152　綜合法和分析法

1、1.5.2綜合法和分析法1.了解綜合法與分析法證明不等式的思維過(guò)程與特點(diǎn).2.會(huì)用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式.基礎(chǔ)·初探教材整理1綜合法從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題，這種方法稱為綜合法.已知a0，1b0，則()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a【解析】1b0，1b20b.又a0，abab2a.【答案】D教材整理2分析法從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件(或者一個(gè)已證明過(guò)的定理或一個(gè)明顯的事實(shí))，這種證明方法稱為分析法.已知a

2、0，1，求證： .【證明】要證明，只需證1，即(1a)(1b)1，只要證abab0成立.a0，1，a0，b0，0，abab0成立.故成立.質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型用綜合法證明不等式已知a，b，c是正數(shù)，求證：abc.【精彩點(diǎn)撥】由a，b，c是正數(shù)，聯(lián)想去分母，轉(zhuǎn)化證明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x2y22xy可證.或?qū)⒃坏仁阶冃螢閍bc后，再進(jìn)行證明.【自主解答】法一：a，b，c是正數(shù)，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22

3、a2bc，2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc).又abc0，abc.法二：a，b，c是正數(shù)，22c.同理2a，2b，22(abc).又a0, b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc).故abc.1.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式(切入點(diǎn))，這是證明的關(guān)鍵.2.綜合法證明不等式的主要依據(jù)：(1)不等式的基本性質(zhì)，(2)基本不等式及其變形，(3)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式等.再練一題1.已知a，b，c為

4、ABC的三條邊，求證：abbcaca2b2c2<2ab2bc2ac.【證明】先證abbcaca2b2c2.a>0，b>0，c>0，a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào).b2c22bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)，a2c22ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào).a2b2c2abbcac.再證a2b2c2<2ab2bc2ac.法一：在ABC中，a<bc，b<ac，c<ba，則a2<a(bc)，b2<b(ac)，c2<c(ba).a2b2c2<a(bc)b(ac)c(ab)，即a2b2c2<2ab2bc2ac.法二：在ABC中，設(shè)a>

5、;b>c，0<ab<c,0<bc<a,0<ac<b，(ab)2<c2，(bc)2<a2，(ac)2<b2，(ab)2(bc)2(ac)2<c2a2b2，即a2b2c2<2ab2bc2ac.綜上，得abbcaca2b2c2<2ab2bc2ac.用分析法證明不等式設(shè)abc，且abc0，求證：(1)b2ac0；(2)a.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題目特點(diǎn)，利用分析法尋找結(jié)論成立的充分條件.【自主解答】(1)abc且abc0，a0，c0，ac0，故b2ac0.(2)欲證a，只需證b2ac3a2.因?yàn)閏(ab)，只要證明b2a(ab)3

6、a2成立，也就是(ab)(2ab)0，即證(ab)(ac)0.abc，(ab)(ac)0成立，從而a成立.1.本題的關(guān)鍵是在不等式兩邊非負(fù)的條件下，尋找結(jié)論成立時(shí)不帶根號(hào)(平方)的充分條件，采用分析法是常用方法.證明時(shí)要注意表達(dá)的嚴(yán)密、準(zhǔn)確，不可顛倒因果關(guān)系，否則要犯邏輯錯(cuò)誤.2.當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑.再練一題2.若將例題中條件改為“a>b>0”，求證：<<.【證明】要證原不等式成立，只需證<ab2<，即證<()2<.因?yàn)閍>b>0，所以只需證&

7、lt;<，即<1<，即<1<.只需證<1<.a>b>0，<1<成立，原不等式成立.探究共研型綜合法與分析法的特點(diǎn)探究1綜合法與分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是怎樣的？【提示】綜合法：AB1B2BnB(已知)(逐步推演不等式成立的必要條件)(結(jié)論).分析法：BB1B2BnA(結(jié)論)(步步尋求不等式成立的充分條件)(已知).在較復(fù)雜的不等式的證明中，往往需要把綜合法與分析法結(jié)合起來(lái)使用.探究2如何理解分析法尋找的是充分條件？【提示】用分析法證明，其敘述格式是：要證明A，只需證明B.即說(shuō)明只要有B成立，就一定有A成立.因此分析法是“執(zhí)果索

8、因”，步步尋求上一步成立的充分條件.分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維中的逆向思維.逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件.探究3綜合法與分析法證明不等式的一般思路是什么？【提示】綜合法的思路是“由因?qū)Ч?，也就是從已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出欲證的不等式；分析法的思路是“執(zhí)果索因”，在表述中經(jīng)常用符號(hào)“”，這里注意箭頭的方向，用分析法時(shí)，一般用“”，用綜合法時(shí)，一般用“”，一般來(lái)說(shuō)，無(wú)理不等式、三角不等式以及含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，采用分析法證明較方便.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足yx20，且0a1，求證：loga(axby)loga2.【精彩點(diǎn)撥】要證的不等式為對(duì)數(shù)不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)

9、，先用分析法探路，轉(zhuǎn)化為要證明一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，然后再利用綜合法證明.【自主解答】由于0a1，則tlogax(x0)為減函數(shù).欲證loga(axay)loga2，只需證axay2a.yx20,0a1，xyxx2.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，(xy)max.axya，a.又axay2(當(dāng)且僅當(dāng)xy取等號(hào)). 又axay2a.由于等號(hào)不能同時(shí)成立，式等號(hào)不成立，即axay2a成立.故原不等式loga(axay)loga2成立.1.通過(guò)等式或不等式運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明.體現(xiàn)了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系.2.函數(shù)與不等式綜合交匯，應(yīng)注意函數(shù)

10、性質(zhì)在解題中的運(yùn)用.再練一題3.已知x0，y0，求證：(x2y2)(x3y3).【證明】要證明(x2y2)(x3y3)，只需證(x2y2)3(x3y3)2，即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即證3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20，即證3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立.(x2y2)(x3y3).構(gòu)建·體系綜合法與分析法1.若a，b，c是常數(shù)，則“a0，且 b24ac0”是“對(duì)任意的xR，有ax2bxc0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件【解析】當(dāng)a0，b24ac0時(shí)，ax2bxc0.反之，ax2bxc0對(duì)任意的xR成立不能推出a0，b24ac0.反例：ab0，c2.【答案】A2.要證a2b21a2b20，只需證()A.2ab1a2b20B.a2b210C.1a2b20D.(a21)(b21)0【解析】a2b21a2b2(a21)(b21)0.【答案】D3.設(shè)a0，b0，且ab(ab)1，則()A.ab2(1)B.ab1C.ab(1)2D.ab2(1)【解析】因?yàn)?，所以ab(ab)2，(ab)2(ab)ab(ab)1，(ab)24(ab)40，因?yàn)閍0，b0，所以ab22成立(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào)).【答案】A4.已知a0，b0且ab1，則與8的大