圓的極坐標(biāo)方程25249

1、在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點OO，叫，叫極點極點。從極點從極點O引一條射線引一條射線Ox，叫做，叫做極軸極軸。 再選定一個再選定一個長度單位長度單位、一個一個角度單位角度單位（通常取弧度）及它的（通常取弧度）及它的正方向正方向（通常取逆（通常取逆 時針方向），這樣就建立了一個時針方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系。1.1.極坐標(biāo)系的建立極坐標(biāo)系的建立x一般地，不作特殊說明時，0， 可取任意實數(shù)。2 2極坐標(biāo)系內(nèi)點的極坐標(biāo)的規(guī)定極坐標(biāo)系內(nèi)點的極坐標(biāo)的規(guī)定設(shè)設(shè)M是平面上的任一點，是平面上的任一點，極點極點O與點與點M的距離的距離|OM|叫做點叫做點M的的極徑極徑，記為，記為；以極軸以

2、極軸Ox為始邊為始邊，射線，射線OM為終邊為終邊的的xOM叫做叫做點點M的的極角，記為極角，記為.有序數(shù)對有序數(shù)對(，)稱為點稱為點M的極坐標(biāo)的極坐標(biāo)，記作記作M(，)極坐標(biāo)系下的點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況極坐標(biāo)系下的點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況(1)(1)給定給定（ , , ）, ,在在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平面內(nèi)平面內(nèi) 確定一點確定一點M M。一般地一般地, ,若若(,)(,)是一點的極坐標(biāo)是一點的極坐標(biāo), ,則則(,+2(,+2k k)都可以作為它的極坐標(biāo)都可以作為它的極坐標(biāo). .kZ極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點與極坐標(biāo)極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點與極坐標(biāo) 就與極坐標(biāo)就與極坐標(biāo)(, )(, )建立了一一對應(yīng)的關(guān)系建

3、立了一一對應(yīng)的關(guān)系. .0.0,2當(dāng)時,平面上的點除極點外除極點外唯一唯一不能建立一一對應(yīng)關(guān)系不能建立一一對應(yīng)關(guān)系.互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：1. 極點與直角坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合原點重合;2. 極軸與直角坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸的正半 軸重合軸重合;3. 兩種坐標(biāo)系的兩種坐標(biāo)系的單位長度相同單位長度相同.三、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化三、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化三、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化三、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 公式公式)0(tan,222 xxyyx 直直化化極極： sin,cos yx極化直：極化直：xxNMy0y(x，y)）化成極坐標(biāo)。，的直

4、角坐標(biāo)（：將點例132M，）（）（解：2131322。333131tan。在第三象限，所以因為點67M）。，的極坐標(biāo)為（因此，點672M簡單曲線的極坐標(biāo)方程簡單曲線的極坐標(biāo)方程(1)曲線曲線C上上點的坐標(biāo)都是這個方程點的坐標(biāo)都是這個方程f(x,y)=0的的解解;(2)以這個方程以這個方程f(x,y)=0的的解為坐標(biāo)的點都是曲解為坐標(biāo)的點都是曲線線C上上. 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線如果某曲線C可以用方可以用方程程f(x,y)=0表示，曲線與方程滿足如表示，曲線與方程滿足如下的關(guān)系下的關(guān)系:在極坐標(biāo)中在極坐標(biāo)中,曲線上任一點的坐標(biāo)是否符合曲線上任一點的坐標(biāo)是否符合方程方程f( ,

5、)=0 ；探 究如圖，在極坐標(biāo)系下半徑為如圖，在極坐標(biāo)系下半徑為a的圓的圓的圓心坐標(biāo)為的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用，你能用一個等式表示圓上任意一點的極一個等式表示圓上任意一點的極坐標(biāo)坐標(biāo)( , )滿足的條件？滿足的條件？OxC(a,0)MC(a,0)OxM( , ) ) 1 ()0 ,2(),2, 0() 1.(.cos2cos),(,2的坐標(biāo)滿足等式可以驗證，點即中。在以外的任意一點，那么，為圓上除點設(shè)，那么是交點。設(shè)圓與極軸的另一個解：圓經(jīng)過極點aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的點都在這個圓上。等式，可以驗證，坐標(biāo)適合滿足的條件，另一方面坐標(biāo)就是圓上任意一

6、點的極所以，等式) 1 (),() 1 (曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程一、定義：一、定義：如果曲線上的點與方程如果曲線上的點與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系()曲線上任一點的坐標(biāo)曲線上任一點的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中所有坐標(biāo)中至少有一個至少有一個)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解為坐標(biāo)的點的所有解為坐標(biāo)的點都在曲線上。都在曲線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f( , )=0 。C(a,0)Ox圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程：M( , ) cos2a思路分析：（1）任取一點，標(biāo)出與（2）找出邊角共存的三角形（3）列出三角形的邊角關(guān)系式（4）對特殊點作

7、檢驗例例1、已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？方程更簡單？.O簡單。上比式合時的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點與圓心重即為圓上任意一點，則設(shè)都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標(biāo)系（如出發(fā)的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO求下列圓的極坐標(biāo)方程求下列圓的極坐標(biāo)方程()中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為r；()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在(a, )，半徑為，半徑為a r 2ac

8、os 2asin 圓心的極徑與圓的半徑相等0cos()a5 3cos5sin已知一個圓的方程是 求圓心坐思考：標(biāo)和半徑。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標(biāo)為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過極點圓的極坐標(biāo)方程為半徑為圓心為)cos(2)0)(,(練習(xí)以極坐標(biāo)系中的點以極坐標(biāo)系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半

9、徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC練習(xí)以極坐標(biāo)系中的點以極坐標(biāo)系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC5),25,235(25)25()235(535sin5cos35sin5cos3522222半徑是所以圓心為化為標(biāo)準(zhǔn)方程是即化為直角坐標(biāo)為得兩邊同乘以解：yxyxyx5 3 co3s5sin已知一個圓的方程是 求圓心坐標(biāo)例 ：和半徑。14sin練習(xí)：、曲線的極坐標(biāo)方程 化為直角坐標(biāo)方程2.曲線極坐標(biāo)方程 cos( -)=1化為直角坐6標(biāo)方程4)2(22 yx20 xy222223020 xyxyxyxyx（）直角坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程為（）直角坐標(biāo)方程 的極坐標(biāo)方程為（）直角坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程為（）直角坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程為例：cos3 sin0cossin10 3cos3sin(4)練習(xí)：說明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線（） cos( -)4(2)