彈塑性力學(xué)第四章

1、本章討論彈性力學(xué)的第三個(gè)基本規(guī)律。本章討論彈性力學(xué)的第三個(gè)基本規(guī)律。應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一。在前面第二、應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一。在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）。三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）。 ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2 共共9個(gè)方程，但需確定的未知函數(shù)共個(gè)方程，但需確定的未知函數(shù)共15個(gè)：個(gè)： ui， ij= ji， ij= ji， ij = ji = fij ( kl ) 還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來(lái)建立應(yīng)力與還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來(lái)建立

2、應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系：應(yīng)變間的關(guān)系： 1.1 應(yīng)變能應(yīng)變能U 和應(yīng)變能密度和應(yīng)變能密度 W（比能）（比能） 如果彈性體的外力的施加是緩慢進(jìn)行的，物體無(wú)動(dòng)能，物體發(fā)生變形，如果彈性體的外力的施加是緩慢進(jìn)行的，物體無(wú)動(dòng)能，物體發(fā)生變形，產(chǎn)生變形能，也無(wú)熱能耗散，則根據(jù)能量守恒，外力實(shí)功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變產(chǎn)生變形能，也無(wú)熱能耗散，則根據(jù)能量守恒，外力實(shí)功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變能貯存在彈性體中。能貯存在彈性體中。 外力做實(shí)功外力做實(shí)功 A： A=U 物體的應(yīng)變能物體的應(yīng)變能U VWdVUW：應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度單位體積的應(yīng)變能。單位體積的應(yīng)變能。 1.2 1.2 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度W與材料的本構(gòu)關(guān)系與材料的本構(gòu)關(guān)系 當(dāng)外

3、載當(dāng)外載 ， 緩慢施加過程緩慢施加過程中，考察外力施加過程中，瞬時(shí)外力功中，考察外力施加過程中，瞬時(shí)外力功增量變化。增量變化。 iieffiieFFx2x1x3oFf在某一時(shí)刻在某一時(shí)刻t： iieffiieFF產(chǎn)生產(chǎn)生 iieuujiijeejiijee應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度W 的表達(dá)式？的表達(dá)式？時(shí)刻達(dá)到時(shí)刻達(dá)到 t + t：位移有增量位移有增量 iieuu應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽?jiijee外力功增量外力功增量 ： SVdSuFdVufA ：函數(shù)增量：函數(shù)增量 VisiiiVWdVUdSuFdVuf應(yīng)變能增量應(yīng)變能增量 A A 中有體積分和面積分，利用柯西公式和散度定理將面中有體積分和面積分，利

4、用柯西公式和散度定理將面積分換成體積分。積分換成體積分。 SVdSuFdVufAiiiiVsVAfu dVF u dSUWdV()iiijijSSF u dSu n dS (),jiijVudV 代入外力功增量代入外力功增量 ,()iji jijii jVVAfu dVu dV ijijVVdVWdVU ijijWW為為 ij的函數(shù)。的函數(shù)。 因?yàn)橐驗(yàn)閃只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)，與變形過程只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)，與變形過程（加載路線）無(wú)關(guān)，所以（加載路線）無(wú)關(guān)，所以 W 為它的全微分為它的全微分 ijijWW比較上面二式，得：比較上面二式，得： )(kli

5、jijijfW本構(gòu)關(guān)系（方程）本構(gòu)關(guān)系（方程） 適用于各種彈性情況（線性、非線性）適用于各種彈性情況（線性、非線性） ijijWWijijW 由由 ijijW積分得積分得 ijijijWW0應(yīng)變能密度定義式。應(yīng)變能密度定義式。 應(yīng)變能密度定義式應(yīng)變能密度定義式ijijijWW0一些書上寫為一些書上寫為ijijddWWij0 ij ij ijd ijdWW ij 2.1 各向異性材料各向異性材料 在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，材料均勻在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，材料均勻和小變形情況和小變形情況,以及當(dāng)以及當(dāng) ij=0 時(shí)時(shí) ij=0。用指標(biāo)符號(hào)表示：用指標(biāo)符號(hào)表示： ij = Eijkl

6、kl Eijkl 共有共有81個(gè)元素（四階張量常數(shù)）。個(gè)元素（四階張量常數(shù)）。 由于由于 ij = ji ， kl = lk =c T123123332211 T123123332211Eijkl 減少為減少為6 6=36個(gè)獨(dú)立系數(shù)，用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系個(gè)獨(dú)立系數(shù)，用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系 2.1 各向異性材料各向異性材料 =c 666261262221161211CCCCCCCCCC 2.1 各向異性材料各向異性材料 根據(jù)根據(jù) ijijW， 得得 ijklklijklijW2則則 C 為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣 C= CT。 2.1 各向異性材料各向異性材料2.1 各向異性材料各向異性材料 *對(duì)各向異性材

7、料的本構(gòu)關(guān)系可見，剪應(yīng)變引起正應(yīng)力，正應(yīng)變對(duì)各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系可見，剪應(yīng)變引起正應(yīng)力，正應(yīng)變也產(chǎn)生剪應(yīng)力。也產(chǎn)生剪應(yīng)力。 彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對(duì)稱性，利用對(duì)稱可進(jìn)一步簡(jiǎn)化彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對(duì)稱性，利用對(duì)稱可進(jìn)一步簡(jiǎn)化 C 中系數(shù)。中系數(shù)。 Eijkl 的獨(dú)立系數(shù)為的獨(dú)立系數(shù)為21個(gè)個(gè)材料為各向異性線彈性材料。材料為各向異性線彈性材料。 2.2 具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的材料具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的材料 x2x1x3彈性主軸彈性主軸若物體內(nèi)各點(diǎn)都有這樣一若物體內(nèi)各點(diǎn)都有這樣一個(gè)平面，對(duì)此平面對(duì)稱方個(gè)平面，對(duì)此平面對(duì)稱方向其彈性性質(zhì)相同，則稱向其彈性性質(zhì)相同，則稱此平面為彈性對(duì)稱面，垂此平

8、面為彈性對(duì)稱面，垂直彈性對(duì)稱面的方向稱為直彈性對(duì)稱面的方向稱為彈性主軸。彈性主軸。 如取彈性對(duì)稱面為如取彈性對(duì)稱面為x1 x2面，面， x3為彈性為彈性主軸或主軸或材料主軸，并取另一坐標(biāo)系材料主軸，并取另一坐標(biāo)系xi ，且，且x1 = x1，x2=x2，x3=-x3。在兩個(gè)坐標(biāo)下，彈。在兩個(gè)坐標(biāo)下，彈性關(guān)系保持不變，則性關(guān)系保持不變，則 C C 中元素減少為中元素減少為1313個(gè)獨(dú)立系數(shù)。個(gè)獨(dú)立系數(shù)。 x2x1x3彈性主軸彈性主軸x3Qij x1 x2x3 x1 = x1 1 0 0 x2=x2 0 1 0 x3=-x3 0 0 -1 代入代入 klljkijiQQklljkijiQQ得得 1

9、1xx22xx33xx2121xxxx1313xxxx2323xxxx應(yīng)變張量具有相同關(guān)系應(yīng)變張量具有相同關(guān)系 。代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程 =c , 比較得比較得 6655454436332623221613121100000000CCCCCCCCCCCCCC稱對(duì)2.3 具有三個(gè)正交彈性對(duì)稱面的材料具有三個(gè)正交彈性對(duì)稱面的材料正交各向異性材料正交各向異性材料 木材、增強(qiáng)纖維復(fù)合材料屬此種材料。取木材、增強(qiáng)纖維復(fù)合材料屬此種材料。取x1，x2 ， x3為彈性主軸。為彈性主軸。 C中獨(dú)立系數(shù)減少為中獨(dú)立系數(shù)減少為9個(gè)：個(gè)： 2.3 具有三個(gè)正交彈性對(duì)稱面的材料具有三個(gè)正

10、交彈性對(duì)稱面的材料正交各正交各 向異性材料向異性材料 665544332322131211000000000000CCCCCCCCCC稱對(duì)特點(diǎn)：正應(yīng)變僅引起正應(yīng)力，剪應(yīng)變僅產(chǎn)生剪應(yīng)力。特點(diǎn)：正應(yīng)變僅引起正應(yīng)力，剪應(yīng)變僅產(chǎn)生剪應(yīng)力。 2.4 2.4 橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料彈性體對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱彈性體對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱 若通過物體每一點(diǎn)可作這樣的軸（如若通過物體每一點(diǎn)可作這樣的軸（如x3軸），在此軸成垂直的平面內(nèi)，所有射線軸），在此軸成垂直的平面內(nèi)，所有射線方向的彈性性質(zhì)都是相同的，稱這個(gè)平面方向的彈性性質(zhì)都是相同的，稱這個(gè)平面為各向同性面，如地層屬于此類。為各向同性面，如地層屬于此類。 C C

11、中中獨(dú)立系數(shù)為獨(dú)立系數(shù)為5 5個(gè)：個(gè)： x1x2x3x1x2各向同性面各向同性面 2.4 2.4 橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料彈性體對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱彈性體對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱 )(00000000000012114444331311131211CCCCCCCCCCC稱對(duì)2.5 2.5 各向同性材料各向同性材料 各個(gè)方向彈性性質(zhì)一樣，各個(gè)方向彈性性質(zhì)一樣，C中僅有中僅有2個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立系數(shù)：系數(shù)： 111212111211111211121112000000000()00()0()CCCCCCCCCCCCC對(duì)稱2.5 2.5 各向同性材料各向同性材料 200020002000200202GGGGGG對(duì)稱1

12、2111211,2 ,2CCCGCG令則3.1 本構(gòu)關(guān)系用本構(gòu)關(guān)系用 、G表示表示 采用指標(biāo)符號(hào)表示：采用指標(biāo)符號(hào)表示： ijijkkijijijGG22 其中其中 ekk 應(yīng)變第一不變量（體積應(yīng)變）應(yīng)變第一不變量（體積應(yīng)變） 3.1 本構(gòu)關(guān)系用本構(gòu)關(guān)系用 、G表示表示 或或 kkijijkkijijijGGGG2321221kk應(yīng)力第一不變量應(yīng)力第一不變量； 3.1 本構(gòu)關(guān)系用本構(gòu)關(guān)系用 、G表示表示 兩個(gè)第一不變量關(guān)系兩個(gè)第一不變量關(guān)系 Gkkkk23 Ge2313.2 3.2 本構(gòu)關(guān)系用彈性模量本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)和泊松系數(shù) 表示表示 令令 )21)(1 (E)1 (2EG或或 )()23(GGGE)(2G3.2 3.2 本構(gòu)關(guān)系用彈性模量本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)和泊松系數(shù) 表示表示 則本構(gòu)關(guān)系變?yōu)椴牧狭W(xué)中最初見到的廣義虎克定理的形式：則本構(gòu)關(guān)系變?yōu)椴牧狭W(xué)中最初見到的廣義虎克定理的形式： )(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzEyzyzE)1 (2zxzxE)1 (2xyxyE)1 (2 采用指標(biāo)符號(hào)采用指標(biāo)符號(hào)表示：表示： kkijijijE)1 (1kkijijijE211kkkkE21e21E3Kee )21 ( 33E323)21