一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系優(yōu)質(zhì)課件

1、 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)韋達(dá)平昌縣得勝中學(xué) 任 璟一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac0)方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3- 4- 4-1-221233134311若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的兩根為x1、x2, 則 21xx . 21xx . abac計(jì)算并填空aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb2

2、42=242)42(2)(aacbb=244aac=ac證明：證明：設(shè)ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1、x2,則一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = ab-ac注：能用公式的前提條件為=b2-4ac0在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 時(shí)，時(shí)， 注意注意“ ”不要漏寫。不要漏寫。ab如果方程x2+px+q=0的兩根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= .Pq 一元二次方程一元

3、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系是是法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家“韋達(dá)韋達(dá)”發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)的,所以我們又所以我們又稱之為稱之為韋達(dá)定理韋達(dá)定理.說出下列各方程的說出下列各方程的兩根之和兩根之和與與兩根之積兩根之積：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3x + =021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是的一個(gè)根是2 , 求它的另一個(gè)根及求它的另一個(gè)根及k的值的值.解法一解法一：設(shè)方程的另

4、一個(gè)根為設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得2 x2 = k+12 x2 = 3k解這方程組，得解這方程組，得x2 =3 k =2答：方程的另一個(gè)根是答：方程的另一個(gè)根是3 , k的值是的值是2.求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是的一個(gè)根是2 , 求它的另一個(gè)根及求它的另一個(gè)根及k的值。的值。解法二解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為設(shè)方程的另一個(gè)根為x2.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解這方程，得解這方程，得 k= - 2由根與系數(shù)的關(guān)系，得由根與系數(shù)的關(guān)系，得2 x23k即即

5、2 x26 x2 3答：方程的另一個(gè)根是答：方程的另一個(gè)根是3 , k的值是的值是2.求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式例例2、方程、方程2x2-3x+1=0的兩根記作的兩根記作x1,x2， 不解方程，求：不解方程，求： （1） ; （2) ; ; (4) .2221xx 2111xx) 1)(1(21xx21xx 另外幾種常見的求值另外幾種常見的求值:2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx1、已知方程、已知方程3x2

6、19x+m=0的一個(gè)根是的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及求它的另一個(gè)根及m的值。的值。2、設(shè)、設(shè)x1,x2是方程是方程2x24x3=0的兩個(gè)根，求的兩個(gè)根，求(x1+1)(x2+1)的值的值.解：設(shè)方程的另一個(gè)根為解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2,319則x2+1= , x2= ,316又x21= ,3m m= 3x2 = 16 解：解：由根與系數(shù)的關(guān)系由根與系數(shù)的關(guān)系,得得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2325求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式212 xx21xx411412，xx，xx的兩個(gè)根為方

7、程設(shè)014. 3221則：則：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx 求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式兩根之積的形式,再整體代入再整體代入. 4. 4.已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 是是且且 ， 求求k k的值的值. . 解：由根與系數(shù)的關(guān)系得解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 x x1 1+x+x2 2=-k=-k， x x1 1x x2 2=k+2=k+2 又又 x x1 12+ x x2 2 2 = 4 = 4 即即( (x x1 1+

8、x x2 2)2 -2-2x x1 1x x2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8當(dāng)當(dāng)k=4k=4時(shí)，時(shí)， =-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）當(dāng)當(dāng)k=-2k=-2時(shí)，時(shí)， =4=40 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221xx求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式6.已知關(guān)于已知關(guān)于x的方程的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩有兩個(gè)實(shí)數(shù)根個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2.（1）求實(shí)數(shù)）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；的取值范圍；（2）當(dāng)）當(dāng)x

9、12-x22=0時(shí)，求時(shí)，求m的值的值.求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式6.（2013荊州）已知：關(guān)于荊州）已知：關(guān)于x的方程的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求證：無論）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；為何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根）若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2, 且且x1x2=2,求求k的值的值.2、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；3、靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題、靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題.1.1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0則有的兩

10、根分別是如果小結(jié)：小結(jié)：下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？ .X.X2 23X+1=0 3X+1=0 .3X.3X2 22X=22X=2 .2X.2X2 2+3X=0 +3X=0 .3X.3X2 2=1=1 3).1 (21xx121xx32).2(21xx23).3(21xx0).4(21xx3221xx3121xx021xx基本知識(shí)基本知識(shí)在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 時(shí)，時(shí)， 注意注意“ ”不要漏寫不要漏寫.ab練習(xí)練習(xí)1已知關(guān)于已知

11、關(guān)于x的方程的方程012) 1(2mxmx當(dāng)當(dāng)m= 時(shí)時(shí),此方程的兩根互為相反數(shù)此方程的兩根互為相反數(shù).當(dāng)當(dāng)m= 時(shí)時(shí),此方程的兩根互為倒數(shù)此方程的兩根互為倒數(shù).11分析分析:1.0121mxx2.11221 mxx練習(xí)練習(xí)2 設(shè)設(shè) 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 為為 則則: 的值為的值為( )A. 1 B. 1 C. D.012xx21,xx2111xx555A練習(xí)三2,510,a baa 若是不相等的實(shí)數(shù)，且211510,33bbab 求的值。以以 為兩根的一元二次方程為兩根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為二次項(xiàng)系數(shù)為1)為為:0)(21212xxxxxx2,1xx二、已知兩根求作新的方程二、已知

12、兩根求作新的方程練習(xí)練習(xí):1.以以2和和 為根的一元二次方程為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為）為：（二次項(xiàng)系數(shù)為）為：062xx題題5 5 以方程以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的兩個(gè)根的相反數(shù)為根的的兩個(gè)根的相反數(shù)為根的方程是（方程是（ ）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、 y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0B分析分析:設(shè)原方程兩根為設(shè)原方程兩根為 則則:21,xx5, 32121xxxx新方程的兩根之和為新方程的兩根之和為3)()(21xx新方程的兩根之積為新方程的兩根之積為

13、5)()(21xx題6 已知兩個(gè)數(shù)的和是1，積是-2，則兩 個(gè)數(shù)是 。2和-1解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法(二):設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程的兩根則:022aa求得1, 221aa兩數(shù)為2,三已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù)三已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù)題題7 7 如果如果1 1是方程是方程 的一個(gè)根，則另一個(gè)根是的一個(gè)根，則另一個(gè)根是_=_=_。（還有其他解法嗎？)022mxx-3四求方程中的待定系數(shù)四求方程中的待定系數(shù)求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式小結(jié)：小結(jié)： 1、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系； 2、靈活運(yùn)用根與系

14、數(shù)關(guān)系解決問題；、靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解決問題； 3、探索解題思路，歸納解題思想方法。、探索解題思路，歸納解題思想方法。8、已知關(guān)于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0) (1)此方程有實(shí)數(shù)根嗎？ （2）如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=m，求m的值。求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式題題9 9 方程方程 有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求mm的取值范圍。的取值范圍。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式一正根，一負(fù)根一正根，一負(fù)根0X1X20兩個(gè)正根兩個(gè)正根0X1X20X1+X20兩個(gè)負(fù)根兩個(gè)負(fù)根0X1X20X1+X20求一元二次方程的待定系數(shù)要驗(yàn)證判別式請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程x 2x10，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設(shè)所求方程的根為y，則y2x，所