數(shù)字FIR濾波器

1、-FIR濾波器設(shè)計(jì)主要內(nèi)容n線性移不變系統(tǒng)（線性移不變系統(tǒng)（LSI）；）；n數(shù)字濾波器的基本概念；數(shù)字濾波器的基本概念；nFIR數(shù)字濾波器；數(shù)字濾波器；nFIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。 數(shù)字濾波器實(shí)際上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)字濾波器實(shí)際上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器也就是實(shí)現(xiàn)對(duì)于輸入的離散時(shí)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器也就是實(shí)現(xiàn)對(duì)于輸入的離散時(shí)間信號(hào)的處理，濾波器的輸出滿足特定的目的。間信號(hào)的處理，濾波器的輸出滿足特定的目的。1. 線性移不變系統(tǒng)（線性移不變系統(tǒng)（LSI） 相對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，系統(tǒng)的分析對(duì)象是連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，即線性時(shí)不變系統(tǒng)。在數(shù)字信號(hào)處理中，討

2、論的是離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)，對(duì)于系統(tǒng)分析的對(duì)象是離散時(shí)間LSI系統(tǒng)，即線性移不變系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)和LSI系統(tǒng)是等價(jià)的。 LSI系統(tǒng)在時(shí)域同樣也是由其沖激響應(yīng)決定的 y nh nx nnLSI系統(tǒng)的輸入，沖激響應(yīng)和輸出之間的關(guān)系 討論離散時(shí)間系統(tǒng)，手段主要有兩個(gè)：n序列的卷積時(shí)域方法；nZ變換分析法頻域方法。 二種方法統(tǒng)一于時(shí)頻對(duì)應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)與傳輸函數(shù) n一般借助于差分方程來描述一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)：n對(duì)該方程的時(shí)域解導(dǎo)致了系統(tǒng)分析的時(shí)域方法。相應(yīng)的對(duì)差分方程進(jìn)行雙邊Z變換（或單邊Z變換，不考慮初始條件），其系統(tǒng)函數(shù)為： 00NMkkkka y nkb x nkNkkkMkkkzazbzH00)( 進(jìn)

3、一步 單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)函數(shù)的反Z變換： 這就是分析LSI系統(tǒng)的頻域方法。 ( ) nnH zh n z1 ( )h nZH z注注：（1）由差分方程求）由差分方程求 ，已假定系統(tǒng)為，已假定系統(tǒng)為LSI； （2）因果性和穩(wěn)定性由）因果性和穩(wěn)定性由 的收斂域決定的收斂域決定 （即，差（即，差 分方程不能唯一確定分方程不能唯一確定 ） ( )H z( )H z h n離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 n對(duì)于數(shù)字濾波器（等效為LSI系統(tǒng)）而言，必須考慮其因果性和穩(wěn)定性。LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)意味著系統(tǒng) 時(shí)刻的輸出 ，只取決于 的輸入 ，LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件為：n頻域： 的收斂域一定包含點(diǎn)。 0n

4、n 0y n0nn )(nx 0h n 0n( )H z 穩(wěn)定系統(tǒng)意味著系統(tǒng)對(duì)每個(gè)有界輸入，產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為： 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 的收斂域包含單位圓 | |nh n ( )H z( ) jj nz enH zh n e j nnnh n eh n 對(duì)于線性時(shí)不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，收斂域?yàn)椋諗坑驗(yàn)?|, 01rzr 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) n一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）最為重要的一個(gè)考察指標(biāo)就是其頻率響應(yīng)。濾波器的頻率響應(yīng)包括幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)兩部分，幅頻響應(yīng)反映信號(hào)通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減的情況，而相頻響應(yīng)反映的是信號(hào)中各頻率成

5、分通過系統(tǒng)后在時(shí)間上發(fā)生的位移情況。相應(yīng)的信號(hào)失真分別有幅度失真和相位失真。一個(gè)理想的離散時(shí)間系統(tǒng)，除了具有所希望的幅頻特性外，還希望具有線性相位的特性，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)無失真的傳輸具有非常重要的意義。純粹的線性相位往往難以實(shí)現(xiàn)，對(duì)于窄帶信號(hào)，往往采用群遲延來衡量信號(hào)的相位失真。對(duì)于濾波器的設(shè)計(jì)，往往從幅頻特性和相頻特性兩個(gè)方面綜合考慮。 2. 數(shù)字濾波器的基本概念 n數(shù)字濾波器可以分為兩種：有限長沖激響應(yīng)FIR濾波器和無限長沖激響應(yīng)IIR濾波器。FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI和LSI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。 濾波器有模擬濾波器和數(shù)字濾波器之分，

6、經(jīng)典的濾波器在功能上分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。其中低通濾波器是最基本的濾波器，其他的濾波器都可以由低通濾波器通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換得出。我們知道一個(gè)濾波器在頻域有幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)之分，對(duì)于幅頻響應(yīng)關(guān)注其通帶、阻帶以及過渡帶特性，對(duì)應(yīng)著濾波器主要的技術(shù)指標(biāo)。濾波器的設(shè)計(jì)就是依據(jù)這些指標(biāo)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，然濾波器的設(shè)計(jì)就是依據(jù)這些指標(biāo)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，然后實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)后實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)。 數(shù)字濾波器的特點(diǎn) n實(shí)現(xiàn)的方式靈活：硬件實(shí)現(xiàn)（專用的數(shù)字硬件）、軟件實(shí)現(xiàn)（編程）及軟件、硬件結(jié)合的實(shí)現(xiàn)方式；n精度高、穩(wěn)定性好（受環(huán)境條件，如溫度、干擾等的影響?。?；n靈活性好（改變系統(tǒng)參數(shù)非常容易）易

7、于實(shí)現(xiàn)各種功能的綜合。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)形式 n數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)的具體形式有：直接型，并聯(lián)型，級(jí)聯(lián)型和格型（Lattice）；包含著三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。n直接型：直接型：直接直接I型和直接型和直接II型型 0101 MNkkkky nb x nka y nka0 Mkkw nb x nkn直接直接I型型 n直接直接II型型 n從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)，將系統(tǒng)函數(shù)從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)，將系統(tǒng)函數(shù) 分解為分解為兩個(gè)部分（兩個(gè)部分（ ）：）： 01a ( )H z101111( )( )1( )MMNMbb zb zH zN za za zD zn級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型的基本思想是對(duì)系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分

8、解（有理分解），分解為若干個(gè)子系統(tǒng)的并聯(lián)和級(jí)聯(lián)。 dx nn級(jí)聯(lián)型：級(jí)聯(lián)型：12( )( )( )( )KH zH z HzHzn并聯(lián)型：并聯(lián)型：12( )( )( )( )KH zHzHzHz值得注意的問題：值得注意的問題：n有限字長效應(yīng)的存在；n級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)具有累積誤差大的缺點(diǎn)，但是便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器的極零點(diǎn)，便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)的性能，所需要的存儲(chǔ)器少；n并聯(lián)結(jié)構(gòu)的每一個(gè)子系統(tǒng)都是獨(dú)立的，不受其他子系統(tǒng)的量化誤差和舍入誤差的影響，因此對(duì)于誤差最不敏感，但是對(duì)于極零點(diǎn)的調(diào)整不易。濾波器的Z域極零點(diǎn)分析 n將系統(tǒng)函數(shù)n因式分解NrrMrrzdzcAzH1111)1 ()1 ()(00/Aba

9、NkkkMkkkzazbzH00)(NrrMrrMNdzczAzzH11)()()()(n設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將 代入，得傳輸函數(shù) jzeNrrjMrrjMNjjdeceAeeH11)()()()(n在Z平面上向量：n分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，用極坐標(biāo)表示為 jrrjrrc Becd Bed rrjrrjrrc Bc ed Bd e ()11()()NrjjjrNrrc BH eAH eed B n對(duì)應(yīng)的幅度譜：對(duì)應(yīng)的幅度譜：n相位譜為：相位譜為： 當(dāng)頻率 從0變化到 時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周。 n如果濾波器的N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如下圖。當(dāng)從0變化到時(shí)

10、 ，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零。具有如下圖所示幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。梳狀濾波器。 11()NrjrNrrc BH eAd B NrrNrra11)(22n梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅度特性梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅度特性 3. FIR數(shù)字濾波器 nFIR濾波器是全零點(diǎn)濾波器，即 n其沖激響應(yīng)： 0 Mkky nb x nk0 Mkkh nbnknFIR數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)有：數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)有： 1、易于實(shí)現(xiàn)線性相位； 2、由于不存在極點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。nFIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)：數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)： 需要較長的濾波器長度以滿足短過渡帶的要求，造成所需的計(jì)算量較大。線性相位 nFIR濾波

11、器由于是全零點(diǎn)濾波器，其沖激響應(yīng)為有限長度，容易滿足形如 的對(duì)稱的形式，因此容易獲得線性相位的特性n FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 令 ，則 1h nh Nn 1100( ) 1NNnnnnH zh n zh Nn z 1mNn (1)1( )()NH zzH z n因此， 的零點(diǎn)也是 的零點(diǎn)，反之也然。這說明線性相位的FIR濾波器其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓對(duì)稱分布，如圖為線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布 ( )H z1()H z4. FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) nFIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想主要是建立在近似理想濾波器頻率特性基礎(chǔ)上，近似的方法有：窗函數(shù)法；頻率采樣法；最佳一致逼近法等。我們主要介紹窗函數(shù)法，窗函數(shù)法

12、的主要思想是對(duì)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)序列采用截?cái)嗖⒁莆坏姆椒?，使之稱為一個(gè)因果的有限長的序列，將對(duì)應(yīng)的理想系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為物理可實(shí)現(xiàn)的。采用不同的窗函數(shù)導(dǎo)致了不同的設(shè)計(jì)方法，所設(shè)計(jì)的濾波器也具有不同的特性。 理想濾波器理想的低通濾波器n低通濾波器是構(gòu)建其它濾波器的基礎(chǔ)。然而理想的低通濾波器物理上卻不可實(shí)現(xiàn)！？窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器1. 由理想的頻率響應(yīng) 得到理想的 ；( )dh n2. 由 得到因果、 有限長的單位抽樣響應(yīng) ;( )dh n( )h n3. 對(duì) 加窗得到較好的頻率響應(yīng)。( )h n理想頻率響應(yīng)()jdHe22cc1思路與方法：思路與方法：設(shè)理想低通濾波器的幅頻為1，相頻為零：1(

13、 )()2jj nddh nHeed12ccjnedsin()cnn則：特點(diǎn)： 無限長 非因果 偶對(duì)稱解決方法： 截短， 移位 保留( )(2)dh nh nM,0,1,.,nM即：隱含著使用了窗函數(shù)n時(shí)域的乘積頻域的卷積0( )( )MnnH zh n z于是：注意： 是因果的，且是線性相位的，即( )2M 即事先給一線性相位2()jjMdHee為了省去每次的移位，可以令： 在通帶內(nèi)2()0j MjdeHe0cc這樣：( )H z21sin(2)( )2(2)ccjMj ncdnMh neednM( )( )dh nh n0,1,.nM于是：使用了矩形窗上式的的表達(dá)式及設(shè)計(jì) 的思路可推廣到高

14、通、帶阻及帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實(shí)際上，給定一個(gè) ，只要能積分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器 。( )dh n( )H z()jdHe( )H z如何設(shè)計(jì)FIR濾波器？n上述分析表明，關(guān)鍵在于窗函數(shù)的設(shè)計(jì)n如何由技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為窗函數(shù)的設(shè)計(jì)參數(shù)呢？n頻帶指標(biāo)n依采樣頻率的歸一化n頻帶起伏指標(biāo)n簡(jiǎn)化為對(duì)于較小的passn指標(biāo)轉(zhuǎn)化為n窗函數(shù)和這些技術(shù)指標(biāo)之間的關(guān)系如何呢？也就是說具體的窗函數(shù)如何同這些指標(biāo)相對(duì)應(yīng)。n進(jìn)一步的工程簡(jiǎn)化 窗函數(shù)的使用在數(shù)字信號(hào)處理中是不可避免的。數(shù)據(jù)、頻譜、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。對(duì)窗函數(shù)提出那幾方面的要求？n

15、3 dB 帶寬（主瓣寬度）越小越好帶寬（主瓣寬度）越小越好n旁瓣起伏越小越好旁瓣起伏越小越好n旁瓣衰減速度越快越好（過渡帶寬度越小越好）旁瓣衰減速度越快越好（過渡帶寬度越小越好）nKaiser窗nKaiser窗的設(shè)計(jì)參數(shù)為,Nn同指標(biāo)參數(shù)如何對(duì)應(yīng)呢？010203000.51 boxcar-0.500.5-60-40-200010203000.51 triang-0.500.5-100-500010203000.51 hamming-0.500.5-100-500常見的幾種窗函數(shù)及其對(duì)應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)常見的幾種窗函數(shù)及其對(duì)應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)步驟n不同的窗函數(shù)的設(shè)計(jì)在于其參數(shù)同指標(biāo)要求之間的

16、對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；n無外乎窗口的長度如何確定，窗口的形狀參數(shù)如何同指標(biāo)相對(duì)應(yīng)；n工程設(shè)計(jì)中通常采用簡(jiǎn)化的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)公式，具體的內(nèi)容可以查工程手冊(cè)得到頻率采樣法（時(shí)域的設(shè)計(jì)方法）n對(duì)于所要求的一個(gè)任意的頻率響應(yīng) 可以采用頻域采樣求和的方式來近似()H j1 ()iMjnddiiMhnHeN2iiN() iMjndidnMHh n en然后對(duì)于所得到的 應(yīng)用前面介紹的窗函數(shù)得到最后的沖激響應(yīng) h n dh nw n h nMclear allclffc=15; %kHz%fs=40; %kHz%f = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;Df=0, 0, 1, 0.5,1, 0,

17、0;axis(-fs/2,fs/2,-0.2,1.2)hold onplot(f,Df)xlabel(analog frequency f in kHz)title(desired AF frequency response D(f)gridhold offpauseclfw=2*pi*f/fs;Dw=Df;axis(-pi,pi,-0.2,1.2)hold onplot(w,Dw)xlabel(digital frequency w in rad)title(desired DF frequency response D(w)gridhold offpauseclfN=21; M=(N-1)

18、/2;delta_f=fs/N;fk=-fs/2*(1-1/N): delta_f : fs/2*(1-1/N);Dfk=(1+abs(fk)/fc)/2).*(sign(fk+fc)-sign(fk-fc)/2;axis(-fs/2,fs/2,-0.2,1.2)hold onplot(fk,Dfk,*)xlabel(analog frequency f in kHz)title(samples of D(f)gridf = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;plot(f,Df,r)hold offpauseclfk=-M:M;Dk=Dfk;axis(-M,M,-0.2

19、,1.2)hold onbar(k,Dk,0) plot(k,Dk,*)plot(-M,M,0,0)xlabel(k)title(D(k)gridhold offpauseclfj=sqrt(-1);wi=2*pi*(-M:M)/N;for k=-M:M d(k+M+1)=Dk*exp(-j*wi*k)/N;end dk=real(d);k=-M:M;axis(-M,M,-0.3,0.8)hold onbar(k,dk,0) plot(k,dk,*)plot(-M,M,0,0)xlabel(k)title(d(k)gridhold offpauseclfk=0:N-1;hn=dk;axis(0

20、,N-1,-0.3,0.8)hold onbar(k,hn,0) plot(k,hn,*)plot(0,N-1,0,0)xlabel(n)title(rectangular windowed h(n)gridhold offpauseclfi=1;Hf=0;for f=-fs/2:(fs/200):fs/2 Hf(i)=hn*exp(-j*2*pi*f/fs*(0:N-1); i=i+1;endHf_abs=abs(Hf);f=-fs/2:(fs/200):fs/2;axis(-fs/2,fs/2,-0.3,1.2)hold onplot(f,Hf_abs)plot(-fs/2,fs/2,0,

21、0,k)xlabel(f in kHz)title(H(f),rectangular windowed)f = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;Df=0, 0, 1, 0.5,1, 0, 0;plot(f,Df,k-)plot(fk,Dfk,k*)gridhold offpauseclfwhm=0.54-0.46*cos(2*pi*(0:N-1)/(N-1);axis(0,N-1,-0.3,1.2)hold onbar(0:N-1,whm,0) plot(0:N-1,whm,*)plot(0,N-1,0,0)xlabel(n)title(Hamming window)

22、gridhold offpauseclfhn_hm=hn.*whm;axis(0,N-1,-0.3,1.2)hold onbar(0:N-1,hn_hm,0) plot(0:N-1,hn_hm,*)plot(0,N-1,0,0)xlabel(n)title(Hamming windowed H(n)gridhold offpauseclfi=1;Hf=0;for f=-fs/2:(fs/200):fs/2 Hf(i)=hn_hm*exp(-j*2*pi*f/fs*(0:N-1); i=i+1;endHf_abs=abs(Hf);f=-fs/2:(fs/200):fs/2;axis(-fs/2,

23、fs/2,-0.3,1.2)hold onplot(f,Hf_abs)plot(-fs/2,fs/2,0,0,k)xlabel(f in kHz)title(H(f),Hamming windowed)f = -fs/2,-fc,-fc, 0, fc,fc,fs/2;Df=0, 0, 1, 0.5,1, 0, 0;plot(f,Df,k-)plot(fk,Dfk,k*)gridhold offpauseclfL=201;P=(L-1)/2;delta_f=fs/L;fk=-fs/2*(1-1/L): delta_f : fs/2*(1-1/L);Dfk=(1+abs(fk)/fc)/2).*(sign(fk+fc)-sign(fk-fc)/2;wi=2*pi*(-P:P)/L;for k=-P:P d(k+P+1)=Dfk*exp(-j*wi*k)/L;end dk=real(d);k=-P:P;axis(-P,P,-0.3,0.8)hold onbar(k,dk,0) plot(-P,P,0,0)xlabel(k)title(d(k),LN)gridhold offpauseclfhn=dk(P-M+1:P+M+1);k=0:N-1;axis(0,