聲學中波動方程的建立

1、田佳星今天我介紹一下聲學中波動方程的建立。我們首先介紹一下聲學的基本概念。聲波是機械振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播。存在聲波的空間稱為聲場。理論上描述聲場需要引入一些物理量：聲壓、位移、振速、密度壓縮量和相位等。通常采用上述各物理量的時空分布函數(shù)描述聲場。下面對這些物理量作簡要介紹。1. 基本概念1) 聲壓（標量）聲波為壓縮波。描述“壓縮”過程的一個物理量是壓強。然而，聲波是聲擾動（如振動源）引起介質(zhì)中的壓強發(fā)生變化的部分。因此，我們引入聲壓的概念： 聲壓為介質(zhì)壓強的變化量： (2-1)其中，是壓強，是介質(zhì)中的靜態(tài)壓強。聲壓是描述波動的物理量。為使用方便，還由聲壓引入了瞬時聲壓、峰值聲壓和有效聲壓。聲

2、場中某瞬時的聲壓稱為瞬時聲壓。一定時間間隔內(nèi)的最大瞬時聲壓稱為峰值聲壓。瞬時聲壓在一定時間間隔內(nèi)的均方根值稱為有效聲壓，即 (2-2)對簡諧聲波，、和相互之間的關(guān)系和電壓可作相同類比，即 。一般儀器儀表測得是有效聲壓。2) 位移和振速（矢量）質(zhì)點位移是指介質(zhì)質(zhì)點離開其平衡位置的距離。質(zhì)點振速是介質(zhì)質(zhì)點瞬時振動的速度。兩者均是有大小和方向的量，即矢量，相互關(guān)系為 (2-3)對簡諧振動，位移和振速都滿足如下關(guān)系： ， (2-4a)， (2-4b)其中，和分別為位移幅值和振速幅值。 需要注意的是區(qū)分質(zhì)點振速和聲傳播速度。聲傳播速度是指振動狀態(tài)在介質(zhì)中傳播的速度，而質(zhì)點振速是指在給定時間和給定空間位置

3、的某一質(zhì)點的振動速度。3) 密度和壓縮量密度的變化也是描述聲波的一個物理量。這里引入壓縮量的概念： (2-5)其中，密度，為靜態(tài)密度，為密度改變量。壓縮量s的含義為介質(zhì)密度的相對變化量。4) 相位 為描寫簡諧振動而引入的物理量。它描述質(zhì)點簡諧振動的狀態(tài)。質(zhì)點振動的一個周期對應著相位0-2。相位和質(zhì)點振動狀態(tài)有一一對應的關(guān)系。 聲波是振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播，而相位描述的是質(zhì)點簡諧振動的狀態(tài)。由此可見相位在聲場描述中的重要性。 以上物理量并不是獨立的，如根據(jù)位移由(2-3)式可以求出振速。實際應用時可根據(jù)需要選擇使用哪些物理量來描述，如對簡諧聲波，只需要位移幅值和相位就可導出振速、加速度等基本物理

4、量；更進一步，如果已知介質(zhì)條件，只要知道位移幅值和相位的初值，就可計算聲場的時空分布函數(shù)了。2. 理想流體介質(zhì)中的小振幅波本節(jié)先建立描述聲波的基本方程-波動方程，并討論波動方程的線性特性；然后分別介紹波動方程在幾種簡單介質(zhì)條件下的解-行波解、平面波解、球面波解和柱面波解，并對各種解中相關(guān)的物理量，如聲場中的能量、介質(zhì)特性阻抗和聲阻抗率、相速度和群速度等概念，進行討論，并重點分析在水聲物理中應用較多的平面波在兩種不同均勻介質(zhì)界面上的反射和折射現(xiàn)象。一、波動方程2.1建立波動方程 為更清楚地了解聲波的物理本質(zhì)，我們先對介質(zhì)條件和聲波做出一定的限制，而得到形式簡潔的波動方程，并通過它認識聲波的物理本

5、質(zhì)。在后續(xù)的學習和研究過程中，將不斷引入更為復雜的介質(zhì)條件和放寬對聲波的限制，再進行研究。這也是物理中研究常用的方法之一。假設(shè)條件：² 介質(zhì)靜止、均勻、連續(xù)的；² 介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，即忽略粘滯性和熱傳導；² 聲波是小振幅波。（1） 連續(xù)性方程理論推導見教材。連續(xù)性方程即質(zhì)量守恒定律：介質(zhì)流入體元的凈質(zhì)量等于密度變化引起的體元內(nèi)質(zhì)量的增加。 (2-6)根據(jù)假設(shè)條件有： (2-7) 事實上，當介質(zhì)本身有流動時，中含有介質(zhì)流動速度的影響，相關(guān)理論可參閱朗道著連續(xù)介質(zhì)力學。考慮到假設(shè)介質(zhì)是靜止的，(2-6)式和(2-7)式中沒有考慮介質(zhì)流動速度的影響。（2） 狀態(tài)方程在

6、理想流體介質(zhì)聲傳播過程中，還沒有來得及進行熱交換，聲波傳播（介質(zhì)的壓縮和膨脹）的力學過程已經(jīng)完成，這一過程近似為絕熱過程，即無熱傳導。絕熱過程中， (2-8)其中，定義， (2-9)為壓強，為密度，下標表示絕熱過程。本節(jié)后面討論波動方程的解時，可知為聲波在介質(zhì)中的傳播速度。聲速是介質(zhì)固有的特性，是由介質(zhì)的物理參數(shù)所確定的。下面由理想流體介質(zhì)的絕熱狀態(tài)方程導出聲速和介質(zhì)參數(shù)的關(guān)系。一定質(zhì)量理想流體的絕熱狀態(tài)方程為 (2-10)其中，和分別為平衡態(tài)下流體的壓強和密度，為流體定壓比熱和定容比熱之比。(2-10)式表明，在絕熱狀態(tài)下，流體壓強只是密度的函數(shù)。對(2-10)式微分得 (2-11)由(2-

7、8)、(2-10)和 (2-11)式可推得 (2-12a)更進一步，利用小振幅近似可以給出聲速的近似表式。由(2-12a)式可知，只是密度的函數(shù)。將在附近展開得，忽略小量（）之后的項近似得式中是在平衡態(tài)時的聲速。因此， (2-12b)引入平衡態(tài)下的絕熱壓縮系數(shù)（單位壓強變化引起的體積相對變化），利用質(zhì)量不變表式和小振幅近似， (2-12c) 以上幾種聲速表式，可根據(jù)使用方便選用。另外，以后除特殊說明，以后只用表示聲速，而不用（3） 運動方程運動方程實質(zhì)上連續(xù)流體介質(zhì)中的牛頓第二定律。理論推導見教材。 (2-13)式中，本地加速度、遷移加速度。對于小振幅波，遷移加速度項為二階小量，略去后再根據(jù)假

8、設(shè)條件有： (2-14)（4） 波動方程 對(2-14)求散度（兩端同時左乘），將(2-7)式兩端對時間求偏導數(shù)，注意到時、空導數(shù)次序?qū)φ{(diào)不變，消去振速項，再利用(2-8)式可得波動方程 (2-15)其中，在直角坐標系中：在球坐標系中：在柱坐標系中：。引入速度勢物理量。 (2-16)它表示單位介質(zhì)質(zhì)量具有的聲擾動沖量。由(2-16)式可知，聲壓、質(zhì)點振速與速度勢的關(guān)系是： (2-17) 。 (2-18) 將(2-17) 和(2-18)式分別代入連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運動方程，作和(2-15)式類似的推導，可得關(guān)于速度勢的波動方程： 。 (2-19)(2-15) 和(2-19)兩式具有相同的形式，但卻是不同物理量滿足的聲納方程。實際使用時，兩者邊界條件和初始條件的表述不同，可根據(jù)解算的方便選擇不同的物理量來描述聲場，當然也就需要選擇相應的波動方程了。速度式和聲壓、振速等物理量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系由(2-16)、(2-17)和(2-18)三式給出。3. 物理法則（1） 聲壓隨