人教版九年級下冊數(shù)學全冊知識點梳理

1、第一部分 教材知識梳理·系統(tǒng)復習第一單元數(shù)與式第1講實數(shù)知識點一：實數(shù)的概念及分類關鍵點撥及對應舉例1.實數(shù)（1）按定義分（2）按正、負性分正有理數(shù)有理數(shù) 0 有限小數(shù)或正實數(shù)負有理數(shù)無限循環(huán)小數(shù)實數(shù) 0實數(shù)正無理數(shù)負實數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)（1）0既不屬于正數(shù)，也不屬于負數(shù).（2）無理數(shù)的幾種常見形式判斷：含的式子；構造型：如3.010010001（每兩個1之間多個0）就是一個無限不循環(huán)小數(shù)；開方開不盡的數(shù)：如，；三角函數(shù)型：如sin60°，tan25°.（3）失分點警示：開得盡方的含根號的數(shù)屬于有理數(shù)，如=2，=-3，它們都屬于有理數(shù).知識點二：實數(shù)的

2、相關概念2.數(shù)軸（1）三要素：原點、正方向、單位長度（2）特征：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；數(shù)軸右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大例：數(shù)軸上-2.5表示的點到原點的距離是2.5.3.相反數(shù)（1）概念：只有符號不同的兩個數(shù)（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)ó a+b=0（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等a的相反數(shù)為-a，特別的0的絕對值是0.例：3的相反數(shù)是-3，-1的相反數(shù)是1.4.絕對值（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點到原點的距離（2）運算性質：|a|= a (a0)； |a-b|= a-b(ab)-a(a0). b-a(ab)（3）非負性：|a|0，若|a

3、|+b2=0,則a=b=0.（1）若|x|=a（a0），則x=±a.（2）對絕對值等于它本身的數(shù)是非負數(shù).例：5的絕對值是5；|-2|=2；絕對值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒數(shù)（1）概念：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為1/a(a0)（2）代數(shù)意義：ab=1óa,b互為倒數(shù)例：-2的倒數(shù)是-1/2；倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±1.知識點三：科學記數(shù)法、近似數(shù)6.科學記數(shù)法（1）形式：a×10n,其中1|a|10，n為整數(shù)（2）確定n的方法：對于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)為減去1；對于小數(shù)，寫成a×10-n，1|a|10，

4、n等于原數(shù)中左起至第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)（含小數(shù)點前面的一個）例：21000用科學記數(shù)法表示為2.1×104；19萬用科學記數(shù)法表示為1.9×105；0.0007用科學記數(shù)法表示為7×10-4.7.近似數(shù)（1）定義：一個與實際數(shù)值很接近的數(shù).（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.例：3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.知識點四：實數(shù)的大小比較8.實數(shù)的大小比較（1）數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.（2）性質比較法：正數(shù)0負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.（3）作差比較法：a-

5、b0óab；a-b=0óa=b；a-b0óab.（4）平方法：ab0óa2b2.例：把1，-2,0，-2.3按從大到小的順序排列結果為_10-2-2.3_.知識點五：實數(shù)的運算9.常見運算乘 方幾個相同因數(shù)的積; 負數(shù)的偶（奇）次方為正（負）例：（1）計算：1-2-6=_-7_;(-2)2=_4_;3-1=_1/3_;0=_1_;(2)64的平方根是_±8_,算術平方根是_8_,立方根是_4_.失分點警示：類似“的算術平方根”計算錯誤. 例：相互對比填一填：16的算術平方根是 4_,的算術平方根是_2_.零次冪a0=_1_(a0)負指數(shù)冪 a-

6、p=1/ap（a0，p為整數(shù)）平方根、算術平方根若x2=a（a0）,則x=.其中是算術平方根.立方根若x3=a,則x=.10.混合運算先乘方、開方，再乘除，最后加減；同級運算，從左向右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號一次進行.計算時，可以結合運算律，使問題簡單化第2講整式與因式分解一、 知識清單梳理知識點一：代數(shù)式及相關概念關鍵點撥及對應舉例1.代數(shù)式（1）代數(shù)式：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式（2）求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算得出的結果，叫做求代數(shù)式的值求代數(shù)式的值常運用

7、整體代入法計算.例：ab3，則3b3a9.2.整式（單項式、多項式）（1）單項式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫單項式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù).（2）多項式：幾個單項式的和.多項式中的每一項叫做多項式的項，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).（3）整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.（4）同類項：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.所有的常數(shù)項都是同類項.例：（1）下列式子：-2a2;3a-5b；x/2;2/x;7a2;7x2+8x3y；2017.其中屬于單項式的是；多項式是；同類項是和.（2）多項式7m5n-11mn

8、2+1是六次三項式，常數(shù)項是_1 .知識點二：整式的運算3.整式的加減運算(1)合并同類項法則:同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變(2)去括號法則:若括號外是“”，則括號里的各項都不變號；若括號外是“”，則括號里的各項都變號.(3)整式的加減運算法則：先去括號，再合并同類項.失分警示：去括號時，如果括號外面是符號，一定要變號，且與括號內每一項相乘，不要有漏項.例：2(3a2b1)6a4b2.4.冪運算法則(1)同底數(shù)冪的乘法：am·anamn；(2)冪的乘方：(am)namn；(3)積的乘方：(ab)nan·bn；(4)同底數(shù)冪的除法：am÷

9、;anamn(a0).其中m,n都在整數(shù) (1)計算時，注意觀察，善于運用它們的逆運算解決問題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.（2）在解決冪的運算時，有時需要先化成同底數(shù).例：2m·4m=23m.5.整式的乘除運算(1)單項式×單項式：系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘；只有一個字母的照抄(2)單項式×多項式：m(a+b)=ma+mb.(3)多項式×多項式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)單項式÷單項式：將系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除.(5)多項式÷單項式：多項式的每一項除以單項式；商相加失分警示

10、：計算多項式乘以多項式時，注意不能漏乘，不能丟項，不能出現(xiàn)變號錯.例：(2a1)(b2)2ab4ab2.（6）乘法公式平方差公式：(ab)(ab)a2b2.注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的運用完全平方公式：(a±b)2a2±2abb2. 變形公式： a2+b2=(a±b)22ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /26.混合運算注意計算順序，應先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、代入替換、計算例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a_.知識點五：因式分解7.因式分解(1)定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式(2)常用方

11、法：提公因式法：mambmcm(abc).公式法：a2b2(ab)(ab)；a2±2abb2(a±b)2.(3)一般步驟：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；檢查各因式能否繼續(xù)分解.(1) 因式分解要分解到最后結果不能再分解為止，相同因式寫成冪的形式；(2) 因式分解與整式的乘法互為逆運算第3講分式二、 知識清單梳理知識點一：分式的相關概念關鍵點撥及對應舉例1. 分式的概念（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B0)的式子.（2）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.在判斷某個式子是否為分式時，應注意：（1）判斷化簡之間的式子；（2）是常

12、數(shù)，不是字母. 例：下列分式：; ;，其中是分式是；最簡分式.2.分式的意義(1)無意義的條件：當B0時，分式無意義；(2)有意義的條件：當B0時，分式有意義；(3)值為零的條件：當A0，B0時，分式0.失分點警示：在解決分式的值為0，求值的問題時，一定要注意所求得的值滿足分母不為0.例：當?shù)闹禐?時，則x-1.3.基本性質(1)基本性質：(C0)（2）由基本性質可推理出變號法則為：；.由分式的基本性質可將分式進行化簡：例：化簡：=.知識點三：分式的運算4.分式的約分和通分(1)約分(可化簡分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去，即；(2)通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質，把異分母的

13、分式化為同分母的分式，即分式通分的關鍵步驟是找出分式的最簡公分母，然后根據(jù)分式的性質通分.例：分式和的最簡公分母為.5.分式的加減法(1)同分母：分母不變，分子相加減.即±；(2)異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.即±.例：1.6.分式的乘除法(1)乘法：·；(2)除法：；(3)乘方： (n為正整數(shù)).例：；2y；.7.分式的混合運算(1)僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.(2)含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號里面的失分點警示：分式化簡求值問題，要先

14、將分式化簡到最簡分式或整式的形式，再代入求值.代入數(shù)值時注意要使原分式有意義.有時也需運用到整體代入.第4講二次根式三、 知識清單梳理知識點一：二次根式關鍵點撥及對應舉例1.有關概念（1）二次根式的概念：形如(a0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.（3）最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號）；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式失分點警示：當判斷分式、二次根式組成的復合代數(shù)式有意義的條件時，注意確保各部分都有意義，即分母不為0，被開方數(shù)大于等于0等.例：若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x1.2.二次根式的性質（1）雙重非負性：被開方數(shù)是非負數(shù)

15、，即a0；二次根式的值是非負數(shù)，即0.注意：初中階段學過的非負數(shù)有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負性解題：（1）值非負:當多個非負數(shù)的和為0時，可得各個非負數(shù)均為0.如+=0，則a=-1，b=1.（2）被開方數(shù)非負:當互為相反數(shù)的兩個數(shù)同時出現(xiàn)在二次根式的被開方數(shù)下時，可得這一對相反數(shù)的數(shù)均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.(2)兩個重要性質：()2a(a0)；|a|；(3)積的算術平方根：·(a0，b0)；(4)商的算術平方根： (a0，b0)例：計算：3.14；2；=；=2 ；知識點二：二次根式的運算3.二次根式的加減法先將各根式化為最簡二次根式，

16、再合并被開方數(shù)相同的二次根式例：計算：.4.二次根式的乘除法（1）乘法：·=(a0，b0)；（2）除法：= (a0，b0)注意：將運算結果化為最簡二次根式.例：計算：1；4.5.二次根式的混合運算運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）運算時，注意觀察，有時運用乘法公式會使運算簡便.例：計算：(+1)( -1)= 1 .第二單元方程(組)與不等式(組)第5講一次方程(組)四、 知識清單梳理知識點一：方程及其相關概念關鍵點撥及對應舉例1.等式的基本性質(1)性質1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式.即若ab，

17、則a±cb±c.(2)性質2：等式兩邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結果仍是等式.即若ab，則acbc，(c0)(3)性質3：（對稱性）若a=b,則b=a.(4)性質4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.失分點警示：在等式的兩邊同除以一個數(shù)時，這個數(shù)必須不為0.例：判斷正誤.(1)若a=b,則a/c=b/c. (×)(2)若a/c=b/c，則a=b. ()2.關于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程(2)二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程(3)二元一次

18、方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解在運用一元一次方程的定義解題時，注意一次項系數(shù)不等于0.例：若(a-2)是關于x的一元一次方程，則a的值為0.知識點二：解一元一次方程和二元一次方程組3.解一元一次方程的步驟(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項；(2)去括號：括號外若為負號，去括號后括號內各項均要變號；(3)移項：移項要變號；(4)合并同類項：把方程化成ax=-b(a0)；(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.失分點警示：方程去分母時，應該將分子用括號括起來，然后再去括

19、號，防止出現(xiàn)變號錯誤.4.二元一次方程組的解法思路：消元，將二元一次方程轉化為一元一次方程.已知方程組，求相關代數(shù)式的值時，需注意觀察，有時不需解出方程組，利用整體思想解決解方程組. 例：已知則x-y的值為x-y=4.方法：(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再把“它”代入另一個方程，進行求解；(2) 加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數(shù)的方法.知識點三：一次方程(組)的實際應用5.列方程(組)解應用題的一般步驟(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；(2)設未知數(shù)；(3)列方程(組)：找出等量關系，列方程（組）；(4)解方程(組)；(5)檢驗：

20、檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；(6)作答：規(guī)范作答，注意單位名稱（1）設未知數(shù)時，一般求什么設什么，但有時為了方便，也可間接設未知數(shù).如題目中涉及到比值，可以設每一份為x.（2）列方程（組）時，注意抓住題目中的關鍵詞語，如共是、等于、大（多）多少、?。ㄉ伲┒嗌?、幾倍、幾分之幾等.6.常見題型及關系式（1）利潤問題：售價=標價×折扣，銷售額=售價×銷量，利潤=售價-進價，利潤率=利潤/進價×100%.（2）利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)，本息和=本金+利息.（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間.（4）行程問題：路程=速

21、度×時間. 相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；追及問題：a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.第6講一元二次方程五、 知識清單梳理知識點一：一元二次方程及其解法關鍵點撥及對應舉例1.一元二次方程的相關概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程(2)一般形式：ax2bxc0(a0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項例：方程是關于x的一元二次方程，則方程的根為1.2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2

22、=n(n0)的方程，可直接開平方求解.( 2 )因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2bxc0的求根公式為x=（b2-4ac0）.(4)配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法解一元二次方程時，注意觀察，先特殊后一般，即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知識點二：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系3.根的判別式(1)當>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)當=

23、0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根(3)當<0時，原方程沒有實數(shù)根例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程的判別式等于8，故該方程沒有實數(shù)根.*4.根與系數(shù)的關系（1）基本關系：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關系的前提條件是0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數(shù)式的值時，先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運用根與系數(shù)的關系求解.與一元二次方程兩根相關代數(shù)式的常見變形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x

24、22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分點警示在運用根與系數(shù)關系解題時，注意前提條件時=b2-4ac0.知識點三：一元二次方程的應用4.列一元二次方程解應用題（1）解題步驟：審題；設未知數(shù)；列一元二次方程；解一元二次方程；檢驗根是否有意義；作答運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.（2）應用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應用.平均增長率（降低率）問題：公式：ba(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×

25、100%；傳播、比賽問題：面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關系列方程.第7講分式方程六、 知識清單梳理知識點一：分式方程及其解法關鍵點撥及對應舉例1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程例：在下列方程中，；，其中是分式方程的是.2.解分式方程方程兩邊同乘以最簡公分母約去分母基本思路：分式方程整式方程例：將方程轉化為整式方程可得：122(x1).解法步驟：(1)去分母，將分式方程化為整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)檢驗：把所求得的x的值代入最簡公分母中，若最簡公分母為0，則應舍去3.增根使分式方程中的分母為0的根

26、即為增根.例：若分式方程有增根，則增根為1.知識點二：分式方程的應用4.列分式方程解應用題的一般步驟(1)審題；(2)設未知數(shù)；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗： (6)作答在檢驗這一步中，既要檢驗所求未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求未知數(shù)的值是不是符合題目的實際意義.第8講一元一次不等式(組)七、 知識清單梳理知識點一：不等式及其基本性質關鍵點撥及對應舉例1.不等式的相關概念（1）不等式：用不等號(，或)表示不等關系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為ab1

27、.2.不等式的基本性質性質1：若ab,則 a±c>b±c；性質2：若ab,c>0，則ac>bc，>；性質3：若ab,c<0，則ac<bc，<.牢記不等式性質3，注意變號.如：在不等式2x4中，若將不等式兩邊同時除以2，可得x2.知識點二：一元一次不等式3.定義用不等號連接，含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是關于x的一元一次不等式，則m的值為-1.4.解法（1）步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1.失分點警示系數(shù)化為1時，注意系數(shù)的正負性，若系數(shù)是負數(shù)，則不等

28、式改變方向.（2）解集在數(shù)軸上表示: xa xa xa xa知識點三：一元一次不等式組的定義及其解法5.定義由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組（1）在表示解集時“”，“”表示含有，要用實心圓點表示；“”，“”表示不包含要用空心圓點表示（2）已知不等式（組）的解集情況，求字母系數(shù)時，一般先視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不等式（組）解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值. 如：已知不等式（a-1）x1-a的解集是x-1，則a的取值范圍是a1.6.解法先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分7.不等式組解集的類型假設ab解集數(shù)軸表示口訣xb大大

29、取大xa小小取小axb大小，小大中間找無解大大，小小取不了知識點四：列不等式解決簡單的實際問題8.列不等式解應用題（1）一般步驟：審題；設未知數(shù)；找出不等式關系；列不等式；解不等式；驗檢是否有意義.（2）應用不等式解決問題的情況：a.關鍵詞：含有“至少（）”、“最多（）”、“不低于（）”、“不高于（）”、“不大（小）于”、“超過（）”、“不足（）”等；b.隱含不等關系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般還需根據(jù)整數(shù)解，得出最佳方案注意：列不等式解決實際問題中，設未知數(shù)時，不應帶“至少”、“最多”等字眼，與方程中設未知數(shù)一致.第9講平面直角坐標系與函數(shù)八、 知識清單梳理知識點一：平面直

30、角坐標系關鍵點撥及對應舉例1.相關概念（1）定義：在平面內有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系（2）幾何意義：坐標平面內任意一點M與有序實數(shù)對(x，y)的關系是一一對應點的坐標先讀橫坐標(x軸)，再讀縱坐標(y軸).2.點的坐標特征( 1 )各象限內點的坐標的符號特征（如圖所示）：點P(x,y)在第一象限x0，y0；點P(x,y)在第二象限x0，y0；點P（x,y）在第三象限x0，y0；點P（x,y）在第四象限x0，y0.（2） 坐標軸上點的坐標特征：在橫軸上y0；在縱軸上x0；原點x0，y0.（3）各象限角平分線上點的坐標第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；第二、四象限角

31、平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數(shù)（4）點P（a,b）的對稱點的坐標特征：關于x軸對稱的點P1的坐標為(a，b)；關于y軸對稱的點P2的坐標為(a，b)；關于原點對稱的點P3的坐標為(a，b)（5）點M（x,y）平移的坐標特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）坐標軸上的點不屬于任何象限.（2）平面直角坐標系中圖形的平移，圖形上所有點的坐標變化情況相同.（3）平面直角坐標系中求圖形面積時，先觀察所求圖形是否為規(guī)則圖形，若是，再進一步尋找求這個圖形面積的因素，若找不到，就要借助割補法，割補法的主要秘訣是過點向x軸、y軸作垂線，從而將其割補成可以直接計算面積的圖形來

32、解決.3.坐標點的距離問題（1）點M(a,b)到x軸，y軸的距離：到x軸的距離為|b|；)到y(tǒng)軸的距離為|a|（2）平行于x軸，y軸直線上的兩點間的距離：點M1(x1,0)，M2(x2,0)之間的距離為|x1x2|，點M1(x1，y)，M2(x2，y)間的距離為|x1x2|；點M1(0，y1)，M2(0，y2)間的距離為|y1y2|，點M1(x，y1)，M2(x，y2)間的距離為|y1y2|平行于x軸的直線上的點縱坐標相等；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相等.知識點二：函數(shù)4.函數(shù)的相關概念（1）常量、變量：在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量（2）函數(shù)：在一個

33、變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)函數(shù)的表示方法有：列表法、圖像法、解析法.（3）函數(shù)自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實數(shù)；分式的分母不為零；二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；使實際問題有意義失分點警示函數(shù)解析式，同時有幾個代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應是各個代數(shù)式中自變量的公共部分. 例：函數(shù)y=中自變量的取值范圍是x-3且x5.5.函數(shù)的圖象（1）分析實際問題判斷函數(shù)圖象的方法：找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發(fā)生變化；判斷圖象趨勢：

34、判斷出函數(shù)的增減性，圖象的傾斜方向.（2）以幾何圖形（動點）為背景判斷函數(shù)圖象的方法：設時間為t（或線段長為x），找因變量與t(或x)之間存在的函數(shù)關系，用含t(或x)的式子表示，再找相應的函數(shù)圖象.要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.讀取函數(shù)圖象增減性的技巧：當函數(shù)圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態(tài)時，函數(shù)y隨x的增大而增大（減?。?；函數(shù)值變化越大，圖象越陡峭；當函數(shù)y值始終是同一個常數(shù)，那么在這個區(qū)間上的函數(shù)圖象是一條平行于x軸的線段.第10講一次函數(shù)九、 知識清單梳理知識點一：一次函數(shù)的概念及其圖象、性質關鍵點撥與對應舉例1.一次函數(shù)的相關概念（1）概念：一般來說，形如ykxb(

35、k0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)特別地，當b0時，稱為正比例函數(shù)（2）圖象形狀：一次函數(shù)ykxb是一條經(jīng)過點（0,b）和（-b/k,0）的直線.特別地，正比例函數(shù)ykx的圖象是一條恒經(jīng)過點（0,0）的直線.例：當k1時，函數(shù)ykxk1是正比例函數(shù),2.一次函數(shù)的性質k，b符號K0，b0K0，b0K0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b0（1）一次函數(shù)y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確定了與y軸交點的位置.（2）比較兩個一次函數(shù)函數(shù)值的大小：性質法，借助函數(shù)的圖象，也可以運用數(shù)值代入法.例：已知函數(shù)y=2xb，函數(shù)值y隨x的增大而減小(填“增大”或“

36、減小”)大致圖象經(jīng)過象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四圖象性質y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小3.一次函數(shù)與坐標軸交點坐標(1)交點坐標：求一次函數(shù)與x軸的交點，只需令y=0,解出x即可；求與y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.故一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象與x軸的交點是，與y軸的交點是(0，b)；(2)正比例函數(shù)ykx(k0)的圖象恒過點(0，0)例：一次函數(shù)yx2與x軸交點的坐標是（-2,0），與y軸交點的坐標是（0,2）.知識點二：確定一次函數(shù)的表達式4.確定一次函數(shù)表達式的條件（1）常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為：設：設函數(shù)表達式為ykxb(k0)；代

37、：將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程或方程組；解：求出k與b的值，得到函數(shù)表達式（2）常見類型：已知兩點確定表達式；已知兩對函數(shù)對應值確定表達式；平移轉化型：如已知函數(shù)是由y=2x平移所得到的，且經(jīng)過點（0,1），則可設要求函數(shù)的解析式為y=2x+b,再把點（0,1）的坐標代入即可.(1)確定一次函數(shù)的表達式需要兩組條件，而確定正比例函數(shù)的表達式，只需一組條件即可.(2)只要給出一次函數(shù)與y軸交點坐標即可得出b的值,b值為其縱坐標，可快速解題. 如:已知一次函數(shù)經(jīng)過點（0,2），則可知b=2.5.一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：一次函數(shù)圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值

38、相同.若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h. 例：將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)關系式為y=-2x+2知識點三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關系6.一次函數(shù)與方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k0）的圖象與x軸交點的橫坐標.例：（1）已知關于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數(shù)y=ax+b與x軸的交點坐標為（1,0）.（2）一次函數(shù)y=-3x+12中，當x4時，y的值為負數(shù)7.一次函數(shù)與方程組y=k2x+by=k1x+b 二元一次方程組的解兩個一次函數(shù)y=k1x+b 和y=k2x+b圖象的

39、交點坐標.8.一次函數(shù)與不等式（1）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b0的解集（2）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b0的解集知識點四：一次函數(shù)的實際應用9.一般步驟（1）設出實際問題中的變量；（2）建立一次函數(shù)關系式；（3）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式；（4）確定自變量的取值范圍；（5）利用一次函數(shù)的性質求相應的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義；（6）做答.一次函數(shù)本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數(shù)表達式確定函數(shù)增減性根據(jù)自變量的取值

40、范圍確定最值.10.常見題型（1）求一次函數(shù)的解析式.（2）利用一次函數(shù)的性質解決方案問題.第11講 反比例函數(shù)的圖象和性質十、 知識清單梳理知識點一：反比例函數(shù)的概念及其圖象、性質關鍵點撥與對應舉例1.反比例函數(shù)的概念（1）定義：形如y(k0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：y；y=kx-1;xy=k.(其中k為常數(shù)，且k0)例：函數(shù)y=3xm+1，當m=2時，則該函數(shù)是反比例函數(shù)2.反比例函數(shù)的圖象和性質k的符號圖象經(jīng)過象限y隨x變化的情況（1）判斷點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：把點的橫、縱坐標代入看是否滿足

41、其解析式；把點的橫、縱坐標相乘，判斷其乘積是否等于k.失分點警示（2）反比例函數(shù)值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內，若不在則不能運用性質進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.k>0圖象經(jīng)過第一、三象限（x、y同號）每個象限內，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.k<0圖象經(jīng)過第二、四象限（x、y異號）每個象限內，函數(shù)y的值隨x的增大而增大.3.反比例函數(shù)的圖象特征（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象

42、限和二、四象限的角平分線例：若(a，b)在反比例函數(shù)的圖象上，則(a，b)在該函數(shù)圖象上.(填“在"、"不在")4.待定系數(shù)法只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.例：已知反比例函數(shù)圖象過點（3，1），則它的解析式是y=3/x.知識點二：反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合5.系數(shù)k的幾何意義（1）意義：從反比例函數(shù)y(k0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見的面積類型：圖見學練優(yōu)RJ九數(shù)上前面四頁“方法、易錯”的此內容

43、下的圖片失分點警示已知相關面積，求反比例函數(shù)的表達式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k0.例：已知反比例函數(shù)圖象上任一點作坐標軸的垂線所圍成矩形為3，則該反比例函數(shù)解析式為：或.6.與一次函數(shù)的綜合（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標為（-a,-b）.【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數(shù)解析式中求解（3）在同一坐標系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關系，可采用假設法，分k0和k0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排

44、除.（4）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結合交點坐標，確定出解集的范圍.涉及與面積有關的問題時，要善于把點的橫、縱坐標轉化為圖形的邊長，對于不好直接求的面積往往可分割轉化為較好求的三角形面積；也要注意系數(shù)k的幾何意義. 例：如圖所示，三個陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：SAOC=SOPESBOD.知識點三：反比例函數(shù)的實際應用7 .一般步驟（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；（2設出函數(shù)表達式；（3）依題意求解函數(shù)表達式；（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達式或性質解決相關問題.第12講二次函數(shù)的圖象與性質十一、 知識清單梳理知識點一：二次函數(shù)的概念

45、及解析式關鍵點撥與對應舉例1.一次函數(shù)的定義形如yax2bxc (a，b，c是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).例：如果函數(shù)y=(a1)x2是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是a0.2.解析式（1）三種解析式：一般式：y=ax2+bx+c;頂點式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標是（h,k）;交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.（2）待定系數(shù)法：巧設二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關于待定系數(shù)的方程（組）；解方程（組），求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個點或三對對應函數(shù)值，可設一般式；若已知頂點坐標

46、或對稱軸方程與最值，可設頂點式；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，可設交點式.知識點二：二次函數(shù)的圖象與性質3.二次函數(shù)的圖象和性質圖象（1）比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：直接代入求值法；性質法：當自變量在對稱軸同側時，根據(jù)函數(shù)的性質判斷；當自變量在對稱軸異側時，可先利用函數(shù)的對稱性轉化到同側，再利用性質比較；圖象法：畫出草圖，描點后比較函數(shù)值大小.失分點警示（2）在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時，首先考慮對稱軸是否在取值范圍內，而不能盲目根據(jù)公式求解.例：當0x5時，拋物線y=x2+2x+7的最小值為7 .開口向上向下對稱軸x頂點坐標增減性當x>時，y隨x的增大而增大；當x時，y隨x

47、的增大而減小.當x>時，y隨x的增大而減??；當x時，y隨x的增大而增大.最值x=，y最小.x=，y最大.3.系數(shù)a、b、ca決定拋物線的開口方向及開口大小當a0時，拋物線開口向上；當a0時，拋物線開口向下.某些特殊形式代數(shù)式的符號： a±b+c即為x=±1時，y的值；4a±2b+c即為x=±2時，y的值. 2a+b的符號，需判斷對稱軸-b/2a與1的大小.若對稱軸在直線x=1的左邊，則-b/2a1，再根據(jù)a的符號即可得出結果.2a-b的符號，需判斷對稱軸與-1的大小.a、 b決定對稱軸（x=-b/2a）的位置當a，b同號，-b/2a0，對稱軸在y軸

48、左邊；當b0時， -b/2a=0，對稱軸為y軸；當a，b異號，-b/2a0，對稱軸在y軸右邊c決定拋物線與y軸的交點的位置當c0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；當c0時，拋物線經(jīng)過原點；當c0時，拋物線與y軸的交點在負半軸上.b24ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)b24ac0時，拋物線與x軸有2個交點;b24ac0時，拋物線與x軸有1個交點;b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點知識點三：二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關系注意：二次函數(shù)的平移實質是頂點坐標的平移，因此只要找出原函數(shù)頂點的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點警示：拋物線平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”,左右平移易弄反.例：將

49、拋物線y=x2沿x軸向右平移2個單位后所得拋物線的解析式是y=（x2）2知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2bxc(a0)的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.當b24ac0，兩個不相等的實數(shù)根；當b24ac0，兩個相等的實數(shù)根；當b24ac0，無實根例：已經(jīng)二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為（1,0），則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個實數(shù)根為2,1.6.二次函數(shù)與不等式拋物線y= ax2bxc0在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集

50、；在x軸下方的部分點的縱坐標均為負，所對應的x的值就是不等式ax2bxc0的解集.第13講 二次函數(shù)的應用十二、 知識清單梳理知識點一：二次函數(shù)的應用關鍵點撥實物拋物線一般步驟若題目中未給出坐標系，則需要建立坐標系求解，建立的原則：所建立的坐標系要使求出的二次函數(shù)表達式比較簡單；使已知點所在的位置適當（如在x軸，y軸、原點、拋物線上等），方便求二次函數(shù)丶表達式和之后的計算求解. 據(jù)題意，結合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；確定自變量的取值范圍；根據(jù)圖象，結合所求解析式解決問題.實際問題中求最值 分析問題中的數(shù)量關系，列出函數(shù)關系式； 研究自變量的取值范圍； 確定所得的函數(shù)；檢驗x的值是否在自變量的取值

51、范圍內，并求相關的值；解決提出的實際問題.解決最值應用題要注意兩點：設未知數(shù)，在“當某某為何值時，什么最大（最?。钡脑O問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；求解最值時，一定要考慮頂點（橫、縱坐標）的取值是否在自變量的取值范圍內.結合幾何圖形 根據(jù)幾何圖形的性質，探求圖形中的關系式； 根據(jù)幾何圖形的關系式確定二次函數(shù)解析式； 利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問題的面積的最值問題通常會通過二次函數(shù)來解決.同樣需注意自變量的取值范圍.第四單元圖形的初步認識與三角形第14講平面圖形與相交線、平行線十三、 知識清單梳理知識點一：直線、線段、射線關鍵點

52、撥1.基本事實（1）直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線（2）線段的基本事實：兩點之間，線段最短例：在墻壁上固定一根橫放的木條，則至少需要2枚釘子，依據(jù)的是兩點確定一條直線.知識點二：角、角平分線2.概念（1）角：有公共端點的兩條射線組成的圖形（2）角平分線：在角的內部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線例：（1）15°25'15.5°；37°24'45''32°48'49''70°13'34''.（2）32°的余角是58°，32

53、°的補角是148°.3.角的度量1°60，160''，1°3600''4.余角和補角( 1 ) 余角：1290°1與2互為余角；( 2 ) 補角：12180°1與2互為補角.（3）性質：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等知識點三：相交線、平行線5.三線八角（1）同位角：形如”F”;（2）內錯角：形如“Z”;(3)同旁內角：形如“U”.一個角的同位角、內錯角或同旁內角可能不止一個，要注意多方位觀察6.對頂角、鄰補角（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂

54、角.（2）性質：對頂角相等，鄰補角之和為180°.例：在平面中，三條直線相交于1點，則圖中有6組對頂角.7.垂線（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線（2）性質：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直垂線段最短（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度例：如圖所示，點A到BC的距離為AB，點B到AC的距離為BD，點C到AB的距離為BC.8.平行線（1）平行線的性質與判定同位角相等兩直線平行內錯角相等兩直線平行同旁內角互補兩直線平行（2）平行公理及其推論經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行平行于同一條直線的兩直線平行（1）如果出現(xiàn)兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點