第六章平行四邊形（通用） (2)

1、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定虎威中學(xué) 李書(shū)杰習(xí)題課 項(xiàng)目項(xiàng)目四邊形四邊形對(duì)邊對(duì)邊角角對(duì)角線對(duì)角線對(duì)稱性對(duì)稱性平行四邊形平行四邊形矩形矩形菱形菱形正方形正方形平行且相等平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形幾種特殊四邊形的性質(zhì)：幾種特殊四邊形的性質(zhì)： 四邊形四邊形條件條件平行平行四邊形四邊形矩形矩形菱形菱形正方形正方形幾種特殊四邊形

2、的常用判定方法：幾種特殊四邊形的常用判定方法：1、定義：兩組對(duì)邊分別平行、定義：兩組對(duì)邊分別平行 2、兩組對(duì)邊分別相等、兩組對(duì)邊分別相等3、一組對(duì)邊平行且相等、一組對(duì)邊平行且相等 4、對(duì)角線互相平分、對(duì)角線互相平分1、定義：有一外角是直角的、定義：有一外角是直角的平行四邊形平行四邊形 2、三個(gè)角是直角的、三個(gè)角是直角的四邊形四邊形3、對(duì)角線相等的、對(duì)角線相等的平行四邊形平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等的、定義：一組鄰邊相等的平行四邊形平行四邊形 2、四條邊都相等的、四條邊都相等的四邊形四邊形3、對(duì)角線互相垂直的、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形平行四邊形1、定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的、定義

3、：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形平行四邊形2、有一組鄰邊相等的、有一組鄰邊相等的矩形矩形 3、有一個(gè)角是直角的、有一個(gè)角是直角的菱形菱形 典型題解 教材母題教材母題(教材教材P69第第14題題)如圖如圖，四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形，點(diǎn)點(diǎn)E是邊是邊BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)，AEF90，且且EF交正方形外角的平分線交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)于點(diǎn)F.求證：求證：AEEF.(提示：取提示：取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)G，連接連接EG) 證明：取證明：取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)G，連接，連接EG，四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形，ABBC， E，G分別是分別是AB，BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AGEC， BG

4、BE，BGE45， AGE135，CF平分平分DCH， FCH45，ECF135， ECFAGE，又，又AEF90，AEBFEC90， 又又GAEAEB90，GAEFEC， AGE ECF(ASA)，AEEF規(guī)律與方法：熟練掌握一般平行四邊形的性質(zhì)與判定，同時(shí)掌握特殊平規(guī)律與方法：熟練掌握一般平行四邊形的性質(zhì)與判定，同時(shí)掌握特殊平 行四邊形所具有的特殊性此題應(yīng)用正方形的有關(guān)性質(zhì)構(gòu)造三角形全等行四邊形所具有的特殊性此題應(yīng)用正方形的有關(guān)性質(zhì)構(gòu)造三角形全等是解決此題的關(guān)鍵是解決此題的關(guān)鍵 舉一反三 變式變式1： 如圖如圖，已知正方形已知正方形ABCD，把邊，把邊DC繞繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30

5、到到DC處，處，連接連接 AC，BC，CC.寫出圖中所有的等腰三角形寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過(guò)并寫出推理過(guò)程程變式變式2：)已知已知，如圖如圖，在在 ABCD中中，O為對(duì)角線為對(duì)角線BD的中點(diǎn)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O的直線的直線EF分別交分別交AD，BC于于E，F(xiàn)兩點(diǎn)兩點(diǎn)，連接連接BE，DF.(1)求證：求證：DOEBOF.(2)當(dāng)當(dāng)DOE等于多少度時(shí)等于多少度時(shí)，四邊形四邊形BFDE為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由 變式3：如圖，ABC與CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且EFAB.(1)求證：四邊形EFCD是菱形；(2)設(shè)CD4，求D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離 舉一反三解：

6、解：(1)在在 ABCD中，中，ADBC，ADBCBD，OBOD，DOEBOF，DOE BOF(2)當(dāng)當(dāng)DOE90時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形BFDE為菱形理由：由為菱形理由：由(1)知知DOE BOF，EDBF，又，又ADBC，四邊形四邊形BEDF為平行四邊形，又為平行四邊形，又DOE90，EFBD，四邊形四邊形BFDE為菱形為菱形解：(1)證明：如圖ABC與CDE都是等邊三角形，1A60，2360，DEDC，13，DECF.又EFAB，4A60，42，EFCD.四邊形EFCD是平行四邊形DEDC，四邊形EFCD是菱形變式4：如圖，ABC是等腰直角三角形，A90，點(diǎn)P，Q分別是AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且

7、滿足BPAQ，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：PDQ是等腰直角三角形；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)到什么位置時(shí)，四邊形APDQ是正方形，并說(shuō)明理由舉一反三解：(1)連接AD，易證：ADQ BDP，PDDQ，ADQBDP，易知ADBC， ADPPDB90，ADQPDA90，PDQ是等腰直角三角形舉一反三 變式變式5：如圖如圖，在在 ABCD中中，DAB60，AB2AD，點(diǎn)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是分別是AB，CD的中點(diǎn)的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作作AGBD交交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：四邊形求證：四邊形DEBF是菱形；是菱形；(2)請(qǐng)判斷四邊請(qǐng)判斷四邊形形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明是什么特殊四邊形？并加以證

8、明變式6：已知，如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD上，AEAF.(1)求證：BEDF；(2)連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OMOA，連接EM，F(xiàn)M.判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論 舉一反三解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABAD，BD90.AEAF，RtABE RtADF，BEDF(2)四邊形AEMF是菱形，證明如下：四邊形ABCD是正方形，BCADCA45，BCDC.BEDF，BCBEDCDF，即CECF，OEOF，OMOA，四邊形AEMF是平行四邊形AEAF，平行四邊形AEMF是菱形舉一反三變式變式7：如圖：如圖，以，以ABC的邊的邊A

9、B，AC為邊的等邊三角形為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形和等邊三角形ACE，四邊形，四邊形ADFE是平行四邊形是平行四邊形(1)當(dāng)當(dāng)BAC滿足什么條件時(shí)，四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是矩形；是矩形；(2)當(dāng)當(dāng)BAC滿足什么條件時(shí)，平行四邊形滿足什么條件時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；不存在；(3)當(dāng)當(dāng)ABC分別滿足什么條件時(shí)，平行四邊形分別滿足什么條件時(shí)，平行四邊形ADFE是菱形？正方形？是菱形？正方形？解：(1)當(dāng)BAC150時(shí)，四邊形ADFE是矩形，DAE36012015090，四邊形ADFE是平行四邊形，四邊形ADFE是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形)(2)當(dāng)BAC60時(shí)，平行四邊形ADFE不存在，