隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)（課堂PPT）

1、.1隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) 確定信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)，我們已經(jīng)很熟悉。確定信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)，我們已經(jīng)很熟悉。例如：例如： 確知信號(hào)確知信號(hào)x(t), 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)h(t)：n時(shí)域：時(shí)域： 非因果系統(tǒng)：非因果系統(tǒng)： 因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)： dtxhty)()()( dtxhty 0)()()()(th)(tx)(ty.2 頻域：頻域： 若若 物理可實(shí)現(xiàn)，且物理可實(shí)現(xiàn)，且x(t)有界，則有：有界，則有： 。 所以對(duì)于確定信號(hào)，總可以用數(shù)學(xué)式或列表形式給定其所以對(duì)于確定信號(hào)，總可以用數(shù)學(xué)式或列表形式給定其時(shí)域的描述，或用變換的方式給出其時(shí)域的描述，或用變換的方

2、式給出其“頻域頻域”的表述，而且的表述，而且對(duì)于其通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的表述為：對(duì)于其通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的表述為：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)情況如何呢？其輸入、輸出以隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)情況如何呢？其輸入、輸出以及與系統(tǒng)函數(shù)間的關(guān)系如何？及與系統(tǒng)函數(shù)間的關(guān)系如何？ dtth)()()( Hth)()( Xtx)()()()()()( HXYthtxty )()()( XHY .3隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)函數(shù)值無法用數(shù)學(xué)式或列表形式確切的表述。函數(shù)值無法用數(shù)學(xué)式或列表形式確切的表述。其原因是：其原因是： 1.1.隨機(jī)性隨機(jī)性，即任何時(shí)刻點(diǎn)上的取值不能預(yù)先確定。因?yàn)椋慈魏螘r(shí)刻點(diǎn)上的取值不能預(yù)先確定。

3、因?yàn)殡S機(jī)過程（信號(hào)）是隨機(jī)過程（信號(hào)）是隨時(shí)間或依時(shí)序組成的隨時(shí)間或依時(shí)序組成的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量隨機(jī)變量的集合，所以隨機(jī)信號(hào)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合，所以隨機(jī)信號(hào)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是一個(gè)都是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量。即便通過一個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)所得到的確定。即便通過一個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)所得到的確定函數(shù)函數(shù)，也只能是該隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，也只能是該隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)函數(shù) ，它也，它也無無法表征整個(gè)隨機(jī)過程的行為法表征整個(gè)隨機(jī)過程的行為 。 2.2.波及性波及性，隨機(jī)過程可以認(rèn)為是某個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)中某一個(gè)，隨機(jī)過程可以認(rèn)為是某個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)中某一個(gè)端口的輸出，各時(shí)間點(diǎn)上隨機(jī)變量的取值

4、往往具有前后的波端口的輸出，各時(shí)間點(diǎn)上隨機(jī)變量的取值往往具有前后的波及影響，既不同時(shí)間點(diǎn)上隨機(jī)變量間的關(guān)聯(lián)性。這種波及或及影響，既不同時(shí)間點(diǎn)上隨機(jī)變量間的關(guān)聯(lián)性。這種波及或關(guān)聯(lián)性是由隨機(jī)系統(tǒng)的各種關(guān)聯(lián)性是由隨機(jī)系統(tǒng)的各種慣性慣性決定的。決定的。),(itx .4 針對(duì)隨機(jī)信號(hào)所具有的隨機(jī)性和波及性，可針對(duì)隨機(jī)信號(hào)所具有的隨機(jī)性和波及性，可用統(tǒng)計(jì)方法來描述其隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系：用統(tǒng)計(jì)方法來描述其隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系： 1. 對(duì)于每一時(shí)間點(diǎn)上的函數(shù)值是隨機(jī)變量的對(duì)于每一時(shí)間點(diǎn)上的函數(shù)值是隨機(jī)變量的特征，可用一維統(tǒng)計(jì)特性來描述：特征，可用一維統(tǒng)計(jì)特性來描述： 函數(shù)值的概率密度、均值、方差等；函數(shù)值

5、的概率密度、均值、方差等； 2. 對(duì)于各時(shí)間點(diǎn)隨機(jī)變量的波及性，用多維對(duì)于各時(shí)間點(diǎn)隨機(jī)變量的波及性，用多維統(tǒng)計(jì)特性來描述：統(tǒng)計(jì)特性來描述： 函數(shù)值的多維概率密度、相關(guān)函數(shù)等。函數(shù)值的多維概率密度、相關(guān)函數(shù)等。.5隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的表示隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的表示 隨機(jī)過程的一個(gè)樣本隨機(jī)過程的一個(gè)樣本 , 若若 是有界的，則對(duì)于是有界的，則對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) ：n 時(shí)域表示：時(shí)域表示： 非因果系統(tǒng)：非因果系統(tǒng)： 因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)：即，系統(tǒng)輸出即，系統(tǒng)輸出 也只能是隨機(jī)過程的一個(gè)樣本且有界。也只能是隨機(jī)過程的一個(gè)樣本且有界。其無法代表系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的全體。只有當(dāng)每個(gè)

6、輸入樣本其無法代表系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的全體。只有當(dāng)每個(gè)輸入樣本 都是有界的，才有都是有界的，才有 dtxhtyii),()(),( ),(itx dtxhtyii),()(),(0 ),(ity ),(itx )(th),( tx dtXhtY)()()( .6頻域表示：頻域表示： 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 是無限時(shí)寬，無限能量，非周期的是無限時(shí)寬，無限能量，非周期的, , 的付氏變換、的付氏變換、Z Z變換以及付氏級(jí)數(shù)都不存在，變換以及付氏級(jí)數(shù)都不存在，故不能用頻譜表述。故不能用頻譜表述。 但是，若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，則但是，若隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，則其頻域特性可用功率其頻域特性可用功率譜來描述。譜來描述。

7、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)：平穩(wěn)條件：平穩(wěn)條件： = 常數(shù)；常數(shù)；)(tXE )(2tXE)(tX 122121),()()(),(ttRtxtxEttRXX )(tX.7n 由此可知：由此可知：隨機(jī)過程只能用統(tǒng)計(jì)的方法來表征，不存隨機(jī)過程只能用統(tǒng)計(jì)的方法來表征，不存 在頻譜，但可用功率譜描述。在頻譜，但可用功率譜描述。 問題的提出：用統(tǒng)計(jì)的方法如何來具體地表征隨機(jī)過問題的提出：用統(tǒng)計(jì)的方法如何來具體地表征隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的行為，從中我們能獲得什么結(jié)程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的行為，從中我們能獲得什么結(jié)論？論？由于隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)絕對(duì)可積

8、，由于隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)絕對(duì)可積，故其存在故其存在Z變換，或付氏變換。變換，或付氏變換。物理解釋：物理解釋：能量無限的信號(hào)，一般功率有限。能量無限的信號(hào)，一般功率有限。.8一、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析一、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析n1系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t)的均值的均值: ，其中，其中 輸出過程的均值輸出過程的均值=輸入過程的均值輸入過程的均值H(0)常數(shù)。常數(shù)。n2. 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t) 的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù):輸出過程輸出過程 RY() 只與時(shí)間差只與時(shí)間差 有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn) t 無關(guān)。無關(guān)。)0()()(Hmdhm

9、tYEXX )0()(Hdh )()()()()()()()()()(),( YXYRddRhhddtXtXEhhtYtYEttR dtXhtY )()()(.9由由 EY(t) 常數(shù)和常數(shù)和 RY() 可知：可知： 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出過程也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出過程也是平穩(wěn)的。且有：且有：)0()(HmtYEX )()()()( hhRRXY)()()( )()()()()()()()()()( XXXXYRhhdRhhddRhhddRhhR .10n3. 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù): dhRdhtXtXEdtXht

10、XEtYtXEttRXXY)()()()()()()()()()(),(_ 同理可證，同理可證，)()()()()( hRhRRXXYX)()()()()()()()( hRhRhhRRYXXYXY )()()( hRRXXY .11當(dāng)當(dāng)X(t)為白噪聲，即為白噪聲，即 時(shí)，則時(shí)，則)() 2/()(0tNRX )() 2/()()() 2/()()()(00 hNhNhRRXXY 即有即有 )(2)(0 XYRNh 該式說明：該式說明：如果能用互相關(guān)函數(shù)測(cè)量設(shè)備測(cè)得如果能用互相關(guān)函數(shù)測(cè)量設(shè)備測(cè)得 ，則可用功率譜密度為則可用功率譜密度為 的白噪聲激勵(lì)線性系統(tǒng)來估計(jì)的白噪聲激勵(lì)線性系統(tǒng)來估計(jì)該線

11、性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。該線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。)( XYR2/0N)(th)(tX)(tY相相關(guān)關(guān)器器)( XYR)(2)(0 NRX .124物理可實(shí)現(xiàn)物理可實(shí)現(xiàn)(因果因果)系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)n 物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件： 因果性因果性 將該條件代入上述關(guān)系式，可得將該條件代入上述關(guān)系式，可得 注意：卷積關(guān)系不再成立。注意：卷積關(guān)系不再成立。0,0)( tth)0()()(0HmdhmtYEXX ddRhhRXY)()()()(00 dhRRXXY)()()(0 .13n平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析小結(jié)：平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析小結(jié)：X(t)：平穩(wěn)隨

12、機(jī)過程：平穩(wěn)隨機(jī)過程h(t)：線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)：線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng) )()()();()()()()()()()()()()()0()( hRRhRRhRhRhhRRHmtYEXYXXXYYXXYXYX 注意：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件。注意：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件。)(th)(tX)(tY.14二、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析二、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析1系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t)的功率譜密度的功率譜密度 deRhhdddeRGjXjYY 00)()()()()(令 ，則 ,dd ，令：令： ，則，則其中，其中，|H()|2稱為稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。系統(tǒng)的功

13、率傳輸函數(shù)。所以，所以， 系統(tǒng)的輸出功率系統(tǒng)的輸出功率=系統(tǒng)的輸入功率系統(tǒng)的輸入功率 |H()| 2 2。 )()()()()(*)()()()(200 XXjXjjYGHGHHdeRdehdehG .15系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率 deGHdeGRjXjYY)()(21)(21)(2 dGHRtYEXY)()(21)0()(22.162. 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度 )()()( hRRXXY )()()( hRRXYX 由付氏變換性質(zhì)可得由付氏變換性質(zhì)可得:)()()( HGGXXY

14、 )()()( HGGXYXv 當(dāng)當(dāng)X(t)為白噪聲，即為白噪聲，即GX()=N0/2時(shí)時(shí)，則，則)(2)(0 HNGXY ，或，或 )(2)(0 HNGYXn上式說明：上式說明：如果能設(shè)法獲得如果能設(shè)法獲得GXY() 或或GYX() ，則可估計(jì)，則可估計(jì) 線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù) H() 。.17n平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析小結(jié)：平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析小結(jié)：GX() ：輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程輸入平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度的功率譜密度;H() ： 線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù);|H()|2 ：線性時(shí)不變系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)：線性時(shí)不

15、變系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù);GY() ：輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程：輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程Y(t)的功率譜密度；的功率譜密度；)(tX)(tY)(H )(GX )(GY GXY() ：輸入：輸入X(t)與輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程與輸出平穩(wěn)隨機(jī)過程Y(t)的互譜密度。的互譜密度。.18 )()()()()()()()(21)0()()()(21)()()()(2222 HGGHGGdGHRtYEdeGHRGHGXYXXXYXYjXYXY.19三、多個(gè)隨機(jī)過程之和通過線性系統(tǒng)三、多個(gè)隨機(jī)過程之和通過線性系統(tǒng)設(shè)設(shè) X1(t) 和和 X2(t)單獨(dú)平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，單獨(dú)平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，則線性系統(tǒng)的輸則線性系統(tǒng)的輸出出Y(t)的特

16、性為：的特性為：1輸出輸出Y(t)的均值的均值21)(YYYmmtYEm )t (h)t (X)t (X)t (X21 )t (Y)t (Y)t (Y21 .202輸出輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 )()()()()()()()()()()(122121122121 hhRRRRRRRRRXXXXXXYYYYYYY 2)()()()()()(122121 HGGGGGXXXXXXY 推論：推論： 若若X1(t) 和和 X2(t)互不相關(guān)互不相關(guān)，則則 )()(2)()()(2121 hhmmRRRXXXXY 2)()(4)()()(2121 HmmGGGXXXX

17、Y .21 若若X1(t) 和和 X2(t)互不相關(guān)，且均值為零，則互不相關(guān)，且均值為零，則3輸入輸入X(t) 與輸出與輸出Y(t) 的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度 )()()()()()()(2121 YYXXYRRhhRRR )()()()()(22122111 YXYXYXYXXYRRRRR )()()()()()(21212 YYXXYGGHGGG )()()()()(22122111 YXYXYXYXXYGGGGG .22四、白噪聲通過線性系統(tǒng)四、白噪聲通過線性系統(tǒng) 設(shè)白噪聲的功率譜密度為設(shè)白噪聲的功率譜密度為 ， 線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為

18、，則系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)輸出 的的功率譜密度為功率譜密度為:),(,)(2)(20 HNGY)( H)(tY，。 雙邊功率譜密度雙邊功率譜密度， 。 單邊功率譜密度單邊功率譜密度 系統(tǒng)輸出功率譜密度不再是均勻的，其完全取決于系統(tǒng)輸出功率譜密度不再是均勻的，其完全取決于 系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性H()。系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)輸出Y(t)也不再是白噪聲。也不再是白噪聲。 ), 0(,)()(20 HNFY),(, 2/)(0 NGX.23 02020)(2)(221)0( dHNdHNRY GY()、 RY()的求解都需要知道的求解都需要知道|H()|，因此，因此 |H()|越復(fù)雜，越復(fù)雜， GY()和和

19、 RY()的計(jì)算就越困難。的計(jì)算就越困難。系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出Y(t) 的平均功率為的平均功率為:.241等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬n等效思想：等效思想：對(duì)于對(duì)于理想系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)輸入相同的理想系統(tǒng)和實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)輸入相同的白噪聲時(shí)，用輸出噪聲平均功率相等的方法，尋求一白噪聲時(shí)，用輸出噪聲平均功率相等的方法，尋求一個(gè)在頻帶中心的功率傳輸函數(shù)值與實(shí)際系統(tǒng)相等的，個(gè)在頻帶中心的功率傳輸函數(shù)值與實(shí)際系統(tǒng)相等的，且具有矩形傳輸函數(shù)特性的理想系統(tǒng)來代替實(shí)際系統(tǒng)。且具有矩形傳輸函數(shù)特性的理想系統(tǒng)來代替實(shí)際系統(tǒng)。以簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析中的運(yùn)算。以簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析中的運(yùn)算。 設(shè)理想低通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為設(shè)理想低通線性系

20、統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為 eeIHH ,0,)0()(22則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬 定義為定義為e 202)0()(HdHe 2)( H e 0e .25設(shè)理想帶通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為設(shè)理想帶通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為 2/,02/,)()(00202eeIHH 其中，其中， 為帶通線性系統(tǒng)的中心頻率，則實(shí)際系統(tǒng)的等效為帶通線性系統(tǒng)的中心頻率，則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為噪聲帶寬為e 2002)()( HdHe e 表示：表示：系統(tǒng)對(duì)噪聲功率譜的選擇性系統(tǒng)對(duì)噪聲功率譜的選擇性。0 2)( H e o 0o .26線性系統(tǒng)通頻帶的一般定義：線性系統(tǒng)通頻帶的一般定義：系統(tǒng)頻率特

21、性曲線半功系統(tǒng)頻率特性曲線半功率點(diǎn)的通頻帶寬率點(diǎn)的通頻帶寬 （也稱為三分貝帶寬）。其表示系（也稱為三分貝帶寬）。其表示系統(tǒng)對(duì)有用信號(hào)的選擇性。統(tǒng)對(duì)有用信號(hào)的選擇性。 因?yàn)橐驗(yàn)?， 都取決于系統(tǒng)的傳輸函數(shù)都取決于系統(tǒng)的傳輸函數(shù) ，所以一旦所以一旦 確定，則確定，則 和和 也就確定了，因而也就確定了，因而 和和 必然有確定的關(guān)系。不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)必然有確定的關(guān)系。不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng) 和和 的關(guān)系如下：的關(guān)系如下： e )( H)( H e e e 窄帶單調(diào)諧電路系統(tǒng)：窄帶單調(diào)諧電路系統(tǒng)： ；雙調(diào)諧電路系統(tǒng)：雙調(diào)諧電路系統(tǒng)： ；高斯頻率特性的電路系統(tǒng)：高斯頻率特性的電路系統(tǒng)： ；級(jí)聯(lián)調(diào)諧電路越多的電路系統(tǒng)

22、，級(jí)聯(lián)調(diào)諧電路越多的電路系統(tǒng)， 和和 兩者越接近。兩者越接近。 57.12e 22. 1e 05. 1e e 線性系統(tǒng)的通頻帶寬與等效噪聲帶寬線性系統(tǒng)的通頻帶寬與等效噪聲帶寬 的關(guān)系的關(guān)系e .272白噪聲通過理想線性系統(tǒng)白噪聲通過理想線性系統(tǒng) 有了等效噪聲帶寬的概念，就可以用帶寬為等效噪有了等效噪聲帶寬的概念，就可以用帶寬為等效噪聲帶寬的理想系統(tǒng)來等效或逼近實(shí)際系統(tǒng)。聲帶寬的理想系統(tǒng)來等效或逼近實(shí)際系統(tǒng)。v 白噪聲通過理想白噪聲通過理想低通低通線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 理想低通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：理想低通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 2/, 02/0,)(0 KH系統(tǒng)輸入白噪聲系統(tǒng)輸

23、入白噪聲單邊單邊功率譜密度為：功率譜密度為：,)(0XNF ), 0( .28系統(tǒng)輸出特性如下：系統(tǒng)輸出特性如下：1) 輸出單邊功率譜密度輸出單邊功率譜密度 2/, 02/0,)()(20020 KNHNFY2) 輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù) 22sin4cos)(21)(2000 KNdFRYY3) 輸出平均功率輸出平均功率 4)0(200 KNRY.294) 輸出輸出Y(t)的的自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù) 22sin)0()()0()()( YYYYYRRCC5) 輸出輸出Y(t)的的相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間 0002122sin)(fddY 輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間

24、與系統(tǒng)的帶寬成反比。 ，輸出過程隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。，輸出過程隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。 0 f.30v 白噪聲通過理想白噪聲通過理想帶通帶通線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)理想帶通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：理想帶通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 2/, 02/,)(000 KH若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：0)(NFY ， ), 0( 則系統(tǒng)輸出特性如下：則系統(tǒng)輸出特性如下：.31 輸出單邊功率譜密度輸出單邊功率譜密度 2/, 02/,)()(0020020 KNHNFY 若系統(tǒng)滿足條件若系統(tǒng)滿足條件 時(shí)，則該系統(tǒng)稱為時(shí)，則該系統(tǒng)稱為窄帶窄帶 系統(tǒng)系統(tǒng)

25、； 若隨機(jī)過程的功率譜密度滿足條件若隨機(jī)過程的功率譜密度滿足條件 時(shí)，時(shí)， 則該隨機(jī)過程稱為則該隨機(jī)過程稱為窄帶過程窄帶過程。0 0 .322) 輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù) 0200222000cos2sincos21cos)(21)(00 KNdKNdFRYY令令 )2(4222sin422sin)(200200200 SaKNKNKNa則則 。 0cos)()(aRY 由于由于)( a的變化只與的變化只與 有關(guān)，因此若滿足有關(guān)，因此若滿足02/ 條件，則條件，則)( a的變化將比的變化將比 0cos的變化慢得多。一般的變化慢得多。一般)( a為為 0cos的包絡(luò)。的包絡(luò)。 稱稱).2(4co

26、s)(21)(2000 SaKNdFRYY且且低通低通輸出相關(guān)函數(shù)為輸出相關(guān)函數(shù)為.33 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則 。其除了差一個(gè)系數(shù)。其除了差一個(gè)系數(shù)2外，外，與低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)完全一樣。與低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)完全一樣。這說明，這說明，一個(gè)窄帶系一個(gè)窄帶系統(tǒng)（滿足統(tǒng)（滿足 ）輸出平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)等于相應(yīng)的等）輸出平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)等于相應(yīng)的等效低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)效低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù) 與與 的乘積。的乘積。00 )()( aRY 3) 輸出平均功率輸出平均功率 2)0(200KNRY 4) 輸出輸出 的自相關(guān)系數(shù)的自相關(guān)系數(shù) 0cos)2()0()()0()()( SaRRCCYYYY

27、Y)(tY0 )( a 0cos自相關(guān)系數(shù)也可以分成快、慢變化兩部分。自相關(guān)系數(shù)也可以分成快、慢變化兩部分。窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù) cos0.345) 輸出輸出Y(t)的相關(guān)時(shí)間的相關(guān)時(shí)間 00021)2()(fdSadY 注意：注意：上式利用窄帶過程的條件，由上式利用窄帶過程的條件，由 的包絡(luò)定義的包絡(luò)定義相關(guān)時(shí)間。相關(guān)時(shí)間。因此因此 反映的是窄帶過程包絡(luò)的相關(guān)時(shí)間。反映的是窄帶過程包絡(luò)的相關(guān)時(shí)間。輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。則由此輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。則由此可知可知 ，輸出過程，輸出過程

28、包絡(luò)包絡(luò)隨時(shí)間變化越快；反之則隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。越慢。)( Y0 0 f.35白噪聲通過具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)白噪聲通過具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)高斯頻率特性線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：高斯頻率特性線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 0,00,)(2202)(0 eKH若系統(tǒng)輸入白噪聲若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊單邊功率譜密度為：功率譜密度為：0)(NFY ， ), 0( 則則系統(tǒng)輸出特性如下：系統(tǒng)輸出特性如下：1） 輸出單邊功率譜密度輸出單邊功率譜密度 0,00,)()(220)(20020 eKNHNFY.362) 輸出相關(guān)函數(shù)輸出相關(guān)函數(shù) 00200coscos)(212cos)

29、()( dHNaRLY 0420000200cos2coscos2122222 eKNdeKN2202202002)(0)( eKeKHL其中，其中， 為等效低通傳輸函數(shù)。為等效低通傳輸函數(shù)。窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2 cos0 等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù).374) 輸出輸出Y(t)的自相關(guān)系數(shù)的自相關(guān)系數(shù) 04cos)0()()0()()(22 eRRCCYYYYY5) 輸出輸出Y(t)的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 00)(2022/)()(220 dedHHe3) 輸出平均功率輸出平均功率 2)0(200KNRY .38五、線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的概率

30、分布五、線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的概率分布一般情況一般情況: 很難從理論上找到一般的求解輸出隨機(jī)過程很難從理論上找到一般的求解輸出隨機(jī)過程 的概率分布。多采用實(shí)驗(yàn)估計(jì)方法。的概率分布。多采用實(shí)驗(yàn)估計(jì)方法。特殊情況：特殊情況：1）輸入為高斯過程，輸出也是高斯過程；）輸入為高斯過程，輸出也是高斯過程； 2）輸入為非高斯過程，但輸入過程的帶寬）輸入為非高斯過程，但輸入過程的帶寬 遠(yuǎn)大于線性系統(tǒng)的帶寬。則線性系統(tǒng)輸遠(yuǎn)大于線性系統(tǒng)的帶寬。則線性系統(tǒng)輸 出隨機(jī)過程的概率分布都服從高斯過程。出隨機(jī)過程的概率分布都服從高斯過程。 1高斯過程通過線性系統(tǒng)的輸出過程高斯過程通過線性系統(tǒng)的輸出過程Y(t)的分布的分布若

31、若X(t)是一高斯過程，則是一高斯過程，則Y(t)也是一高斯過程。也是一高斯過程。 kkkkhtXdtXhtYk )()(lim)()()(000 .39由于由于X(t)是高斯過程，故是高斯過程，故 亦為高斯隨機(jī)變量。亦為高斯隨機(jī)變量。)(ktX 因?yàn)橐驗(yàn)?為一時(shí)刻點(diǎn)，而為一時(shí)刻點(diǎn)，而 為確知量，所以為確知量，所以 kt kkh )(kkkkhtXtYk )()(lim)(00 表示：表示：任一時(shí)刻任一時(shí)刻 t 的的Y(t)是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量 的和。而多維高斯隨機(jī)變量的線性組合仍的和。而多維高斯隨機(jī)變量的線性組合仍為多維高斯隨機(jī)變量，故高斯過程為多維高斯隨機(jī)變量，故高

32、斯過程X(t)通過線性系統(tǒng)的輸出通過線性系統(tǒng)的輸出Y(t)也是一高斯過程。也是一高斯過程。但是必須注意：但是必須注意：雖然輸出過程是高斯過程，但其數(shù)字特征已雖然輸出過程是高斯過程，但其數(shù)字特征已改變。改變。kkkhtX )()( .402寬帶非高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)輸出過程的分布寬帶非高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)輸出過程的分布 若輸入非高斯過程若輸入非高斯過程X(t)的功率譜帶寬的功率譜帶寬 與與線性系統(tǒng)帶寬線性系統(tǒng)帶寬 滿足：滿足： 則系統(tǒng)輸出則系統(tǒng)輸出Y(t) 的概率分布趨于高斯分布。的概率分布趨于高斯分布。kkkkthXtYk )()(lim)(00 由中心極限定理可知，大量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)

33、變量之和的由中心極限定理可知，大量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率分布趨于高斯分布。概率分布趨于高斯分布。Xf ffX f .41 的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性 Xf 10 ，當(dāng)當(dāng) 足夠大，以使足夠大，以使 ，則可認(rèn)為輸入過程各，則可認(rèn)為輸入過程各取樣值取樣值 相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。)(kX Xf k 0)(kX 構(gòu)成構(gòu)成y(t)的累加性的累加性 系統(tǒng)的對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)（建立）時(shí)間系統(tǒng)的對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)（建立）時(shí)間 ty與系統(tǒng)的與系統(tǒng)的 帶寬帶寬f 也也 成反比關(guān)系，即成反比關(guān)系，即 fty /1 當(dāng)當(dāng)f 足夠窄，以使響應(yīng)時(shí)間足夠窄，以使響應(yīng)時(shí)間 ，則可認(rèn)為輸出，則可認(rèn)為輸出 過程過程y(t)由

34、輸入過程各取樣值由輸入過程各取樣值 經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間累加經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間累加 構(gòu)成。構(gòu)成。)(kX kyt )(kX .42綜上所述，當(dāng)滿足綜上所述，當(dāng)滿足 條件時(shí)，條件時(shí)，Y(t)的概率分布的概率分布將趨于高斯分布。由將趨于高斯分布。由 可知，可知，Y(t)的概率分布趨于高的概率分布趨于高斯分布的條件為：斯分布的條件為： 。即，即，線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程X(t)的功率譜帶寬的功率譜帶寬fX 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬系統(tǒng)帶寬f 時(shí)，輸出隨機(jī)過程時(shí)，輸出隨機(jī)過程Y(t)的概率分布將趨于高的概率分布將趨于高斯分布，而與輸入隨機(jī)過程是否為高斯分布無關(guān)。斯分布，而與輸入隨機(jī)過程是否為高斯分布

35、無關(guān)。0 kyt0 ytffX .43六、隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)六、隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)*其中：其中：x(n)、y(n)分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，分別為系統(tǒng)的輸入與輸出， H(z)為系統(tǒng)傳輸函數(shù)。為系統(tǒng)傳輸函數(shù)。1離散線性系統(tǒng)的分類離散線性系統(tǒng)的分類)(zH)(nh)(nx)()()(nhnxny .44 qllpiilnxbknyany01)()()(1 z1 z1 z 0b1b2bqb)n(x)n( x1 )n(x2 )qn(x 1 z1 z1 zpa1a2a)pn(y )n(y1 )n( y2 )n( y.45由由Z Z變換可得其模型傳遞函數(shù)為：變換可得其模型傳遞函數(shù)為： )()(1

36、)()()(10zAzBzazbzXzYzHpiiiqlll 該模型稱為該模型稱為自回歸滑動(dòng)平均（自回歸滑動(dòng)平均（ARMAARMA：Autoregresive Autoregresive Moving AverageMoving Average）模型）模型。.46如果如果 ，則，則 qlllnxbny0)()()()()()(0zBzbzXzYzHqlll 該模型稱為該模型稱為滑動(dòng)平均（滑動(dòng)平均（MAMA：Moving AverageMoving Average）模型）模型.), 2, 1( , 0piai 1 z1 z1 z 0b1b2bqb)n( x)n( x1 )n( x2 )qn( x

37、 qll)ln( xb)n( y0.47如果如果 ，而，而 ，則，則10 b.), 2, 1(, 0qlbl (y1 0b)n(x1 z1 z1 z)pn(y )n)n(y2 )n(y1a2apa)()()(1nxinyanypii )(111)()()(1zAzazXzYzHpiii 該模型稱為該模型稱為自回歸（自回歸（ARAR：AutoregresiveAutoregresive）模型。）模型。.482隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)的時(shí)域分析隨機(jī)序列通過離散線性系統(tǒng)的時(shí)域分析 若離散線性系統(tǒng)的輸入是隨機(jī)序列若離散線性系統(tǒng)的輸入是隨機(jī)序列X(n)，則上述三，則上述三種系統(tǒng)種系統(tǒng)模型的輸出分別為：模

38、型的輸出分別為：ARMAARMA模型：模型： qllpiilnXbinYanY01)()()( ；)()(1)()()(10zAzBzazbzXzYzHpiiiqlll .49ARAR模型：模型： )()()(1nXinYanYpii ；)(111)()()(1zAzazXzYzHpiii MAMA模型：模型： qlllnXbnY0)()()()()()(0zBzbzXzYzHqlll .50 MAMA模型模型 qlllnXbnY0)()(的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) qwwqllYwknXblnXbEknYnYEkR00)()()()()( qlqwwlwknXlnXEbb00 )()( qlqwXwlwlkRbb00)( 若若X(n)為白序列，則為白序列，則)()(2kkRXX kqlk