實數(shù)區(qū)間絕對值

1、1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 北郵世紀學(xué)院基礎(chǔ)部北郵世紀學(xué)院基礎(chǔ)部 華衛(wèi)兵華衛(wèi)兵2目 錄第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 第四章第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章第五章 不定積分不定積分 第六章第六章 定積分定積分 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 第七章第七章 微分方程微分方程3課程考核辦法課程考核辦法 期末考試（期末考試（60%）+平時成績（平時成績（40%） 平時成績（總分平時成績（總分100） 構(gòu)成：構(gòu)成： 曠課（曠課（-10）遲到（）遲到（-5） 不交作業(yè)（不交作業(yè)（-5/次）補交（次）補交（-2/次）次） 小測驗（按比例記入平時成績）小

2、測驗（按比例記入平時成績） 參考書：高等數(shù)學(xué)參考書：高等數(shù)學(xué) 同濟第六版同濟第六版4網(wǎng)絡(luò)資源網(wǎng)絡(luò)資源 /education/ccp/ 美國教育網(wǎng)站美國教育網(wǎng)站 /content/ 英國教育網(wǎng)站英國教育網(wǎng)站 http:/ 揚州大學(xué)高等數(shù)學(xué)精品課程揚州大學(xué)高等數(shù)學(xué)精品課程 http:/ 中國科技大學(xué)微積分圖形庫中國科技大學(xué)微積分圖形庫 http:/ 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽競賽5 背景歷史背景歷史 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。 它是一它是一種數(shù)學(xué)思想，種數(shù)學(xué)思

3、想，無限細分無限細分就是微分，就是微分，無限求和無限求和就是積分。就是積分。 十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過的工作，分別獨立地建立了微積分數(shù)學(xué)家都參加過的工作，分別獨立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，以及康托爾等建立了嚴斯特拉斯建立了極限理論，以及康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴密化。格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴密化。 6第一節(jié)第一節(jié)

4、實數(shù)實數(shù)、區(qū)間與絕對值區(qū)間與絕對值一一 實數(shù)實數(shù)整數(shù)整數(shù)、分數(shù)分數(shù)、零零四則運算后還是有理數(shù)任意兩個有理數(shù)之間將必存在有理數(shù)1.1.有理數(shù)有理數(shù)(1)(1) 分類：分類：表示形式表示形式:有理數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的性質(zhì):封閉性封閉性稠密性稠密性pq有限小數(shù)有限小數(shù)、無限循環(huán)小無限循環(huán)小數(shù)數(shù)7 (2) 無理數(shù)：無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)表示法表示法:性質(zhì)性質(zhì):(3) 數(shù)軸數(shù)軸三要素三要素 :原點原點、單位長度單位長度、正方向正方向.實數(shù)實數(shù)可通過可通過數(shù)軸上的點數(shù)軸上的點形象的表示形象的表示.常用數(shù)集常用數(shù)集:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN

5、 Z-整數(shù)集整數(shù)集R-實數(shù)集實數(shù)集無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)運算封閉性（運算封閉性（）稠密性（稠密性（）8二二. .區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域: :是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,baRba 且且|),(bxaxba 開區(qū)間開區(qū)間|,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間（1 1）區(qū)間）區(qū)間: :),(baOabOab,baxx9半開區(qū)間半開區(qū)間|,(bxaxba |),bxaxba 和和稱稱a, ,b為區(qū)間的為區(qū)間的端點端點，稱稱ba為這些為這些區(qū)間的長度區(qū)間的長度. .以上這些區(qū)間都稱為以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間有限區(qū)間

6、. .引引進進記記號號 + + （正無窮大正無窮大）( (負無窮大負無窮大）（無窮大無窮大）10無限區(qū)間無限區(qū)間|),axxa |),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb Oa , a ）b),(b O用用數(shù)軸上無限長直線數(shù)軸上無限長直線可以表示無限區(qū)間可以表示無限區(qū)間.11x a a 點點a的左的左鄰域鄰域: :開區(qū)間開區(qū)間( (a-,-,a) )點點a的右的右鄰域鄰域: :開區(qū)間開區(qū)間 ( (a, ,a+)+)a (2) (2) 點點a的去心鄰域：的去心鄰域：| 0 |),( axxaU。(1)(1)設(shè)設(shè)是任一正數(shù)，稱開區(qū)間是任一正數(shù)，稱開區(qū)間( (a-,-,a+)

7、+)為點為點a的的 鄰域，記為鄰域，記為U( (a,),)，即，即| |),(axxaxaxaU點點a稱為該鄰域的稱為該鄰域的中心中心，稱，稱為該鄰域的為該鄰域的半徑半徑. .2.2.鄰域鄰域120 1 2 3 4-1-2-3大象距原點大象距原點多遠多遠?兩只小狗分別兩只小狗分別距原點多遠距原點多遠?三三. .絕對值絕對值1306 一個數(shù)一個數(shù)a a的絕對值就是數(shù)軸上表的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點之間的距離。示這個數(shù)的點與原點之間的距離。-1-2-3-4-5-612345BA 絕對值：絕對值：大象離原點大象離原點4個單位長度個單位長度:那么兩只小狗呢那么兩只小狗呢?如果一個數(shù)為如果一

8、個數(shù)為-5,則它的絕對值呢則它的絕對值呢?33 3 333 3 3142. 2. 絕對值應(yīng)用絕對值應(yīng)用（1 1） 等價關(guān)系等價關(guān)系aaaakkak （2 2） 鄰域的表示鄰域的表示00(,)|U xxxx（3 3） 絕對值不等式絕對值不等式abababab15思考思考. 設(shè)設(shè)a,b為任意實數(shù)，證明：為任意實數(shù)，證明：111abababab16因變量因變量自變量自變量)(xfy 1.1.定義定義 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集 ， 則稱映射則稱映射 為定義為定義D上的函數(shù)，上的函數(shù)，通常簡記為通常簡記為 D稱為稱為定義域定義域, 記作記作 , 即即 . RDRDf:fDDDf 對每個對每個 ,按按對應(yīng)法則對應(yīng)法則

9、 f ,總有總有唯一確定唯一確定的值的值y與之對應(yīng)與之對應(yīng), 這個值稱為函數(shù)這個值稱為函數(shù)f 在在x處的函數(shù)值處的函數(shù)值,記作記作f (x),即即y= f (x).Dx )( fZ函數(shù)值函數(shù)值f (x)的全體所構(gòu)成的集合稱為的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)函數(shù)f 的值域的值域, 記作記作或或 f (D) , 即即.),()()(DxxfyyDffZ第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的概念及其圖形函數(shù)的概念及其圖形17()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應(yīng)法則對應(yīng)法則f定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則.xyDW2. 2. 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: :如果兩個函數(shù)的如果兩個函數(shù)的定義域定義域相同相同,對應(yīng)

10、法則對應(yīng)法則也相同也相同,那么這兩那么這兩個函數(shù)就是相同的個函數(shù)就是相同的,否則否則就是不同的就是不同的.約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有定義域是自變量所能取的使算式有( (實際實際) )意義意義的一切實數(shù)值的一切實數(shù)值. .21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D18oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函是只有一個，這種函數(shù)叫做數(shù)叫做單值函數(shù)單值函數(shù)，否，否則叫與則叫與多值函數(shù)多值函數(shù)例如，例如，222ayx ( , )( ),

11、( ).x yyf xxDyf x點集W稱為函數(shù)的圖形定義定義: :193. 函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法(1)(1)解析法解析法 y = f (x)因變量法則自變量如函數(shù) 的定義域為 ，291xy33Dxx 13Wyy 值域為優(yōu)點：優(yōu)點：便于數(shù)學(xué)上的分析和計算便于數(shù)學(xué)上的分析和計算20(2) 列表法列表法下表列出了在上午10:00到中午12:00每隔20min測得的氣溫數(shù)據(jù)，由此可以觀察出這段時間內(nèi)氣溫（單位：o C）的變化規(guī)律 時刻t10:0010:00氣溫T 10:2010:2010:4010:4011:0011:00 11:2011:20 11:4011:40 12:0012:0018

12、18181818.518.51919202021212323優(yōu)點：優(yōu)點：直觀、精確直觀、精確21(3) 圖形法圖形法yxo)(xfy DDoxy),(yxxyfR )(xfy 優(yōu)點：優(yōu)點：直觀、通俗、容易比較直觀、通俗、容易比較224. 幾種幾種常見的函數(shù)常見的函數(shù)例例1 函數(shù)函數(shù)y=2它的定義域它的定義域),( D值域值域,2)(fZ它的它的圖形圖形是一條是一條平行平行 于于x軸軸的直線的直線.Oxyy=2例例2 函數(shù)函數(shù) 0 , , 0 ,|xxxxxy定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).)(fZ這個函數(shù)稱為這個函數(shù)稱為絕對值絕對值函數(shù)函數(shù).Oxyx

13、y 23 010001sgnxxxxy當當當當當當xxx sgn例例3 函數(shù)函數(shù)稱為稱為符號函數(shù)符號函數(shù), ,定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =1,0,=1,0,1.1.)(fZ1-1xyo24 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo例例4 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù)x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 = =Z Z. .)( fZ階梯曲線階梯曲線Gauss函數(shù)函數(shù)25例例5 函數(shù)函數(shù)11102)(xxxxxfy是一個

14、是一個分段函數(shù)分段函數(shù).它的定義域它的定義域 D=0,+).=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431)3(), 1(3 fxy 1xy2 yxO126 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01)(有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo例例6 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)2721)(xxxf例例7 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 求求 個nnxfffxf)()( )1xf xx例例8 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 求求 個nnxfffxf)()( )F x例例9 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 是除了在是除了在0與與1以外的一切實數(shù)都以外的一切實數(shù)都 意義的實值函數(shù)，且有意義的實值函數(shù)，且有1( )()1

15、xF xFxx求求( )F x28M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函數(shù)的）函數(shù)的有界性有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)XxfM-MyxoX0 x第三節(jié)第三節(jié) . . 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性29(1)(1)當一個函數(shù)有界時，它的界是不唯一的當一個函數(shù)有界時，它的界是不唯一的. .注意注意: :(2)(2)有界與否是和有界與否是和X有關(guān)的有關(guān)的. .Xx 1Mxf )(1使使(3)證明無界的方法證明無界的方法: 對于對于任意正數(shù)任意正數(shù) M ,總存在總存在（2）函數(shù)的）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:,)(

16、DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()() 1 (21xfxf,2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI 12(2) ( )( )f xf x(1)單調(diào)增加的單調(diào)增加的(2)單調(diào)減少的單調(diào)減少的則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上上恒有恒有30)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI函數(shù)函數(shù)f單調(diào)增加單調(diào)增加函數(shù)函數(shù)f單調(diào)減少單調(diào)減少31偶函數(shù)偶函數(shù)yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為的定義域為D關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱,對于對于有有f (-x)=

17、 f (x)恒成立恒成立,則稱則稱f (x)為為偶函數(shù)偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形偶函數(shù)的圖形關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱.函數(shù)函數(shù) y = cosx是偶函數(shù)是偶函數(shù).（3）函數(shù)的）函數(shù)的奇偶性奇偶性:32奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為的定義域為D關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱,對于對于,Dx 有有f (-x)= -f (x)恒成立恒成立,則稱則稱f (x)為為奇函數(shù)奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱.函數(shù)函數(shù) y=sinx是偶函數(shù)是偶函數(shù).函數(shù)函數(shù) y=sinx+cosx既非奇函數(shù)既非奇函數(shù),又非偶函數(shù)又非偶函數(shù).332l 2l23

18、l 23l函數(shù)函數(shù)sinx, cosx的周期是的周期是.2 （通常說周期函數(shù)的周期是指其（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期）.則稱則稱f (x)為為周期周期函數(shù)函數(shù), l 稱為稱為f (x)的的周期周期.)()(xflxf 一一Dx 有有,)(Dlx 且且恒成立恒成立, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為的定義域為D,如果存在一個正數(shù)如果存在一個正數(shù)l ,使得對于任使得對于任（4）函數(shù)的）函數(shù)的周期性周期性:函數(shù)函數(shù)tanx的周期是的周期是. 34若函數(shù)若函數(shù)f (x)在在D上是上是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù),則則1 f也是也是f (D)上的上的單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù).0 x0yxyD)(yx 反

19、函數(shù)反函數(shù)ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數(shù)函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域為的定義域為D,值域為值域為Z,對任意的對任意的Zy有唯一確定的有唯一確定的 與之對應(yīng)，且滿足與之對應(yīng)，且滿足 ),(xfy則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)Dx為為 的的反函數(shù)反函數(shù).)(xf35 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy 相對于相對于反函數(shù)反函數(shù)),(1xfy 原來的函數(shù)原來的函數(shù)y=f (x)稱為稱為直接函數(shù)直接函數(shù).)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù)1 反函數(shù)的圖形反函數(shù)的

20、圖形362. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)與函數(shù)f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為. gf 函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)與函數(shù)f 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)gf的的條件條件是是:函數(shù)函數(shù)g在在D上的值域上的值域g(D)必須必須含在含在f 的定義域的定義域fD內(nèi)內(nèi),即即.)(fDDg 定義定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(ufy 的定義域為的定義域為,1D函數(shù)函數(shù)u=g(x)在在D上有上有定義定義,且且,)(1DDg 則由下式確定的函數(shù)則由下式確定的函數(shù) Dxxgfy , )(稱為由函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)和函數(shù) 構(gòu)成的構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),它的它的定義域為定義域為D,變量變量u稱為稱為中間

21、變量中間變量.)(ufy 37注意注意: :1. 不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的數(shù)的;)2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:38例例1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求求.)(xff解解:,13 x39例例2 2).(,0, 10

22、, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x; 1 x40,1)(20時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 413. 3. 函數(shù)的運算函數(shù)的運算和和(差差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

23、f (x), g (x)的定義域依次為的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算：42第五節(jié)第五節(jié). 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù)oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1)冪函數(shù)冪函數(shù)Rxy ( 是常數(shù)是常數(shù))43xay xay)1( )1( a)1 , 0( (2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxey 44(3) 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 45(4) 三角函數(shù)三角函數(shù)xysin 正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin 4

24、6xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)47正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 48xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 49正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec 50 xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 51(5) 反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)52xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)53xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)54xycot arcarccotyx反余切函數(shù)反余切函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為稱為基本初等函數(shù)

25、基本初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算有限次四則運算和和有限次有限次的函數(shù)復(fù)合的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示一個式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).55函數(shù)的分類函數(shù)的分類:函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項等函數(shù)有無窮多項等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項式函數(shù)多項式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )四、小結(jié)四、小結(jié)56例例1 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域43) 1l

26、n(1xxxy2ln221xxxxy（1）（2）xxf2sin)2()0(),1(),(fxfxf例例2 若函數(shù)若函數(shù)，求，求。572ln)(ln2)(xxgxxf) 1ln() 2ln()(12ln)(xxxgxxxfxexxgxexxxfxx)()()(21)(11)(2xxgxxxf例例3 下列函數(shù)對中，哪一對函數(shù)表示的是同一下列函數(shù)對中，哪一對函數(shù)表示的是同一 個函數(shù)？個函數(shù)？(B)，(C)(D)(A)58例例4 下列函數(shù)中，哪個函數(shù)是奇函數(shù)？下列函數(shù)中，哪個函數(shù)是奇函數(shù)？) 12sin()(xxxf)1ln()(2xxxfxexxfx)(xxxxfsin1)(2(B)(C)(D)(A)59xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設(shè)設(shè)其中).(xf求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例5 5.60例例6 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)()1(uufy 2)(