2013年江蘇卷數(shù)學試題及答案

1、2013江蘇卷（數(shù)學）兀，一 I 一一 一I、，1. , 函數(shù)y=3sin 2x+4的取小正周期為 .2. .兀解析周期為T=2f=兀.3. 設z=（2i）2（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的模為.4. 5 解析因為z=（2 i）2=4 4i+i2=34i,所以復數(shù)z的模為5.3,雙曲線 a一y = 1的兩條漸近線的方程為 . 1695. y=$解析令1x61=0，得漸近線方程為y= x.6. 集合1, 0, 1共有 個子集.7. 8 解析集合1, 0, 1共有3個元素，故子集的個數(shù)為8.5.如圖1 1是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是.圖1 18. 3 解析逐一代入可得n123a2826a<

2、;20YYN當a = 26>20時，n=3,故最后輸出3.9. 抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)），結果如下:運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為 6. 2 解析由題知 x 甲= 1(87+91 +90+89+93) = 90, s2 = "1(9+1 + 0+1 + 9) = 4; x 551c 1乙= 5(89+90+ 91+88+92) = 90, s2= 5(1 + 0+1+ 4+4)= 2,所以 s2>s"故答案為 2.7 .現(xiàn)有某類病毒記

3、作 XmYn,其中正整數(shù) m, n(m< 7, nW 9)可以任意選取，則 m, n 都取到奇數(shù)的概率為 .8 .20 解析基本事件共有7X9= 63種，m可以取1, 3, 5, 7, n可以取1, 3, 5, 7,639.所以m, n都取到奇數(shù)共有20種，故所求概率為13.8. 如圖1 1,在三棱柱 A1B1C1 ABC中，D, E, F分別是 AB, AC, AA1的中點, 設三棱錐F-ADE的體積為Vi,三棱柱A1B1C1 ABC的體積為V2,則Vi : V2=圖1 19. 1 ： 24解析設三棱柱的底面積為S,高為h,則V2=Sh,又D,E,F分別為AB,AC, AAi 的中點，

4、所以 SaAED = 1S,且三棱錐 FADE 的高為 1h,故 V1=1S4aed 1h = '1S ,h=24Sh,所以 V1 ： V2= 1 ： 24.9.拋物線y=x2在x= 1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界).若點P(x, y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則 x+ 2y的取值范圍是 .42323 4 2110. 2, 2 解析由y=x2得y'= 2x,則在點x= 1處的切線斜率k= 2X1 = 2,切線萬 程為y- 1 = 2(x-1),即2x y1 = 0.在平面直角坐標系中作出可行域，如圖陰影部分所示， 一1 八則 A(0, 1), B 2

5、，0 .作直線 lo： x + 2y=0.當平移直線10至點A時，zmin=0+2(1)=2;11當平移直線10至點B時，Zmax= 2+2 X 0=2.1故x+ 2y的取值范圍是 一2,2.11. 設 D, E 分別是 ABC 的邊 AB, BC 上的點，AD = 1AB, BE = 2BC.若 dE= MB + 23力AC(比 尬為實數(shù))，則 為十力的值為.1 - i r - - , y 一2 - 1 - 2 3 1 1 2 212. 2 解析如圖所不，DE = BE BD =§BC 2BA=$(AC AB) + 5AB= -3 AB+ 3AC,又DE=4AB+加AC,且AB與A

6、C不共線，所以為=；3，加=3, 2 33-1即 4+ ?2= 2.11.已知f(x)是定義在上的奇函數(shù).當 x>0時，f(x) = x24X,則不等式f(x)>x的解集 用區(qū)間表示為.11. (5, 0)U(5, +00)解析設 x<0,則一x>0.因為 f(x)是奇函數(shù)，所以 f(x) = f( x)= (x2+4x).又f(0) =0,于是不等式f(x)>x等價于x> 0, x2 4x>xx<0,一(x2+4x)>x.解得 x>5 或5Vx<0,故不等式的解集為(一5, 0)U(5, +8). x2 V212.在平面直角坐

7、標系 xOy中，橢圓C的標準萬程為a2 + b2= 1(a>0, b>0),右焦點為F,右準線為I,短軸的一個端點為B.設原點到直線 BF的距離為d1, F到l的距離為d2.若d2= V6d1,則橢圓C的離心率為 .12.乎 解析由題意知F(c, 0), I： x=a-,不妨設B(0, b),則直線BF: - + V=1,3cc b即 bx+ cy bc= 0.| 二 bc|_bc于7d1=c，b2+ c2abc 2d2=a2-c=工. c c c一b22 一由 d2=46d1，得)=6 c化簡得 6c4+a2c2-a4 = 0, 即 6e4+e2-1=0,解得e2=1或e2=-

8、1(舍去), 32故e=23,故橢圓C的離心率為 興.13.在平面直角坐標系 xOy中，設定點A(a, a), P是函數(shù)y='(x>0)圖像上一動點.若 x、點P, A之間的最短距離為2節(jié),則滿足條件的實數(shù) a的所有值為 .13. 1,V10 解析由題意知,若a<0,則a= - 1滿足題意；若a>0,則圓(x a)2+ (ya)2=8與y = 1(x>0)相切.聯(lián)立方程，消去 y得 xx2- 2ax+ a2+ 4一絲+ a2 = 8, x x即 x+ 2a x+ + 2a2- 10= 0.令 A= 0 得(2a)24(2a210)=0.(*)解得a= 10.此時

9、方程(*)的解為x=，12£6,滿足題意.綜上，實數(shù)a的所有值為114.在正項等比數(shù)列an中,10.1a5 = 2, ae+ a7= 3.則滿足 a1+a2+ an>a1a2an 的取大正整數(shù)n的值為14. 1112 解析設an的公比為q.由a5=m及a5(q+q2)= 3得q = 2,所以a1 =,所以23211, ,71a6=1, aa2a11= a61= 1,此時 a1+a2+ + a11>1.又 a +a2+ a12 = 27 豆，aa2a12C671816 7=2 <2 32 所以 aa2a12>a1a2a2,但 a + a2+ a3=2 32，a1

10、a2a3=2 2 =25 28>28!，所以a+a2+ a13<aa2a13,故最大正整數(shù) n的值為12. 3215. 已知=(cos a, sin a), = (cos & sin 3), 0< 華必兀.若ii=*,求證：；(2)設=(0, 1),若+=，求 a, 3 的值.15.解：(1)由題意得|=,即(-) = - +2 = 2.又因為= = = = ,所以一=,即=,故(2)因為十= (cos a+ cos 3, sin a+ sin 份=(0, 1),cos所以sina+ cos 3= 0 ,a+ sin 3= 1,由此得,cos a= cos(兀一新,由

11、0< 3<兀，彳導0<兀一3<兀,又0< a< Tt,故a=兀一 3.代入16., 如圖1 2,在三棱錐1sin a+ sin 3= 1 得，sin a= sin 3= 2,而 心 8 所以1216 .證明：因為AS= AB, AFXSB,垂足為F,所以F是SB的中點.又因為E是SA 的中點，所以EF/AB.因為EF?平面 ABC, AB?平面 ABC,所以EF /平面ABC.同理 EG /平面 ABC.又 EF A EG= E,所以平面EFG /平面ABC.(2)因為平面 SABL平面SBC,且交線為 SB,又 AF?平面 SAB, AFXSB,所以AF，

12、平面SBC.因為BC?平面SBC,所以AFXBC.又因為 ABXBC, AFAAB=A, AF , AB?平面 SAB,所以 BC，平面 SAB.因為SA?平面SAB,所以BC ± SA.17 .如圖13,在平面直角坐標系 xOy中，點A(0, 3),直線l: y=2x4.設圓C的 半徑為 1 ，圓心在 l 上(1)若圓心C也在直線y=x1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M,使MA = 2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.17.解：(1)由題設，圓心 C是直線y=2x4和y= x1的交點，解得點 C(3, 2),于 是切線的斜率必存在.設過 A(0, 3)

13、的圓C的切線方程為y=kx+3.由題意，塔誓1 =1,解得k=?；蛞?,k2+14故所求切線方程為 y= 3或3x+ 4y- 12=0.(2)因為圓心在直線 y=2x4上，所以圓C的方程為(x-a)2+y-2(a-2)2 = 1.設點 M(x, y),因為 MA=2MO,所以由2+ (y3) 2 = 2 1x2+y2,化簡得 x2 + y2+ 2y 3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以點M在以D(0, 1)為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點M(x, y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|W CDW2+1,即 1 < W2+ ( 2a 3) 2< 3.由 5a2-12a

14、+8>0,得 aC ；12由 5 a 12a & 0,倚 0 w a w 5 ,所以點C的橫坐標a的取值范圍為0,率.518.如圖14,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從 A沿索道乘纜車到 B,然后從B沿直線步行到 C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從 A處下山，甲沿 AC勻速步行，速度為 50 m/min.在甲出發(fā)2 min 后，乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運 動的速度為130 m/min ,山路 AC長為1 260 m,經(jīng)測量，cos A=12, cos C=-3135.(1)求索道AB

15、的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在 C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？. 一,12- 318.解：在 ABC中，因為cos A=n,c0s C = g所以 sin A = , sin C = 4, 135從而 sin B = sin兀一(A + C)= sin(A+C)=sin Acos C+ cos Asin C,5X3 , x4 = 63 13 5 十 13 5 65.由正弦定理黑=器得AB = ACx sin C = L260x4= 1 040(m).sin B63565所以索道AB的長為1 040 m.(2)假設

16、乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d,此時，甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2 =(100+ 50t)2+ (130t)2 -2X 130tx (100 + 50t) X| = 200(37t2 70t + 50).131 040因為 owtw1040，即 0wtw8,故當t=35(min)時，甲、乙兩游客距離最短.3 7由正弦定理黑=器得BC =sin B631365=500(m).乙從B出發(fā)時，甲已走了 50X (2 + 8+ 1)=550(m),還需走710 m才能到達C.設乙步行的速度為 v m/min ,由題意得一3<500 710v所以

17、為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過50<3,解得甯WVW625,3分鐘，乙步行的速度應控制在1 25043 '625,彳4 (單位：m/min)范圍內(nèi).19.設an是首項為a,公差為d的等差數(shù)列nSn(dw0), &是其刖n項的和.記bn= n2+ c，nL，其中c為實數(shù).(1)若c=0,且b1, b2, b4成等比數(shù)列，證明:(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c=0.n (n 1)19.解：由題設，Sn=na+2 d.Sik= n2Sk(k, n C )；,SSn由 c=0,得 bn= = a +n 1 一一2一d.又因為b1,b2, b4成等比數(shù)列，所以b2 = b1

18、b4,即 a + 2 = a a+2d , 化簡得d22ad=0.因為 因此，對于所有的 mC,dw0,所以 d=2a.有 Sm= m2a.從而對于所有的 k, nC,有 Snk= (nk)2a= n2k2a= n2Sk.nSn(2)設數(shù)列bn的公差是 d1,則 bn=b+(n1)d1，即 n2+ c =b1 + (n1)d1, nC,代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nC ,有1312d1 2d n3+ b1d1a+2d n2+cd1n= c(d1b1).1 1令 A=d1-2d, B=b1-d1-a + 2d, D=c(d1 b1)，則對于所有的 nC,有An3+Bn2+cdn=D(*)

19、.在(*)式中分別取n=1, 2, 3, 4,得A+B+cd1 = 8A+ 4B + 2cd1 = 27A+9B + 3cd1 = 64A+ 16B + 4cd1從而有7A+ 3B + cdi=0, 19A+5B+cdi = 0, 21A+5B+cdi = 0, dB= 0,從而 cdi = 0.由，得 A= 0, cdi = 5B,代入方程，得11即 di 2d=0, b一d一a+2d= 0, cd=0.若d1=0,則由d1 2d=0得d = 0,與題設矛盾，所以 d1W0.又因為cd = 0,所以c=0.20.設函數(shù) f(x) = ln xax, g(x) = ex ax,其中 a 為實數(shù)

20、.(1)若f(x)在(1,)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,+°°)上有最小值，求a的取值范圍；(2)若g(x)在(-1, +oo )上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結論.20.解：令f'(x)= 12=1-ax<0 ,考慮到f(x)的定義域為(0, +°°)故a>0進而 x x解得x>a 1,即f(x)在(a-1, +8)上是單調(diào)減函數(shù).同理，f(x)在(0, a 1)上是單調(diào)增函數(shù).由 于f(x)在(1, +00 )上是單調(diào)減函數(shù)， 故(1, +8)?-1, +oo),從而a 1< 1,即aA1.令

21、g(x) = ex a = 0,得 x= In a.當 x<ln a 時，g '(x)<0;當 x>ln a 時，g'(x)>0.又 g(x)在(1 , 十00 )上 有最小值，所以In a>1 ,即a>e.綜上，有 a C (e, +8 ).(2)當aw 0時，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當 a>0時，令g(x) = ex-a>0,解得a<ex,即x>ln a,因為g(x)在(一1,十)上是單調(diào)增函數(shù)，類似有in a<- 1,即 0<aw e 1.結合上述兩種情況，有 awe.一， 1(i)當a = 0時，由

22、f(1)=0以及f'(x)=>0,得f(x)存在唯一的零點； x(ii)當 a<0 時,由于 f(ea) = aaea=a(1 ea)<0, f(1)=a>0,且函數(shù) f(x)在ea, 1上的 圖像不間斷，所以f(x)在(ea, 1)上存在零點.一八 ，一,1另外，當x>0時，f (x) = - -a>0 ,故f(x)在(0, + 00 )上是單倜增函數(shù) 所以 f(x)只有一 x個零點.(iii)當 0<awe1 時，令 f'(x)=x a=0,解得 x=a-1.當 0<x<a1 時，f'(x)>0 ,當 x&

23、gt;a1 時，f'(x)<0,所以，x= a 1是f(x)的最大值點，且最大值為 f(a 1)=in a- 1.當一In a1 = 0,即a=e-1時，f(x)有一個零點x= e.當一In a-1>0,即0<a<e1時,f(x)有兩個零點.實際上，對于 0<a<e 1,由于 f(e 1)=- 1-ae 1<0, f(a 1)>0,且函數(shù) f(x)在e 1, a 1 上的圖像不間斷，所以f(x)在(e 1, a1)上存在零點.1另外，當x(0, a 1)時，f(x)="-a>0,故f(x)在(0, a 1)上是單調(diào)增函數(shù)，

24、所以f(x)在x(0, a1)上只有一個零點.下面考慮f(x)在(a 1, +8)上的情況，先證f(ea 1) = a(a 2-ea 1)<0,為此，我們要證明： 當 x>e 時,ex>x2,設 h(x)= ex-x2,則 h'(x)=ex2x,再設 l(x)= h'(x) = ex2x,則 l'(x) = ex2.當x>1時，l'(x)= ex2>e2>0 ,所以l(x)=h'(x)在(1, + 8)上是單調(diào)增函數(shù).故當 x>2 時，h(x) = ex 2x>h(2) = e2 4>0 ,從而h(x

25、)在(2, +8)上是單調(diào)增函數(shù)，進而當 x>e時，h(x)= exx2>h(e)= ee e2>0 , 即當 x>e 時，ex>x2.當 0<a<e 1,即 a 1>e 時，f(ea 1)= a 1 - aea 1= a(a 2- ea 1)<o,又f(a-1)>0,且函數(shù)f(x)在a 1, ea-1上的圖像不間斷，所以f(x)在(a 1, ea-1)上存在零八、 .,.1又當 x>a 1 時，f (x) = - - a<0,x故f(x)在(a 1, +°°)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a 1,

26、+ 00)上只有一個零點.綜合(i)(ii)(iii),當20或2=31時，f(x)的零點個數(shù)為1,當0<a<e1時，f(x)的零點個數(shù)為2.21 . A.選彳41:幾何證明選講如圖1 1所示，AB和BC分別與圓。相切于點D, C, AC經(jīng)過圓心 O,且BC=2OC.求證：AC = 2AD.圖1 1證明：聯(lián)結OD,因為AB和BC分別與圓。相切于點D, C, 所以/ ADO = Z ACB=90°.又因為/ A=/A,所以 RtAADORtAACB,程為所以BCODACAD.又 BC= 2OC = 2OD.故 AC= 2AD.B.選彳4 2:矩陣與變換r-i on已知矩陣=

27、"2，=1,0) 2,6),求矩陣1解：設矩陣的逆矩陣為a,c) b,d),則1,0) 0,2)a,c) b,d)= 1,0) 0,1).即a,2c) -b,2d)=1,0) 0,1),故 a = -1, b=0, c= 0, d = 2，-1從而的逆矩陣為1=0,2).0所以1=0,2)1,0) 2,6) = - 1,0) -2,3).0C.選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程x= t+ 1,在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方y(tǒng)= 2tx= 2tan2 0,y= 2tan 0（。為參數(shù)），試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標.x= t

28、+ 1,(t為參數(shù)),由x= t + 1得t= x 1,代入y= 2t,解：因為直線l的參數(shù)方程為y=2t得到直線l的普通方程為2x-y-2=0.同理得到曲線 C的普通方程為y2=2x.聯(lián)立方程組 :2（X一1），解得公共點的坐標為 化，2）,1，-1.y2=2x,2D.選彳45：不等式選講已知 a> b>0 ,求證：2a3 b3 >2ab2 a2b.證明：2a3- b3 (2ab2 a2b)= 2a(a2 b2)+b(a2- b2)= (a2 b2)(2a+ b)=(a-b)(a+ b)(2a + b).因為 an b>0 ,所以 a bn0, a+ b>0,

29、2a + b>0.從而(ab)(a+b)(2a+b)n0,即 2a3 b3>2ab2 a2b.22. 如圖 1 2 所示，在直三棱柱 AiBiCiABC 中，ABXAC, AB = AC=2, AiA=4, 點D是BC的中點.(1)求異面直線AiB與CiD所成角的余弦值；(2)求平面ADCi與平面ABAi所成二面角的正弦值.22.解：(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則A(0, 0, 0),B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(1, 1, 0), Ai(0, 0, 4), - ，一 一 一 . 一Ci(0, 2, 4),所以 A1B=(2,

30、 0, -4), CiD=(1, 1, -4).因為cos <a!b, Ad= A1B C1D = L18=3所以異面直線 A1B與C1D所成|“B林| 20X1810角的余弦值為方.(2)設平面 ADC1 的法向量為 1=(x, y, z),因為aD = (1, 1, 0),蔽1=(0, 2, 4),所以 AD =0, AC1= 0,即 x+ y = 0 且 y+ 2z= 0,取 z=1,得 x=2, y=2,所以，=(2, 2, 1) 是平面ADC1的一個法向量.取平面 AA1B的一個法向量為=(0, 1 , 0),設平面ADC1與平 面ABA1所成二面角的大小為 0.由 1cos

31、a=瑞需i=V9W1=3,得 sin 0=9.5 因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為 25.323.設數(shù)列an： 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,，(一1)k1k,，(- (歸 + 11)k1k, k 個，即當 ""2" k<n<?(kC *)時，an= ( 1)k k記 Sn= a1 + a2 + + an(n C *).對于 l C *,定義集合 Pl = n|Sn 是an的整數(shù)倍，nC *,且1Wnwl.(1)求集合P11中元素的個數(shù)；(2)求集合P2 000中元素的個數(shù).23.解：(1)由數(shù)列an的定義得 a1 = 1, a2=- 2, a3=- 2, a4=3, a5=