絕對值的意義及應(yīng)用(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上絕對值的意義及應(yīng)用絕對值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，應(yīng)用較為廣泛在解與絕對值有關(guān)的問題時(shí)，首先必須弄清絕對值的意義和性質(zhì)。對于數(shù)x而言，它的絕對值表示為：|x|.一. 絕對值的實(shí)質(zhì)：正實(shí)數(shù)與零的絕對值是其自身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即也就是說，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。總之，任何實(shí)數(shù)的絕對值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|x|0，請牢牢記住這一點(diǎn)。 二. 絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 例1. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化簡結(jié)果為( )A2a+3b-c B3b-c

2、 Cb+c Dc-b(第二屆“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽初一試題)解：由圖形可知a0，cb0，且|c|b|a|，則a+b0，b-c0所以原式-a+b+a+b-b+cb+c，故應(yīng)選(C)三. 絕對值的性質(zhì)：1. 有理數(shù)的絕對值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|x|0，絕對值最小的數(shù)是零。2. 任何有理數(shù)都有唯一的絕對值，并且任何一個(gè)有理數(shù)都不大于它的絕對值，即x|x|。3. 已知一個(gè)數(shù)的絕對值，那么它所對應(yīng)的是兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)。4. 若兩個(gè)數(shù)的絕對值相等，則這兩個(gè)數(shù)不一定相等(顯然如|6|-6|，但6-6)，只有這兩個(gè)數(shù)同號，且這兩個(gè)數(shù)的絕對值相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才相等。四. 含絕對值問題的有效處理方法1. 運(yùn)用絕對值概

3、念。即根據(jù)題設(shè)條件或隱含條件，確定絕對值里代數(shù)式的正負(fù)，再利用絕對值定義去掉絕對值的符號進(jìn)行運(yùn)算。例2. 已知：|x-2|+x-20，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。解：|x-2|+x-20，|x-2|-(x-2) 根據(jù)絕對值的概念，一個(gè)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)或零，x-20，即x2，這表示x的最大值為2(1)當(dāng)x2時(shí)，x+2得最大值2+24；(2)當(dāng)x2時(shí)，6-x得最小值6-242. 用絕對值為零時(shí)的值分段討論即對于含絕對值代數(shù)式的字母沒有條件限制或限制不確切的，就需先求零點(diǎn)，再分區(qū)間定性質(zhì)，最后去掉絕對值符號。例3. 已知|x-2|+x與x-2+|x|互為相

4、反數(shù)，求x的最大值解：由題意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)0，整理得|x-2|+|x|+2x-20令|x-2|0，得x2，令|x|0，得x0以0，2為分界點(diǎn)，分為三段討論：(1)x2時(shí)，原方程化為x-2+x+2x-20，解得x1，因不在x2的范圍內(nèi)，舍去。(2)0x2時(shí)，原方程化為2-x+x+2x-20，解得x0(3)x0時(shí)，原方程化為2-x-x+2x-20，從而得x0綜合(1)、(2)、(3)知x0，所以x的最大值為03. 整體參與運(yùn)算過程即整體配湊，借用已知條件確定絕對值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對值定義去掉絕對值符號進(jìn)行運(yùn)算。例4. 若|a-2|2-a，求a的取值范圍。解：根據(jù)已知

5、條件等式的結(jié)構(gòu)特征，我們把a(bǔ)-2看作一個(gè)整體，那么原式變形為|a-2|-(a-2)，又由絕對值概念知a-20，故a的取值范圍是a24. 運(yùn)用絕對值的幾何意義即通過觀察圖形確定絕對值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對值定義去掉絕對值的符號進(jìn)行運(yùn)算例5. 求滿足關(guān)系式|x-3|-|x+1|4的x的取值范圍解：原式可化為|x-3|-|x-(-1)|4它表示在數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)3的距離與到點(diǎn)-1的距離的差為4由圖可知，小于等于-1的范圍內(nèi)的x的所有值都滿足這一要求。所以原式的解為x-1五. 有關(guān)絕對值知識的應(yīng)用1. 如果根據(jù)已知條件或題目中的隱含條件可以確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)(或代數(shù)式)為“負(fù)”值或“非負(fù)”值，則由絕

6、對值的定義可直接寫出其結(jié)果.例6. 設(shè)x，y，a是實(shí)數(shù)，并且|x|1-a，|y|(1-a)(a-1-a2)，試求|x|+y+a2+1的值等于_解：顯然|x|0，|y|0，由|x|0得1-a0，由|y|0得1-a0，1-a0，從而x0，y0，a1原式|0|+0+12+122. 如果根據(jù)已知或題目自身不能確定絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為“負(fù)”或“非負(fù)”，就應(yīng)分別對各種情況進(jìn)行討論。討論的方法有：(1)直接利用絕對值的性質(zhì)，去掉絕對值符號，把式子轉(zhuǎn)化為不含絕對值的式子進(jìn)行討論。例7. 已知|a|3，|b|2，求a+b的值。解：|a|3，|b|2， a3或-3，b2或-2因此a，b的取值應(yīng)分四種情況：a3，

7、b2或a3，b-2或a-3，b2或a-3，b-2，從而易求a+b的值分別為5，1，-1，-5解這類問題，要正確組合，全面思考，謹(jǐn)防漏解。 (2)采用零點(diǎn)分區(qū)間法，求出絕對值的零點(diǎn)，把數(shù)軸分成相應(yīng)的幾個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論(所謂絕對值的零點(diǎn)就是使絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式等于零的字母所取值在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn))。例8. 化簡：|1-3x|+|1+2x| 解：由和得兩個(gè)零點(diǎn)：和，這兩個(gè)點(diǎn)把數(shù)軸分成三部分： （1）當(dāng)時(shí)，原式（2）當(dāng)時(shí)， 原式；（3）當(dāng)時(shí)，原式-(1-3x)+(1+2x)5x3. 利用絕對值的幾何意義解含絕對值的方程，這樣既直觀，又簡便。因?yàn)閨x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離，因此|x-a

8、|的幾何意義是表示點(diǎn) x到點(diǎn) a的距離由此可知，方程 |x-a|k的解是xa+k或 xa-k(k0) 例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A1 B2 C3 D4解：設(shè)A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如圖所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在數(shù)軸上求一點(diǎn)P，使AP+BP+PC為最小，顯然，當(dāng)P與B重合，即x2時(shí)，其和有最小值2，故應(yīng)選(B)4. 利用“一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值是一個(gè)非負(fù)數(shù)”這一性質(zhì)解題，可使問題化難為易。在運(yùn)用這一性質(zhì)時(shí)，常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為零”聯(lián)用。例10. 若|m+1|+|2n+1|0，那么m

9、2003-n4_六. 絕對值化簡與求值的基本方法例11. 若a、b互為相反數(shù)，cd互為負(fù)倒數(shù)則|a+b+cd|_(96年泰州市初中數(shù)學(xué)競賽)解：由題設(shè)知a+b0，cd-1，則|a+b+cd|0-1|1 例12. 若|x-y+2|與|x+y-1|互為相反數(shù)，則xy的負(fù)倒數(shù)是_(95年希望杯邀請賽初一培訓(xùn)題)解：由題設(shè)知|x-y+2|0，|x+y-1|0，但二者互為相反數(shù)，故只能x-y+20，x+y-10解得， 其負(fù)倒數(shù)是例13. 已知a、b是互為相反數(shù)，c、d是互為負(fù)倒數(shù)，x的絕對值等于它的相反數(shù)的2倍，則x3+abcdx+a-bcd的值是_(94年希望杯邀請賽初一試題)解：由題設(shè)知a+b0，c

10、d-1又x的絕對值等于它的相反數(shù)的2倍，x0，原式03+0+a-b·(-1)a+b0例14. 化簡|x+1|+|x-2|令x +10，x-20，得x-1與x2，故可分段定正負(fù)再去符號(1)當(dāng)x-1時(shí)，原式-(x+1)-(x-2)-2x+1；(2)當(dāng)-1x2時(shí)，原式(x+1)-(x-2)3；(3)當(dāng)x2時(shí)，原式x+1+(x-2)2x-1說明：例14中沒有給定字母任何條件，這種問題應(yīng)先求零點(diǎn)，然后分區(qū)間定正負(fù)再去絕對值符號，這種方法可歸納為：“求零點(diǎn)，分區(qū)間，定性質(zhì)，去符號”。例15. 設(shè)x是實(shí)數(shù)，y|x-1|+|x+1|。下列四個(gè)結(jié)論：.y沒有最小值；.只有一個(gè)x使y取到最小值；.有有

11、限多個(gè)x(不只一個(gè))使y取到最小值；.有無窮多個(gè)x使y取到最小值。其中正確的是( )A B C D(1993年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)解：原問題可轉(zhuǎn)化為求x取哪些值時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和為最小。從數(shù)軸上可知，區(qū)間-1，1上的任一點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均為2；區(qū)間-1，1 之外的點(diǎn)x 到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均大于2，所以函數(shù)y|x-1|+|x+1|當(dāng)-1x1時(shí)，取得最小值2，故選(D) 七. 絕對值與非負(fù)數(shù)我們稱不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)為非負(fù)有理數(shù)，簡稱非負(fù)數(shù)。當(dāng)我們說x是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，用數(shù)學(xué)符號表示就是x0.值得注意的是，有的同學(xué)們往往用x0表示任意一個(gè)非負(fù)數(shù)，而忘掉等號！這是因

12、為他們錯(cuò)將非負(fù)數(shù)理解為負(fù)數(shù)的相反數(shù)了！盡管只是丟掉一個(gè)零，在數(shù)軸上只差一個(gè)點(diǎn)，但就全體有理數(shù)而言，卻是丟掉了三類有理數(shù)中的一類。也就是說，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。我們看到，任何有理數(shù)的絕對值都是一個(gè)非負(fù)數(shù)，而任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可表示為某數(shù)的絕對值。即對任意有理數(shù)x 有|x|0，這一點(diǎn)至關(guān)重要。只有牢牢掌握絕對值總是非負(fù)數(shù)并且清楚地認(rèn)識到什么是非負(fù)數(shù)，才會(huì)正確地處理各種問題。例16. 若a為任意實(shí)數(shù)，則下列式子中一定成立的是( )A|a|0 B|a|a C. D. 對這個(gè)問題的分析首先要注意到絕對值都是非負(fù)數(shù)，而非負(fù)數(shù)包括零。如此就很容易淘汰掉A、B，而C需從a的取值范圍來討論，如，則C不對，至于D有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“一個(gè)非負(fù)數(shù)加上一個(gè)正數(shù)，得正數(shù)”，即可知其正確。例17. 已知a0c，ab0，|b|c|a