第4章 函數(shù)習題答案

1、習題 41判斷下列關系中哪個能構成函數(shù)： (1) (2) 設A1， 2， 3， 4， Bb1， b2， b3， R1A×B，R2A×B， 其中 R1(1， b1)， (2， b1)， (3， b1) R2(1， b1)， (2， b2)， (3， b3)， (2， b1) 解：(1) 因為有1R1， 1R(-1)， 所以R不滿足像的唯一性。同時定義域為全體非負整數(shù)，不滿足像的存在性。不構成函數(shù)。(2) R1不是函數(shù)， 因為4A無像；R2也不是函數(shù)， 因為2R2b2， 2R2b1， 像不唯一。 2.分析下列各個函數(shù)，指出其性質（單射、滿射或雙射）（1）f: ZZ, f(j)=

2、j mod 3（2）f: NN，（3）f: N0,1，（4）f: ZN，f(i)=|2i|+1（5）f: RR，f(r)=2r 15解：（1）、（2）、（4）既不是單射，也不是滿射。（3）是滿射。（5）是雙射。3. 假設f和g是函數(shù)，求證fg也是函數(shù)。證明：fg=<x,y>|xÎdom fxÎdom gy=f(x)y=g(x)=<x,y>|xÎdom fdom gy=f(x)=g(x)令h = fg，則dom h =x|xÎdom fdom gf(x) =g(x)若y1¹ y2，因為f是函數(shù)，故必有y1=f(x1)，y2

3、=f(x2)，且x1¹x2，所以h = fg是一個函數(shù)。因為dom h存在且y1¹ y2時x1¹x2，即h =<x,y>|xÎdom h，y=h(x) =f(x) =g(x)4. 設A=1，2，n，證明從A到A的任意單射函數(shù)必是滿射函數(shù)，其逆亦真。證明：設f是從A到A的單射函數(shù)，則|A|=| f(A)|，因為f是A到A的函數(shù)，所以f(A) Í A，又因為|A|=| f(A)|，且|A|是有限的，因此必有f(A) = A，即f是滿射函數(shù)。反之，若f是從A到A的滿射函數(shù)，根據(jù)滿射定義有，f(A) = A，于是|A|=| f(A)|，又由

4、|A|是有限的，故f是從A到A的單射函數(shù)。5. 證明從N×N到N的函數(shù)f(x，y)=x+y和g(x，y)=xy是滿射，但不是單射。證明：對任意zÎN，顯然存在0，1，zÎN，使得0+z=z，1z=z，因而f(x，y)=x+y和g(x，y)=xy是滿射。由于3+2=4+1=5，因而f(x，y)=x+y不是單射，由于32=61=6，因而g(x，y)=xy不是單射。6. 試給出滿足下列條件的函數(shù)例子。（1）是單射而不是滿射。（2）是滿射而不是單射。（3）不是單射也不是滿射。（4）既是單射又是滿射。解：（1）設A=a,b,c，B=1,2,3,4，f=<a,2>

5、,<b,3>,<c,4>。（2）設A=a,b,c，B=1,2，f=<a,2>,<b,1>,<c,1>。（3）設A=a,b,c，B=1,2,3,4，f=<a,2>,<b,1>,<c,1>。（4）設A=a,b,c，B=1,2,3，f=<a,2>,<b,3>,<c,1>。7. 有限集A和B，|A|=m，|B|=n，問：（1）A到B的不同的二元關系有多少？ （2）從A到B存在多少不同的函數(shù)？（3）從A到B存在單射的條件是什么？有多少不同的單射？ （4）從A到B存在滿射的條

6、件是什么？有多少不同的滿射？（5）從A到B存在雙射的條件是什么？有多少不同的雙射？解：（1）2 mn 。（2）n m。（3）mn，。 （4）nm，n!S(m，n)。（5）m=n，m！。8. 證明：（1）f(AB)= f(A)f(B)（2）f(AB)Í f(A)f(B)（3）f(A)-f(B) Í f(A-B)證明：（1）對任意的yÎf(AB)有，yÎf(AB) Û$xÎABf(x)= yÛ$xÎA$xÎBf(x)= y Û($xÎAf(x)= y)($xÎBf(x)= y)

7、Û yÎf(A)yÎf(B) Û yÎf(A)f(B)（2）對任意的yÎf(AB)有，yÎf(AB) Û$xÎABf(x)= yÛ$xÎA$xÎBf(x)= y Þ($x1ÎAf(x1)= y) ($x2ÎBf(x2)= y) Û yÎf(A)yÎf(B) Û yÎf(A)f(B)（3）對任意的yÎ f(A)-f(B)有，yÎf(A)yÏf(B)。即對某個x1

8、6;A，y=f(x1)，但對任意xÎB，yÏf(x)。故對某個x1ÎA-B，y=f(x1)，即yÎ f(A-B)于是f(A)-f(B) Í f(A-B)。9. 設f: AB是滿射函數(shù)，且函數(shù)g: BP(A)定義為:g(b)=x|xAf(x)=b證明：g是單射。其逆成立嗎？若成立給出證明，否則給出例子予以說明。證明：因為f是滿射函數(shù)，則對任意bB，至少存在一個xA，使得f(x)=b，故g的定義域為B。對任意的b1，b2ÎB，且b1¹b2，g(b1)=x|xAf(x)= b1g(b2)=y|yAf(y)= b2因為b1¹

9、;b2，f(x)¹f(y)，而f是函數(shù)，故x¹y，所以g(b1)¹g(b2)故g是單射。逆不成立。例如：A=a,b,c，B=x,y,z，則f: AB，f(a)=x，f(b)=x，f(c)=y。g: BP(A)，g(x)=a,b，g(y)=c，g(z)= Æ。g是單射，但f不是滿射。10. 證明：若f: AB，g: BA，且gf =IA，f g =IB，則g=f-1，且f=g-1。證明：因為gf =IA，所以gf (a1)= g(f (a1) =a1，gf (a2)= g(f (a2) =a2，若a1a2，g(f (a1)g(f (a2)，所以f (a1)

10、f (a2)，即f:是單射。又對任意的aÎA有gf (a)= g(f (a) =a，即存在f (a)=bÎB，使得g(b) =a，因此g是滿射。同理，若f g =IB，則g是單射且f是滿射，故可知f和g都是雙射函數(shù)。設<a,b>Îf，因為<a,a>ÎIA，而gf =IA，故必有某個cÎB，使得<a,c>Îf且<c,a>Îg，由<a,b>Îf<a,c>Îfb=c因此<b,a>Îg。反之，若<b,a>&#

11、206;g，由<b,b>ÎIB，故必有某個dÎA，有<b,d>Îg<d,b>Îf，由<b,a>Îg<b,d>Îga=d因此<a,b>Îf。上述證明得到<a,b>Îf當且僅當<b,a>Îg，所以g=f-1且f=g-1。11. 證明：若(gf)-1是一個函數(shù)，則f和g不一定是單射。證明：設A=a,b,c，B=1,2,3,4，C=x,y,z，f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，f=<a,2>,<b,3>,<c,4>，g=<1,x>,<2,x>,<3,y>,<4,z>,則gf=<a,x>,<b,y>,<c,z>，(gf)-1=<x,a >,<y,b >,<z,c>是雙射函數(shù)，但g不是單射。12設，且有求和解：，且 13設函數(shù)f： RR和g： RR分別為 f(x)2x1， g(x)x22。求gf， fg， f 2， （gf）f， gf 2， f -1解：14若，試寫出上的全部置換，并求，。解：， ，15證明所有整數(shù)形成的集合是