǎn)構(gòu)成背景。這類圖像的集合表示是直接的?？紤]所有1值點(diǎn)的集合(即物體)X，則X與圖像是一一對(duì)應(yīng)的。我們感興趣的也恰恰是X集合的性質(zhì)。如何對(duì)集合X進(jìn)行分析呢?數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)認(rèn)為，所謂分析

12、，即是對(duì)集合進(jìn)行變換以突出所需要的信息。其采用的是主觀“探針”與客觀物體相互作用的方法?！疤结槨币彩且粋€(gè)集合，它由我們根據(jù)分析的目的來確定。術(shù)語(yǔ)上，這個(gè)“探針”稱為結(jié)構(gòu)元素。選取的結(jié)構(gòu)元素大小及形狀不同都會(huì)影響圖像處理的結(jié)果。剩下的問題就是如何選取適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素以及如何利用結(jié)構(gòu)元素對(duì)物體集合進(jìn)行變換。為此，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)定義了兩個(gè)最基本的運(yùn)算稱為腐蝕和膨脹。2.2.1二值腐蝕運(yùn)算腐蝕是表示用某種“探針”(即某種形狀的基元或結(jié)構(gòu)元素)對(duì)一個(gè)圖像進(jìn)行探測(cè)，以便找出圖像內(nèi)部可以放下該基元的區(qū)域。它是一種消除邊界點(diǎn)，使邊界向內(nèi)部收縮的過程。可以用來消除小且無(wú)意義的物體。腐蝕的實(shí)現(xiàn)同樣是基于填充結(jié)構(gòu)元素的概

13、念。利用結(jié)構(gòu)元素填充的過程，取決于一個(gè)基本的歐氏空間概念平移。我們用記號(hào)表示一個(gè)集合A沿矢量x平移了一段距離。 (2-1)集合A被B腐蝕，表示為，其定義為: (2-2)其中A稱為輸入圖像，B稱為結(jié)構(gòu)元素。AB由將B平移x仍包含在A內(nèi)的所有點(diǎn)x組成。如果將B看作模板，那么，AB則由在將模板平移的過程中，所有可以填入A內(nèi)部的模板的原點(diǎn)組成。根據(jù)原點(diǎn)與結(jié)構(gòu)元素的位置關(guān)系，腐蝕后的圖像大概可以分為兩類:(1)如果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部，則腐蝕后的圖像為輸入圖像的子集，如圖2-1所示。(2)如果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素的外部，則腐蝕后的圖像可能不再輸入圖像的內(nèi)部，如圖2-2所示。 圖2-1 腐蝕類似于收縮圖2-2

14、腐蝕不是輸入圖像的子集腐蝕除了用填充形式表示外，還有一個(gè)更重要的表達(dá)形式:AB =Ab:bB (2-3)這里腐蝕可以通過將輸入圖像平移-b(b屬于結(jié)構(gòu)元素)，并計(jì)算所有平移的交集而得到。2.2.2二值膨脹運(yùn)算膨脹是腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，可以通過對(duì)補(bǔ)集的腐蝕來定義。我們以Xc表示集合X的補(bǔ)集，Bv表示B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的反射。那么，集合A被B膨脹，表示為XB，其定義為: (2-4)在圖2-3中，B為一個(gè)包含原點(diǎn)的圓盤，利用B對(duì)A進(jìn)行膨脹的結(jié)果是使A擴(kuò)大了。因?yàn)榕蛎浭抢媒Y(jié)構(gòu)元素對(duì)圖像補(bǔ)集進(jìn)行填充，因而它表示對(duì)圖像外部濾波處理。而腐蝕則表示對(duì)圖像內(nèi)部作濾波處理。圖2-3 利用圓盤膨脹如果結(jié)構(gòu)元素為一個(gè)圓

15、盤，那么，膨脹可填充圖像中的小孔(相對(duì)于結(jié)構(gòu)元素而言比較小的孔洞)，及在圖像邊緣處的小凹陷部分。而腐蝕可以消除圖像中小的成分，并將圖像縮小，從而使其補(bǔ)集擴(kuò)大。膨脹還可以通過相對(duì)結(jié)構(gòu)元素的所有點(diǎn)平移輸入圖像，然后計(jì)算并集得到,可用如下表達(dá)式描述：AB= UA+b:bB (2-5)此方程定義的膨脹，歷史上稱為瓏nkowski和。本文對(duì)要測(cè)試的原始圖像(如圖2-4)分別進(jìn)行了腐蝕運(yùn)算和膨脹運(yùn)算得到的結(jié)果如圖2-5,2-6所示。圖2-4 原始圖像 圖2-5 腐蝕圖像 圖2-6膨脹圖像2.2.3腐蝕和膨脹的代數(shù)性質(zhì)膨脹滿足兩個(gè)最基本的運(yùn)算關(guān)系，一個(gè)是交換律，另一個(gè)是結(jié)合律。即:AB=BA (2-6)A(

16、BC)=(AB)C (2-7)由上式可知腐蝕運(yùn)算是不可交換的，但腐蝕運(yùn)算具有結(jié)合律。 A(BC)=(AB)C=(AC)B (2-8)此式可以表明，當(dāng)圖像A用一個(gè)大的結(jié)構(gòu)元素BC去腐蝕時(shí)，其結(jié)果與用B和C連續(xù)腐蝕時(shí)相同，而腐蝕結(jié)果與用結(jié)構(gòu)元素B、C的腐蝕順序無(wú)關(guān)。根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以只存儲(chǔ)一些簡(jiǎn)單而基本的結(jié)構(gòu)元素B，C等等，一旦需要時(shí)便可由他們對(duì)圖像做連續(xù)腐蝕，以取代各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)元素。腐蝕和膨脹運(yùn)算具有以下的性質(zhì)：(l)腐蝕、膨脹和圖像之并:(AUB)C=(AC)U(BC) (2-9)C(AB)=(CA)U(CB) (2-10)(AUB)C(AC)U(BC) (2-11)C(AUB)=(CA

17、)(CB) (2-12)即對(duì)U是可分配的，對(duì)U是不可分配的。(2)腐蝕、膨脹和圖像之交:(AB)C(AC)(BC) (2-13)C(AB)(CA)(CB) (2-14)(AB)C=(AC)(BC) (2-15)C(AB)(CA)U(CB) (2-16)(3)關(guān)于腐蝕和膨脹:A(BC)(AB)C (2-17)(4)若,.,是一系列結(jié)構(gòu)元素，則有 (2-18) (2-19) (2-20) (2-21)2.3二值開運(yùn)算和閉運(yùn)算在形態(tài)學(xué)圖像處理中，除了腐蝕和膨脹兩種基本運(yùn)算外，還有兩種由腐蝕和膨脹定義的運(yùn)算，即開運(yùn)算和閉運(yùn)算。這兩種運(yùn)算是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中最主要的運(yùn)算或變換。從結(jié)構(gòu)元素填充的角度看，它們具有

18、更為直觀的幾何形式，同時(shí)提供了一種手段，使得我們可以在復(fù)雜的圖像中選擇有意義的子圖像。2.3.1二值開運(yùn)算假定A仍為輸入圖像。B為結(jié)構(gòu)元素，利用B對(duì)A作開運(yùn)算，用符號(hào)AB表示，其定義為:AB=(AB)B (2-22)所以，開運(yùn)算實(shí)際上是A先被B腐蝕，然后再被B膨脹的結(jié)果。開運(yùn)算還可以用其它符號(hào)表示，如O(A，B)，OPEN(A，B)，在本文中，我們采用o(A，B)來表示。開運(yùn)算能從一個(gè)圖像A中選取一個(gè)與結(jié)構(gòu)元素B相匹配的子集合，該子集合的性質(zhì)是:O(A,B)x,for tAB,xand (2-23)上式表示圖像A對(duì)結(jié)構(gòu)元素B的開運(yùn)算。精確地選擇集合A中的點(diǎn)x，當(dāng)x被結(jié)構(gòu)元素B或其平移B，覆蓋的

19、同時(shí)，結(jié)構(gòu)元素必須整個(gè)包含在集合A內(nèi)部，由此可以得出開運(yùn)算是一個(gè)反延伸性質(zhì)的運(yùn)算。對(duì)于式C(AB)=(CA)U(CB) (2-24)可改寫成：其中 x (2-25)這種寫法形象地描述了開運(yùn)算的特性:當(dāng)結(jié)構(gòu)元素B掃過整個(gè)圖像A集合內(nèi)部，那些使結(jié)構(gòu)元素B的任何像素不超出圖像A邊界的圖像A的像素點(diǎn)的集合，就是O(A，B)。開運(yùn)算的這種基本的幾何形狀匹配性質(zhì)在圖像處理中是非常有用的。它可以用來分解圖像，抽取圖像中有意義且獨(dú)立的圖像元。 通常的例子是用圓盤對(duì)矩形作開運(yùn)算，通過2.1節(jié)對(duì)腐蝕和膨脹運(yùn)算的描述，我們不難得到開運(yùn)算的結(jié)果，如圖2-7所示。圖2-7 圓盤開運(yùn)算從圖2-7看到，開運(yùn)算具有兩個(gè)顯著的

20、作用:利用圓盤可以磨光矩形內(nèi)邊緣;用A-O(A，B)可以得到圖像的尖角，因此圓盤的圓化作用可以起到低通濾波的作用。本文對(duì)要測(cè)試的原始圖像(圖2-4)進(jìn)行了開運(yùn)算，選取3x3、5x5、7x7三種大小不同的菱形結(jié)構(gòu)元素，所得結(jié)果如圖2-8(a)、2-8(b)、2-8(c)所示。另外采用5x5的菱形、線形、正方形、圓形結(jié)構(gòu)元素，所得結(jié)果如圖2-9(a)、2-9(b)、2-9(c)、2-9(d)所示。由圖可以看出，目標(biāo)周圍的噪聲塊得到了一些有效處理，而且處理的效果與結(jié)構(gòu)元素形狀與大小的選取有密切關(guān)系。 圖a 3×3結(jié)構(gòu)元素 圖b 5×5結(jié)構(gòu)元素 圖c 7×7結(jié)構(gòu)元素圖2-

21、8 三種大小不同的菱形結(jié)構(gòu)元素a棱形 b線形 c方形 d圓形圖2-9 5×5結(jié)構(gòu)元素 2.3.2二值閉運(yùn)算閉運(yùn)算是開運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，定義為先作膨脹然后再作腐蝕。利用B對(duì)A作閉運(yùn)算表示為，其定義為: =A (2-26)我們還可以采用以下方法來描述閉運(yùn)算:C(A,B)=xx (2-27)該集合中包含所有這樣的點(diǎn)X，x被一個(gè)平移的鏡像結(jié)構(gòu)元素B覆蓋的同時(shí)B，與A圖像必有一些公共點(diǎn)，由此看出，初始圖像A包含在C(A，B)中，即閉運(yùn)算是具有延伸性的運(yùn)算。圖2-10描述了閉運(yùn)算的過程及結(jié)果。圖2-10利用圓盤閉運(yùn)算顯然，用閉運(yùn)算對(duì)圖形的外部做濾波，僅僅磨光了凸向圖像內(nèi)部的邊角。本文對(duì)要測(cè)試的原始

22、圖像(如圖2-4)進(jìn)行了閉運(yùn)算，選取3x3、5x5、7x7三種大小不同的菱形結(jié)構(gòu)元素，所得結(jié)果如圖2-11(a)、2-11(b)、2-11(c)所示。另外，采用5x5的菱形、線形、正方形、圓形結(jié)構(gòu)元素，所得結(jié)果如圖2-12(a)、2-12(b)、2-12(e)、2-12(d)所示。發(fā)現(xiàn)目標(biāo)內(nèi)部的噪聲塊得到了一些有效處理，處理的效果與結(jié)構(gòu)元素形狀和大小的選取有密切關(guān)系。利用結(jié)構(gòu)元素對(duì)圖像做閉運(yùn)算，可以填充目標(biāo)內(nèi)部狹窄的裂縫和長(zhǎng)細(xì)的窄溝，消去小的孔洞。 圖a 3×3結(jié)構(gòu)元素 圖b 5×5結(jié)構(gòu)元素 圖c 7×7結(jié)構(gòu)元素圖2-11三種大小不同的菱形結(jié)構(gòu)元素 a棱形 b線形

23、c方形 d圓形圖2-12 5×5結(jié)構(gòu)元素2.4小結(jié)本章首先介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)最基本的運(yùn)算:腐蝕運(yùn)算和膨脹運(yùn)算。然后又介紹了由腐蝕和膨脹所定義的開運(yùn)算和閉運(yùn)算，并對(duì)這四種運(yùn)算的腐蝕和膨脹運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了分析。而且通過實(shí)驗(yàn)證明結(jié)構(gòu)元素的大小及形狀對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生不同的影響。我們看到，依靠數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算的支持，產(chǎn)生了一些新穎、有效的思想和方法，它們?cè)趯?shí)際中的應(yīng)用開拓了相當(dāng)吸引人的領(lǐng)域。這也證實(shí)了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)這一方法的生命力。計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)表明，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行圖像處理所得到的效果更適合視覺信息的處理和分析。三 使用形態(tài)學(xué)濾波器處理噪聲3.1噪聲模型數(shù)字圖像的噪聲主要來源于

24、圖像的獲取（數(shù)字化過程）和傳輸過程。圖像傳感器的工作情況受各種因素的影響，如圖像獲取中的環(huán)境條件和傳感元器件自身的質(zhì)量。例如，使用CCD攝像機(jī)獲取圖像，關(guān)照程度和傳感器溫度是生成圖像中產(chǎn)生大量噪聲的主要因素。圖像在傳輸過程中主要由于所用的傳輸信道的干擾受到噪聲污染。比如通過無(wú)線網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)膱D像可能因?yàn)楣饣蚱淦渌髿庖蛩氐母腥颈晃廴尽?.1.1一些重要噪聲的概率密度函數(shù)（1）高斯噪聲在現(xiàn)實(shí)中這種噪聲比較普遍，所以我們對(duì)其考慮甚多。事實(shí)上，這種易處理性比較方便，考慮時(shí)這種模型經(jīng)常居于臨界情況下。高斯隨即變量Z的PDF由下式給出： p(z)= (3-1)其中z表示灰度值，表示z的平均值或期望值，表示z

25、的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的平方2稱為z的方差。高斯函數(shù)的曲線如圖3-1（a）所示。當(dāng)z服從式（3-1）的分布時(shí)候，其值有70落在(-),(+)內(nèi)，且有95落在(-2),( +2)范圍內(nèi)。（2）瑞利噪聲瑞利噪聲的概率密度函數(shù)由下式給出：P(z)= （3-2）概率密度的均值和方差由下式給出： （3-3） 和 （3-4）圖3-1（b）顯示了瑞利密度的曲線。注意，距原點(diǎn)的位移和其密度圖形的基本形狀向右變形的事實(shí).瑞利密度對(duì)于近似偏移的直方圖十分適用.（3）伽馬(愛爾蘭)噪聲伽馬噪聲的PDF由下式給出：P(z)= （3-5）其中，a>0，b為正整數(shù)且“!”表示階乘。其密度的均值和方差由下式給出： （3-6

26、） 和 （3-7） 圖3-1(c)顯示了伽馬密度的曲線，盡管式(3-5)經(jīng)常被用來表示伽馬密度，嚴(yán)格地說，只有當(dāng)分母為伽馬函數(shù)(b)時(shí)才是正確的。當(dāng)分母如表達(dá)式所示時(shí)，該密度近似稱為愛爾蘭密度。（4）指數(shù)分布噪聲指數(shù)噪聲的PDF可由下式給出： P(z)= （3-8）其中a>0。概率密度函數(shù)的期望值和方差是： （3-9） （3-10）注意，指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是當(dāng)bl時(shí)愛爾蘭概率分布的特殊情況。圖3-1(d)顯示了該密度函數(shù)的曲線a 高斯 b 瑞利 c 伽馬 d 指數(shù)e 均勻 f 脈沖圖3-1 某些重要的概率密度函數(shù)（5）均勻噪聲分布均勻噪聲分布的概率密度，由下式給出：p(z)= (3-

27、11)      概率密度函數(shù)的期望值和方差可由下式給出： (3-12)        (3-13)圖3-1(e)顯示了均勻密度的曲線。（6）脈沖噪聲(椒鹽噪聲)(雙極)脈沖噪聲的PDF可由下式給出：P(z)= (3-14)如果b>a，灰度值b在圖像中將顯示為一個(gè)亮點(diǎn)，相反，a的值將顯示為一個(gè)暗點(diǎn)。若或?yàn)榱悖瑒t脈沖噪聲稱為單極脈沖。如果和均不可能為零，尤其是它們近似相等時(shí)，脈沖噪聲值將類似于隨機(jī)分布在圖像上的胡椒和鹽粉微粒。由于這個(gè)原因，雙極脈沖聲也稱為椒鹽噪聲。同時(shí)，它們有時(shí)也稱為散粒和尖峰噪聲。

28、圖3-2顯示了一個(gè)非常適合于闡述剛剛所討論的噪聲模型的測(cè)試圖。之所以選擇它，是因?yàn)樗怯珊?jiǎn)單、恒定的區(qū)域所組成，且其從黑到近似于白僅僅有3個(gè)灰度級(jí)增長(zhǎng)跨度。這方便了對(duì)附加在圖像上的各種噪聲分量特性的視覺分析。 圖3-3顯示了疊加了本節(jié)討論的6種噪聲的測(cè)試圖。所示的每幅圖像的下面是從圖像直接計(jì)算而來的直方圖。在每種情況下選擇噪聲的參數(shù)，這樣對(duì)應(yīng)于測(cè)試圖中3種灰度的直方圖將開始合并。這可以使噪聲十分顯著，而不會(huì)使構(gòu)成圖像的基本結(jié)構(gòu)變暗。    比較圖3-3的直方圖和圖3-1中的概率密度函數(shù)，可以看到相近的對(duì)應(yīng)關(guān)系。椒鹽噪聲.實(shí)例的直方圖在光譜的白端有一個(gè)額外的尖峰，因

29、為噪聲分量是純黑或純白，并且在測(cè)試.圖中最亮的分量(圓)是亮灰度。除了少許亮度不同外，在圖3-3中很難區(qū)別出前5幅圖像有什么顯著的不同，即使它們的直方圖有明顯的區(qū)別。椒鹽噪聲是惟一一種引起退化的視覺可見的噪聲類型。圖3-2用于說明示于圖3-1的噪聲PDF特性的測(cè)試圖高斯 瑞利 伽馬指數(shù) 均勻 椒鹽圖3-3六種噪聲的測(cè)試圖3.1.2噪聲的參數(shù)的估計(jì)典型的周期噪聲參數(shù)是通過檢測(cè)圖像的傅里葉譜來進(jìn)行估計(jì)的。像在前幾節(jié)提及的那樣，周期噪聲趨向于產(chǎn)生頻率尖峰，這些尖峰甚至通過視覺分析也經(jīng)常可以檢測(cè)到。另一種方法是盡可能直接從圖像中推斷噪聲分量的周期性，但這僅僅在非常簡(jiǎn)單的情況下才是可能的。當(dāng)噪聲尖峰格外

30、顯著或可以使用關(guān)于干擾的頻率分量一般位置的某些知識(shí)時(shí)，自動(dòng)分析是可能的。噪聲PDF參數(shù)一般可以從傳感器的技術(shù)說明中得知，但對(duì)于特殊的成像裝置常常有必要去估計(jì)這些參數(shù)。如果成像系統(tǒng)可用，那么研究這個(gè)系統(tǒng)的噪聲特性最簡(jiǎn)單的方法就是截取一組“平坦”環(huán)境的圖像。例如，在光學(xué)傳感器情況下，這就像對(duì)一個(gè)固體的、光照均勻的灰度板成像一樣簡(jiǎn)單。結(jié)果圖像是一個(gè)典型的系統(tǒng)噪聲良好的指示器。 當(dāng)僅僅通過傳感器產(chǎn)生的圖像可以利用的時(shí)候，常?？梢詮暮侠淼暮愣ɑ叶戎档囊恍〔糠止烙?jì)PDF的參數(shù)。例如，在圖3-4中所示的垂直帶(150×20像素)是從圖3-3中高斯、瑞利和均勻圖像中獲取的。所顯示的直方圖是通過這些小

31、帶的圖像數(shù)據(jù)計(jì)算出來的。與圖3-4中的直方圖相對(duì)應(yīng)的圖3-3中的直方圖是圖3-3(d),(e)，(k)三組中的一組。 可以看出，這些相應(yīng)的直方圖形狀非常接近于圖3-4中的直方圖形。 a b c圖3-4利用圖像帶中的數(shù)據(jù)最簡(jiǎn)單的方法是計(jì)算灰度值的均值和方差。考慮由S定義的一條小帶(子圖像)?？梢詮幕窘y(tǒng)計(jì)量出發(fā)利用下面的樣本近似： (3-15) (3-16)其中值是S中像素的灰度值，且P()表示相應(yīng)的歸一化直方圖值。直方圖的形狀指出最接近的PDF匹配。如果其形狀近似于高斯，那么均值和方差正是所需要的，因?yàn)楦咚筆DF可以通過兩個(gè)參數(shù)完全確定下來。用均值和方差來解出參數(shù)a和b。脈沖噪聲用不同的方法處

32、理，因?yàn)樾枰烙?jì)黑、白像素發(fā)生的實(shí)際概率。獲得這些估計(jì)值需要黑白像素是可見的，因此，為了計(jì)算直方圖，圖像中一個(gè)相對(duì)恒定的中等灰度區(qū)域是必需的。對(duì)應(yīng)于黑、白像素的尖峰高度是在式(3-14)中的和的估計(jì)值。3.2濾波器的設(shè)計(jì)對(duì)于二值圖像，噪聲表現(xiàn)為目標(biāo)周圍的噪聲塊和目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔。用結(jié)構(gòu)元素B對(duì)集合A進(jìn)行開啟操作，就可以將目標(biāo)周圍的噪聲塊消除掉；用B對(duì)A進(jìn)行閉合操作，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉。該方法中，對(duì)結(jié)構(gòu)元素的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊都要大。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算以腐蝕和膨脹這兩種基本運(yùn)算為基礎(chǔ)，引出了其它幾種常用的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算:腐蝕、膨脹、開運(yùn)算、閉運(yùn)算、細(xì)化和粗化，它

33、們是全部形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)。形態(tài)濾波器是由以集合論為基礎(chǔ)的開、閉運(yùn)算組成，它們具有不模糊圖像邊界的特性，采用形態(tài)算子對(duì)基元和圖像進(jìn)行處理便構(gòu)成了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波器。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波器在圖像處理和分析中有著廣泛的應(yīng)用，一般說來開運(yùn)算用來消除散點(diǎn)、“毛刺”和小橋，即對(duì)圖像進(jìn)行平滑，閉運(yùn)算則填平小洞或?qū)蓚€(gè)鄰近的區(qū)域連接起來。同時(shí)，形態(tài)學(xué)又十分強(qiáng)調(diào)圖像的幾何結(jié)構(gòu)和幾何特征，所以形態(tài)濾波器在圖像濾波、分析處理和壓縮編碼等領(lǐng)域展示了美好的應(yīng)用前景。由于形態(tài)學(xué)的開和閉運(yùn)算具有消除圖像噪聲和平滑圖像的功能，因此使用形態(tài)學(xué)開、閉運(yùn)算建立的形態(tài)濾波器逐漸發(fā)展起來。形態(tài)濾波器是用一個(gè)結(jié)構(gòu)元素B對(duì)初始圖像串聯(lián)地使用開、閉操作

34、。這樣圖像中比結(jié)構(gòu)元素小的游離的噪聲將被濾除。若初始圖像為A，結(jié)構(gòu)元素為B，則形態(tài)濾波器可以這樣來構(gòu)成:OC(A,B)=C(O(A,B),B)或CO(A,B)=O(C(A,B),B) (3-17)形態(tài)濾波器的詳盡描述如下:(AB)B)BB或(AB)B)B)B (3-18)如果結(jié)構(gòu)元素包括原點(diǎn)(0，0)，則腐蝕和膨脹滿足以下性質(zhì):性質(zhì)1ABAAB (3-19)這一性質(zhì)表明，在B包括原點(diǎn)的前提下，腐蝕后的結(jié)果只會(huì)使A的點(diǎn)數(shù)減少或者不變，而膨脹則使A的點(diǎn)數(shù)增加或者不變。利用前一點(diǎn)，可以通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素B，使得腐蝕后得以消除A中的微小顆粒，即噪聲點(diǎn)。利用后一點(diǎn)，又可以對(duì)腐蝕結(jié)果再用B進(jìn)行膨脹，以

35、恢復(fù)有用信息(細(xì)節(jié)部分)。性質(zhì)2對(duì)開運(yùn)算和閉運(yùn)算，恒有O(A,B)AC(A,B) (3-20)即開運(yùn)算使原圖形縮小而閉運(yùn)算使原圖形增大。根據(jù)上面的討論以及開閉運(yùn)算的性質(zhì)不難證明形態(tài)開一閉(OC)和形態(tài)閉一開(CO)濾波器具有如下一些重要性質(zhì):(l)平移不變性O(shè)C(A+x,B)=OC(A,B)+xCO(A+x,B)=CO(A,B)+x (3-21)(2)遞增性如果是的子集，則OC(A,B)OC(A,B)CO(A,B)CO(A,B) (3-22)(3)冪等性O(shè)C(CO(A,B)=CO(OC(A,B)CO(OC(A,B)=OC(CO(A,B) (3-23) (4)對(duì)偶性(OC(A,B)=CO(A,B

36、)(CO(A,B)=OC(A,B) (3-24)形態(tài)濾波器的輸出不僅取決于變換的形式，而且取決于結(jié)構(gòu)元素的尺寸和形狀，一般只有與結(jié)構(gòu)元素的尺寸和形狀相匹配的基元才能被保留。3.3濾波器對(duì)圖像噪聲的處理形態(tài)學(xué)運(yùn)算可以用于構(gòu)造與空間濾波概念相類似的濾波器。顯示于圖3-5(a)中的二值圖像顯示了受噪聲污染的部分指紋圖像。這里噪聲表現(xiàn)為黑色背景上的亮元素和亮指紋部分的暗元素。我們的目的是消除噪聲及它對(duì)印刷所造成的影響使圖像失真盡可能減小。由閉操作后緊跟著進(jìn)行開操作形成的形態(tài)學(xué)濾波器可用于實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的。圖3-5(b)顯示了所使用的結(jié)構(gòu)元素。圖3-5余下的部分顯示了濾波操作的每一步過程。圖3-5(c)顯示

37、了使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)A進(jìn)行腐蝕的結(jié)果。背景噪聲在開操作的腐蝕過程中被完全消除了，因?yàn)樵谶@種情況下，圖像中噪聲部分的物理尺寸均比結(jié)構(gòu)元素小。而包含于指紋中的噪聲元素(黑點(diǎn))的尺寸卻有增加。原因是，當(dāng)目標(biāo)被腐蝕時(shí)，這些元素被作為應(yīng)該增大尺寸的內(nèi)部邊界進(jìn)行了處理。這種增大在圖3-5(c)中進(jìn)行膨脹的過程中被抵消了。圖3-5(d)顯示了該結(jié)果。包含于指紋中的噪聲分量的尺寸被減小或被完全消除掉了。剛才描速的兩種操作構(gòu)成了用B對(duì)A進(jìn)行的開操作。我們注意到圖3-5(d)中開操作的實(shí)際效果是消除背景和指紋中的所有噪聲。然而，在指紋紋路間產(chǎn)生了新的間斷。為了防止這種不希望的影響，我們?cè)陂_操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行膨脹，如圖3

38、-5(e)所示。大部分間斷被恢復(fù)了，但指紋的紋路變粗了，可以通過腐蝕來彌補(bǔ)出現(xiàn)的這種情況示于圖3-5(f)的結(jié)果構(gòu)成了對(duì)圖3-5(d)中開操作的閉操作。最后結(jié)果的噪聲斑點(diǎn)清除得相當(dāng)干凈。圖3-5 受噪聲污染的部分指紋圖像3.4小結(jié)由于圖像中存在各種噪聲，因此在處理噪聲時(shí)所使用的方法也就不一樣。就數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波器的開閉（閉開）反復(fù)的使用就能很好的處理圖像中的噪聲，同時(shí)它在處理噪聲過程中很方便也很適用。結(jié) 論圖像處理是當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)中最具有前景的領(lǐng)域之一，圖像技術(shù)有非常廣泛的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理中的重要方法之一。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本理論和方法在醫(yī)學(xué)成像、顯微鏡學(xué)、生物學(xué)、機(jī)器人視覺、自動(dòng)字符讀

39、取、金相學(xué)、地質(zhì)學(xué)、冶金學(xué)、遙感技術(shù)等諸多領(lǐng)域都取得了非常成功的應(yīng)用。本文首先介紹了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及其現(xiàn)狀。從最基本的理論入手，對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的理論基礎(chǔ)進(jìn)行了詳盡的分析和討論，本文對(duì)形態(tài)學(xué)的算法用大量的篇幅進(jìn)行敘述，詳細(xì)的描述了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的膨脹、腐蝕、開啟、閉合四大運(yùn)算，指出了開啟和閉合是由膨脹和腐蝕運(yùn)算結(jié)合使用而得出的算法，說明了開運(yùn)算具有使圖像變小，閉運(yùn)算使圖像增大的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)開閉運(yùn)算有一個(gè)有趣的性質(zhì)等冪性，它意味著一次濾波就能把所有特定于結(jié)構(gòu)元素的噪聲濾除干凈。本文最后一章是全文的重點(diǎn)，也是本文研究的目的。這一章詳盡的介紹了濾波器的設(shè)計(jì)，形態(tài)濾波器是由以集合論為基礎(chǔ)的開、

40、閉運(yùn)算組成，它們具有不模糊圖像邊界的特性，采用形態(tài)算子對(duì)基元和圖像進(jìn)行處理便構(gòu)成了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波器。同時(shí)做出了使用濾波器處理噪聲的方法。謝 辭本論文是在趙杰教授的精心指導(dǎo)和關(guān)懷下完成的.導(dǎo)師淵博的學(xué)識(shí),敏銳的洞察力,嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的作風(fēng)和精益求精的精神使我收益匪淺，趙老師富于創(chuàng)造性的想法給我很多的啟發(fā)和幫助,使我能夠順利地完成課題的研究和論文的撰寫,在此向幫助我的導(dǎo)師表示深深地感謝!其次,要感謝我本科期間的所有任課老師,由于他們的細(xì)心指導(dǎo)和教誨讓我無(wú)論是在學(xué)習(xí)中還是在生活中都養(yǎng)成了良好的素質(zhì)。另外,還要感謝我的好朋友們?cè)诋厴I(yè)設(shè)計(jì)期間給予我的鼓勵(lì)與幫助,是他們讓我克服種種困難,讓我增加信心,最終完成了

41、論文的撰寫.最后我要感謝我的父母和親人,他們?cè)谏钪薪o予了我很多的關(guān)心,幫助和鼓勵(lì),是他們的無(wú)私付出使我能夠克服前進(jìn)道路上的困難,鼓族勇氣前行.使我能順利地完成了本科四年的學(xué)業(yè).現(xiàn)在,論文已經(jīng)完成,謹(jǐn)以此報(bào)答老師,同學(xué),親人和朋友的支持和期望!衷心祝愿所有曾經(jīng)給予我關(guān)心和幫助的人，一切如意!參考文獻(xiàn)1 唐長(zhǎng)青，黃錚.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及其應(yīng)用M.北京：科學(xué)出版社，19992 Heijmans，HerkJ. Morphological mage operatorM.Boston: Academle Pc.Inc 19943 崔屹. 圖像處理與分析數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及應(yīng)用M.北京.科學(xué)出版社,20004

42、章毓晉.圖像工程(上冊(cè))圖像處理與分析M.北京:清華大學(xué)出版社，19995 張遠(yuǎn)鵬，董海，周文靈.計(jì)算機(jī)圖像處理技術(shù)基礎(chǔ)M.北京:北京大學(xué)出版社，19966 章毓晉.圖像分割M.北京:科學(xué)出版社，20017 鄭南寧.計(jì)算機(jī)視覺與模式識(shí)別石M.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，19988 Serra J. Image analysis and mathematical morphologyM.London: Aeademic Press 19769 崔屹.圖像處理與分析M.科學(xué)出版社, 200010 楊暉,張繼武.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像邊緣檢測(cè)中的應(yīng)用研究J.遼寧大學(xué)學(xué)報(bào),2005(1)11 王樹文,等.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用J.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2004(32)12 曲延峰.徐健.李衛(wèi)軍，王守覺.有效去處圖像中脈沖嗓聲的新型雌波算法.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào),2003. 3.15(4):397.4013 趙春暉，孫圣和一