平面幾何中線段相等的幾種證明方法

1、.平面幾何中線段相等的證明幾種方法平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當也會帶來麻煩，特別是在有限的兩個小時考試中。恰中選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性質證明線段相等這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。例1如圖，C是線段AB上一點，ACD和BCE是等邊三角形。求證：AE=BD。證明 ACB和BCE都是等邊三角形ACD=60°，BCE=60°，DCE=60°ACE=ACDDCE=120°BCD=BCEDCE=120

2、6;AC=CD，CE=CBACEDCBSASAE=DB例2如圖，ABC中，AB=AC，點E在AB上，點F在AC的延長線上，且BE=CF，EF與BC交于D，求證：ED=DF。證明：過點E作EG/AF交BC于點GEGB=ACB，EGD=FCDAB=ACB=ACB，B=FGB，BE=GEBE=CF，GE=CF在EGD和FCD中，EGD=FCD，EDG=FDC，GE=CFEGDFCDAASED=FD二、利用等腰三角形的判定等角對等邊證明線段相等如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。例1如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且BE=AC，延長BE交AC于

3、F。求證：AF=EF。證明：延長AD到G，使DG=AD，連結BG。AD=GD，ADC=GDB，CD=BDADCGDBAC=GB，F(xiàn)AE=BGEBE=ACBE=BG，BGE=BEGFAE=BGE=BEG=AEFAE=EF例2如圖，ABC中，AB=AC，DFBC于F，DF與AC交于E，與BA的延長線交于D，求證：AD=AE。證明：DFBCDFB=EFC=90°，D=90°B，CEF=90°CAB=AC，B=CD=CEFCEF=AEDD=AEDAD=AE三、利用平行四邊形的性質證明線段相等如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。例1如圖，AB

4、C中，C=90°，A=30°，分別以AB、AC為邊在ABC的外側作正ABE和正ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD。證明：過D作DOAC交AB于點OOD垂直平分AC，ACB=90°BCACO點必為AB的中點，連結EO，那么EOABCAB=30°，BAE=CAD=60°ADAB，AEACOE/AD，AE/OD四邊形ODAE為平行四邊形EF=FD例2如圖，AD是ABC的中線，過DC上任意一點F作EG/AB，與AC和AD的延長線分別交于G和E，F(xiàn)H/AC，交AB于點H。求證：HG=BE。證明：延長AD到A'，使DA'=AD又BD

5、=CD四邊形BACA'是平行四邊形BA=A'C由題設可知HFGA也是平行四邊形HF=AGHF/AC，又，HF=AG，BA=A'CBH=EG四邊形BEGH是平行四邊形HG=BE四、利用中位線證明線段相等如果中含有中點或等邊等，用上面方法較難，可以考慮此法。例1如圖，以ABC的邊AB、AC為斜邊向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中點。證明：DM=EM。證明：延長BD至F，使DF=BD。延長CE到G，使EG=CE，連結AF、FC，連結AG、BGBD=FD，ADB=ADF=90°，AD=ADRtABDRtAFDBAD=FAD同理可得：CAE

6、=GAEABD=ACEFAB=GAC，故FAC=GAB在ABG和AFC中，AB=AF，GAB=CAF，AG=ACABGAFCBG=FC又DF=DB，EC=EG，M是BC的中點DM=EM，即DM=EM例2如圖，ABC中，C為直角，A=30°，分別以AB、AC為邊在ABC的外側作正ABE與正ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。證明：過D作DG/AB交EA的延長線于G，可得DAG=30°BAD=30°60°=90°ADG=90°DAG=30°=CAB，AD=ACRtAGDRtABCAG=AB，AG=AEDG/ABEF/FD五、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明線段相等。如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形，并且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。例如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。證明：作DA、CE的延長線交于HABCD是正方形，E是AB的中點AE=BE，AEH=BECBEC=EAH=90°AEHBECASA