隨機(jī)信號表示法

1、王 靜靜初等概率論初等概率論高等數(shù)學(xué)（對簡單函數(shù)的微積分）高等數(shù)學(xué)（對簡單函數(shù)的微積分）信號分析信號分析第第1 1節(jié)、隨機(jī)信號節(jié)、隨機(jī)信號第第2 2節(jié)、隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特征描述節(jié)、隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特征描述第第3 3節(jié)、幾種典型的隨機(jī)過程節(jié)、幾種典型的隨機(jī)過程第第4 4節(jié)、隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)節(jié)、隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)確定性確定性信號，就是其每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可以用某個(gè)信號，就是其每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可以用某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表唯一地確定的信號。數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表唯一地確定的信號。 隨機(jī)隨機(jī)信號只能用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行描述，只能在一定信號只能用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行描述，只能在一定的準(zhǔn)確性（的準(zhǔn)確性（accuracyacc

2、uracy）或可信性（）或可信性（confidenceconfidence）范）范圍內(nèi)進(jìn)行預(yù)測。圍內(nèi)進(jìn)行預(yù)測。 本節(jié)重點(diǎn)：平穩(wěn)且各態(tài)遍歷本節(jié)重點(diǎn)：平穩(wěn)且各態(tài)遍歷ECGEEG隨機(jī)信號隨機(jī)信號的性質(zhì)：隨機(jī)信號的性質(zhì)： 1.1.隨機(jī)信號中的任何一個(gè)點(diǎn)上的取值都是隨機(jī)信號中的任何一個(gè)點(diǎn)上的取值都是不能先驗(yàn)確定的不能先驗(yàn)確定的隨機(jī)變量隨機(jī)變量。( (硬幣實(shí)驗(yàn)硬幣實(shí)驗(yàn)）2.2.隨機(jī)信號可以用它的統(tǒng)計(jì)平均特征來表征。隨機(jī)信號可以用它的統(tǒng)計(jì)平均特征來表征。用柱狀圖表示摩根的四個(gè)樣本出現(xiàn)正面 次數(shù)出現(xiàn)反面 次數(shù)1061104810171039987100010311009統(tǒng)計(jì)結(jié)果是否準(zhǔn)確？P=0.04物理信號確

3、定性隨機(jī)性周期性 非周期性平穩(wěn)平穩(wěn) 非平穩(wěn)各態(tài)遍歷各態(tài)遍歷 非各態(tài)遍歷 如果隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性與開始進(jìn)行統(tǒng)計(jì) 分析的時(shí)刻無關(guān)，則為平穩(wěn)隨機(jī)過程，否 則為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。如果所有樣本在固定時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特征與單一樣本在全時(shí)間上的統(tǒng)計(jì)特征一致，則為各態(tài)遍歷的隨機(jī)過程。結(jié)全圖來說明，每一行曲線代表隨機(jī)信號的一個(gè)樣本；隨機(jī)信號在不同時(shí)刻是取值不同的隨機(jī)變量，但它們的分布遵循概率密度函數(shù)，在t1時(shí)刻服從p(x1;t1),t2時(shí)刻服從p(x2;t2)。如果總有E(x1)=E(x2)即要求p(x1;t1)=p(x2;t2)則此隨機(jī)過程在均值 意義上平穩(wěn)結(jié)合圖來說明，每一行曲線代表隨機(jī)信號的一個(gè)樣本；設(shè)x(i)(

4、t1)表示第i個(gè)樣本在t1時(shí)刻的取值，如果總體平均等于時(shí)間平均：( )( )11(1)( )limlimTNiiNTiTx txt dtN則為各態(tài)遍歷的u3.2.13.2.1概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) . .一維概率分布函數(shù)一維概率分布函數(shù) 對于一個(gè)隨機(jī)變量xn,用P xn ( x1,n)來表示它的概率分布函數(shù)，則有： ),(),(),(11111xxnxpnxpxxxnxPnxxnnxnnn概率概率密度函數(shù)：來表示的取值是離散的，則用如果概率. .二維概率分布函數(shù)二維概率分布函數(shù)二維聯(lián)合概率分布函數(shù) 二維聯(lián)合概率分布函數(shù)的二階偏微分對應(yīng)著相應(yīng)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)： 當(dāng)隨機(jī)變量和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)則有

5、： ),(),;,(,2211221121xxxxnxnxPnnxxnn概率),(),;,(,2211221121xxxxnxnxpnnxxnn概率)()(),;,(,221122112121xxpxxpnxnxpnxnxxxnnnnu3.2.2 3.2.2 廣義的平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義的平穩(wěn)隨機(jī)過程1.1.平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程一階平穩(wěn)過程一階平穩(wěn)過程( first order stable process )( first order stable process )：信號的：信號的平均值平均值與與t t無關(guān)的過程叫一階平穩(wěn)過程。無關(guān)的過程叫一階平穩(wěn)過程。二階平穩(wěn)過程：二階平穩(wěn)過程需滿足：二階

6、平穩(wěn)過程：二階平穩(wěn)過程需滿足：（1 1）信號的）信號的平均值平均值與與t t無關(guān)；無關(guān)；（2 2）信號的）信號的均方值均方值與與t t無關(guān)；無關(guān)；（3 3）信號的）信號的協(xié)方差協(xié)方差只是時(shí)間間隔的函數(shù)，而與時(shí)間原點(diǎn)的只是時(shí)間間隔的函數(shù)，而與時(shí)間原點(diǎn)的選擇無關(guān)。選擇無關(guān)。 今后我們所提到的平穩(wěn)隨機(jī)過程均認(rèn)為是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過今后我們所提到的平穩(wěn)隨機(jī)過程均認(rèn)為是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，只有一階，二階統(tǒng)計(jì)特征具有平穩(wěn)性即可。程，只有一階，二階統(tǒng)計(jì)特征具有平穩(wěn)性即可。u3.2.3 3.2.3 統(tǒng)計(jì)特征量統(tǒng)計(jì)特征量 . .數(shù)字期望（均值）數(shù)字期望（均值）隨機(jī)變量的均值定義為： . .均方值均方值隨機(jī)變量的均方值

7、定義為： dxxxpxEmnxn)(dxxpxxEn)(22. .方差方差 隨機(jī)變量的方差定義為：隨機(jī)變量的方差定義為： 利用以上式容易得到方差、均值、均方值的關(guān)系：利用以上式容易得到方差、均值、均方值的關(guān)系： 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，方差、均值、均方值對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，方差、均值、均方值( (3 3個(gè)一階個(gè)一階統(tǒng)計(jì)特征量統(tǒng)計(jì)特征量）都是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)，可以將時(shí)間）都是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)，可以將時(shí)間坐標(biāo)省去。坐標(biāo)省去。)(22nnxnxmxE222nnxnxmxE.協(xié)方差 （重點(diǎn)）一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號的自協(xié)方差定義為一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號的自協(xié)方差定義為 對于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程對于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程xnxn和和y

8、nyn的互協(xié)方差定義的互協(xié)方差定義為：為： )()(xmnxnxxmxmxEmC)()(ymnxnxymymxEmC. .相關(guān)函數(shù)（重點(diǎn)）相關(guān)函數(shù)（重點(diǎn)）一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號中的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量之一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號中的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量之間的自相關(guān)函數(shù)定義為：間的自相關(guān)函數(shù)定義為： 對于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程對于兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程xnxn和和ynyn的互相關(guān)函數(shù)定的互相關(guān)函數(shù)定義為：義為：利用以上關(guān)于利用以上關(guān)于xnxn式子可以看出兩者有如下關(guān)系：式子可以看出兩者有如下關(guān)系： )(mnnxxxxEmR)(mnnxyyxEmR2)()(xxxxxmmRmC互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差是衡量兩個(gè)隨機(jī)過程互相關(guān)

9、函數(shù)和互協(xié)方差是衡量兩個(gè)隨機(jī)過程xnxn和和ynyn的隨機(jī)變量間的相關(guān)性，利用關(guān)于的隨機(jī)變量間的相關(guān)性，利用關(guān)于xnxn和和ynyn可以看出兩者有如下關(guān)系：可以看出兩者有如下關(guān)系： 相關(guān)函數(shù)或者協(xié)方差是與二維概率分布有關(guān)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)或者協(xié)方差是與二維概率分布有關(guān)的統(tǒng)計(jì)特性，也隱含了一維特征量，因此相關(guān)函數(shù)或協(xié)方特性，也隱含了一維特征量，因此相關(guān)函數(shù)或協(xié)方差是表征一個(gè)隨機(jī)過程的差是表征一個(gè)隨機(jī)過程的最重要的統(tǒng)計(jì)特性。最重要的統(tǒng)計(jì)特性。 yxxyxymmmRmC)()(3.2.4 3.2.4 平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)過程的樣本數(shù)字特征平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)過程的樣本數(shù)字特征各態(tài)遍歷隨機(jī)信號：所有各態(tài)遍歷隨機(jī)信

10、號：所有樣本函數(shù)在某給定時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性與單一樣本函數(shù)在長時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性一致的平穩(wěn)隨機(jī)信號。 這就是說，單一樣本函數(shù)隨時(shí)間變化的過程可以包括該信號所有樣本函數(shù)的取值經(jīng)歷。隨機(jī)信號的各態(tài)遍歷特性，使我們能由單一樣本函數(shù)的時(shí)間平均來代替集總平均。本課程分析的醫(yī)學(xué)信號的前提是平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的本課程分析的醫(yī)學(xué)信號的前提是平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的對于一個(gè)平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)過程，如果我們測得該對于一個(gè)平穩(wěn)各態(tài)遍歷隨機(jī)過程，如果我們測得該過程的一個(gè)樣本值，就可以計(jì)算出以下的一些樣本過程的一個(gè)樣本值，就可以計(jì)算出以下的一些樣本數(shù)字特征，可以用它們來估計(jì)統(tǒng)計(jì)特征量：數(shù)字特征，可以用它們來估計(jì)統(tǒng)計(jì)特征量： 樣本平均值樣本平

11、均值 樣本均方值樣本均方值 niixxnm11niixxnmE1221樣本方差樣本方差 樣本協(xié)方差樣本協(xié)方差 是另外一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的樣本，是它的是另外一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的樣本，是它的樣本平均值，當(dāng)樣本平均值，當(dāng) 與與 相同時(shí)，上式求相同時(shí)，上式求到的就是樣本自協(xié)方差。到的就是樣本自協(xié)方差。 212)(1nixixmxn)(11yminixixymymxnC 1iniyiym 1iniyi 1inixi樣本相關(guān)函數(shù)樣本相關(guān)函數(shù) 【例例3-13-1】下圖所示是隨機(jī)產(chǎn)生的符合高斯分布的下圖所示是隨機(jī)產(chǎn)生的符合高斯分布的100100點(diǎn)樣本序列，并且均值為零，方差為點(diǎn)樣本序列，并且均值為零，方差為1 1

12、。討論該。討論該信號的樣本特征量。信號的樣本特征量。nimiixyyxnmR11)(nimiixynixmixixxnixixniixxniixxxnmRmxmxnmCmxnxnmEmxnm112122122211)()(1)(7468. 0)(17491. 010023. 00479. 01征量，有：計(jì)這一個(gè)樣本的數(shù)字特我們用樣本統(tǒng)計(jì)法來估x=randn(1,100);mx=mean(x);varx=var(x);stdx=std(x);mx=0.0479varx=0.7543stdx=0.8685r=xcorr(x), plot(r)高斯過程：高斯過程：描述過程特性的所有概率密度函數(shù)都是高

13、斯型的，描述過程特性的所有概率密度函數(shù)都是高斯型的，它的均值為它的均值為)()(21exp)2(1)()(.)(.)()(,.,121221122221121121nnnnPmxEmxmxEmxmxEmxEmmm概率密度函數(shù)為協(xié)方差矩陣為高斯過程的特性高斯過程的特性只要知道信號的均值矢量和協(xié)方差矩陣，則任意階的只要知道信號的均值矢量和協(xié)方差矩陣，則任意階的概率密度函數(shù)都可以解析表達(dá)出。概率密度函數(shù)都可以解析表達(dá)出。 只要均值和方差是常數(shù)，協(xié)方差只與時(shí)間差有關(guān)，只要均值和方差是常數(shù)，協(xié)方差只與時(shí)間差有關(guān)，（即即1 1，2 2階平穩(wěn)階平穩(wěn)），則必然是高階平穩(wěn)。），則必然是高階平穩(wěn)。 如果各隨機(jī)變量

14、互不相關(guān)，也必然互相獨(dú)立。如果各隨機(jī)變量互不相關(guān)，也必然互相獨(dú)立。 高斯過程經(jīng)過線性運(yùn)算（加減微分積分）后還是高斯高斯過程經(jīng)過線性運(yùn)算（加減微分積分）后還是高斯型的。型的。理想白噪過程理想白噪過程：功率譜是常數(shù)的隨機(jī)過程，用功率譜是常數(shù)的隨機(jī)過程，用w(n)w(n)表示白噪過程，表示白噪過程，該功率譜為該功率譜為只有當(dāng)只有當(dāng)m=0m=0時(shí)時(shí), ,自相關(guān)才有值自相關(guān)才有值。即不同時(shí)刻白噪的即不同時(shí)刻白噪的取值總不相關(guān)取值總不相關(guān)。)()()(mAmRAPww自相關(guān)函數(shù)為限帶白噪過程限帶白噪過程：實(shí)際的線性系統(tǒng)總是有限的帶寬實(shí)際的線性系統(tǒng)總是有限的帶寬, ,理想白噪通過線理想白噪通過線性系統(tǒng)后也會

15、變成有限帶寬。性系統(tǒng)后也會變成有限帶寬。用用w(n)w(n)表示限帶白噪過程，該功率譜為表示限帶白噪過程，該功率譜為mmAmRAPww00000sin)(,0,)(自相關(guān)函數(shù)為例 3-5、3-6研究確定性信號常用的方法：傅立葉變換knjwkkeAknjwekkkjweHA)(H(ejw)H(ejw)(nx)(ny)(nx)(nynjwe0njwjweeH00)(1.2圖當(dāng)輸入信號當(dāng)輸入信號x x是隨機(jī)信號時(shí)我們無法求它的傅立葉是隨機(jī)信號時(shí)我們無法求它的傅立葉變換。如何分析輸出變換。如何分析輸出y y呢？呢？1.1.分析分析y y的概率密度函數(shù)是最直接的概率密度函數(shù)是最直接、最全面的方法。最全面的方法。 2.2.分析分析y y的自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度，反映二階特的自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度，反映二階特征征 。3.3