聲學(xué)中波動(dòng)方程的建立

1、田佳星今天我介紹一下聲學(xué)中波動(dòng)方程的建立。我們首先介紹一下聲學(xué)的基本概念。聲波是機(jī)械振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播。存在聲波的空間稱為聲場(chǎng)。理論上描述聲場(chǎng)需要引入一些物理量：聲壓、位移、振速、密度壓縮量和相位等。通常采用上述各物理量的時(shí)空分布函數(shù)描述聲場(chǎng)。下面對(duì)這些物理量作簡(jiǎn)要介紹。1. 基本概念1) 聲壓（標(biāo)量）聲波為壓縮波。描述“壓縮”過(guò)程的一個(gè)物理量是壓強(qiáng)。然而，聲波是聲擾動(dòng)（如振動(dòng)源）引起介質(zhì)中的壓強(qiáng)發(fā)生變化的部分。因此，我們引入聲壓的概念： 聲壓為介質(zhì)壓強(qiáng)的變化量： (2-1)其中，是壓強(qiáng)，是介質(zhì)中的靜態(tài)壓強(qiáng)。聲壓是描述波動(dòng)的物理量。為使用方便，還由聲壓引入了瞬時(shí)聲壓、峰值聲壓和有效聲壓。聲

2、場(chǎng)中某瞬時(shí)的聲壓稱為瞬時(shí)聲壓。一定時(shí)間間隔內(nèi)的最大瞬時(shí)聲壓稱為峰值聲壓。瞬時(shí)聲壓在一定時(shí)間間隔內(nèi)的均方根值稱為有效聲壓，即 (2-2)對(duì)簡(jiǎn)諧聲波，、和相互之間的關(guān)系和電壓可作相同類比，即 。一般儀器儀表測(cè)得是有效聲壓。2) 位移和振速（矢量）質(zhì)點(diǎn)位移是指介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)其平衡位置的距離。質(zhì)點(diǎn)振速是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)振動(dòng)的速度。兩者均是有大小和方向的量，即矢量，相互關(guān)系為 (2-3)對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，位移和振速都滿足如下關(guān)系： ， (2-4a)， (2-4b)其中，和分別為位移幅值和振速幅值。 需要注意的是區(qū)分質(zhì)點(diǎn)振速和聲傳播速度。聲傳播速度是指振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中傳播的速度，而質(zhì)點(diǎn)振速是指在給定時(shí)間和給定空間位置

3、的某一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。3) 密度和壓縮量密度的變化也是描述聲波的一個(gè)物理量。這里引入壓縮量的概念： (2-5)其中，密度，為靜態(tài)密度，為密度改變量。壓縮量s的含義為介質(zhì)密度的相對(duì)變化量。4) 相位 為描寫(xiě)簡(jiǎn)諧振動(dòng)而引入的物理量。它描述質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的一個(gè)周期對(duì)應(yīng)著相位0-2。相位和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 聲波是振動(dòng)狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播，而相位描述的是質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的狀態(tài)。由此可見(jiàn)相位在聲場(chǎng)描述中的重要性。 以上物理量并不是獨(dú)立的，如根據(jù)位移由(2-3)式可以求出振速。實(shí)際應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要選擇使用哪些物理量來(lái)描述，如對(duì)簡(jiǎn)諧聲波，只需要位移幅值和相位就可導(dǎo)出振速、加速度等基本物理

4、量；更進(jìn)一步，如果已知介質(zhì)條件，只要知道位移幅值和相位的初值，就可計(jì)算聲場(chǎng)的時(shí)空分布函數(shù)了。2. 理想流體介質(zhì)中的小振幅波本節(jié)先建立描述聲波的基本方程-波動(dòng)方程，并討論波動(dòng)方程的線性特性；然后分別介紹波動(dòng)方程在幾種簡(jiǎn)單介質(zhì)條件下的解-行波解、平面波解、球面波解和柱面波解，并對(duì)各種解中相關(guān)的物理量，如聲場(chǎng)中的能量、介質(zhì)特性阻抗和聲阻抗率、相速度和群速度等概念，進(jìn)行討論，并重點(diǎn)分析在水聲物理中應(yīng)用較多的平面波在兩種不同均勻介質(zhì)界面上的反射和折射現(xiàn)象。一、波動(dòng)方程2.1建立波動(dòng)方程 為更清楚地了解聲波的物理本質(zhì)，我們先對(duì)介質(zhì)條件和聲波做出一定的限制，而得到形式簡(jiǎn)潔的波動(dòng)方程，并通過(guò)它認(rèn)識(shí)聲波的物理本

5、質(zhì)。在后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，將不斷引入更為復(fù)雜的介質(zhì)條件和放寬對(duì)聲波的限制，再進(jìn)行研究。這也是物理中研究常用的方法之一。假設(shè)條件：² 介質(zhì)靜止、均勻、連續(xù)的；² 介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，即忽略粘滯性和熱傳導(dǎo)；² 聲波是小振幅波。（1） 連續(xù)性方程理論推導(dǎo)見(jiàn)教材。連續(xù)性方程即質(zhì)量守恒定律：介質(zhì)流入體元的凈質(zhì)量等于密度變化引起的體元內(nèi)質(zhì)量的增加。 (2-6)根據(jù)假設(shè)條件有： (2-7) 事實(shí)上，當(dāng)介質(zhì)本身有流動(dòng)時(shí)，中含有介質(zhì)流動(dòng)速度的影響，相關(guān)理論可參閱朗道著連續(xù)介質(zhì)力學(xué)?？紤]到假設(shè)介質(zhì)是靜止的，(2-6)式和(2-7)式中沒(méi)有考慮介質(zhì)流動(dòng)速度的影響。（2） 狀態(tài)方程在

6、理想流體介質(zhì)聲傳播過(guò)程中，還沒(méi)有來(lái)得及進(jìn)行熱交換，聲波傳播（介質(zhì)的壓縮和膨脹）的力學(xué)過(guò)程已經(jīng)完成，這一過(guò)程近似為絕熱過(guò)程，即無(wú)熱傳導(dǎo)。絕熱過(guò)程中， (2-8)其中，定義， (2-9)為壓強(qiáng)，為密度，下標(biāo)表示絕熱過(guò)程。本節(jié)后面討論波動(dòng)方程的解時(shí)，可知為聲波在介質(zhì)中的傳播速度。聲速是介質(zhì)固有的特性，是由介質(zhì)的物理參數(shù)所確定的。下面由理想流體介質(zhì)的絕熱狀態(tài)方程導(dǎo)出聲速和介質(zhì)參數(shù)的關(guān)系。一定質(zhì)量理想流體的絕熱狀態(tài)方程為 (2-10)其中，和分別為平衡態(tài)下流體的壓強(qiáng)和密度，為流體定壓比熱和定容比熱之比。(2-10)式表明，在絕熱狀態(tài)下，流體壓強(qiáng)只是密度的函數(shù)。對(duì)(2-10)式微分得 (2-11)由(2-

7、8)、(2-10)和 (2-11)式可推得 (2-12a)更進(jìn)一步，利用小振幅近似可以給出聲速的近似表式。由(2-12a)式可知，只是密度的函數(shù)。將在附近展開(kāi)得，忽略小量（）之后的項(xiàng)近似得式中是在平衡態(tài)時(shí)的聲速。因此， (2-12b)引入平衡態(tài)下的絕熱壓縮系數(shù)（單位壓強(qiáng)變化引起的體積相對(duì)變化），利用質(zhì)量不變表式和小振幅近似， (2-12c) 以上幾種聲速表式，可根據(jù)使用方便選用。另外，以后除特殊說(shuō)明，以后只用表示聲速，而不用（3） 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程實(shí)質(zhì)上連續(xù)流體介質(zhì)中的牛頓第二定律。理論推導(dǎo)見(jiàn)教材。 (2-13)式中，本地加速度、遷移加速度。對(duì)于小振幅波，遷移加速度項(xiàng)為二階小量，略去后再根據(jù)假

8、設(shè)條件有： (2-14)（4） 波動(dòng)方程 對(duì)(2-14)求散度（兩端同時(shí)左乘），將(2-7)式兩端對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)，注意到時(shí)、空導(dǎo)數(shù)次序?qū)φ{(diào)不變，消去振速項(xiàng)，再利用(2-8)式可得波動(dòng)方程 (2-15)其中，在直角坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在柱坐標(biāo)系中：。引入速度勢(shì)物理量。 (2-16)它表示單位介質(zhì)質(zhì)量具有的聲擾動(dòng)沖量。由(2-16)式可知，聲壓、質(zhì)點(diǎn)振速與速度勢(shì)的關(guān)系是： (2-17) 。 (2-18) 將(2-17) 和(2-18)式分別代入連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運(yùn)動(dòng)方程，作和(2-15)式類似的推導(dǎo)，可得關(guān)于速度勢(shì)的波動(dòng)方程： 。 (2-19)(2-15) 和(2-19)兩式具有相同的形式，但卻是不同物理量滿足的聲納方程。實(shí)際使用時(shí)，兩者邊界條件和初始條件的表述不同，可根據(jù)解算的方便選擇不同的物理量來(lái)描述聲場(chǎng)，當(dāng)然也就需要選擇相應(yīng)的波動(dòng)方程了。速度式和聲壓、振速等物理量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系由(2-16)、(2-17)和(2-18)三式給出。3. 物理法則（1） 聲壓隨