因式分解知識點歸納[精選.]

1、因式分解知識點回顧1、因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法:ma mb mc m(a b c)(2)運用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)(3)十字相乘法：2x (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步驟：(1) 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；(2) 提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘 法;(3) 對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根 公式法。(4) 最后考慮用分

2、組分解法5、同底數(shù)冪的乘法法則：amgan am n( m,n都是正整數(shù))同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單 項式。如：(a b)2ga b)3 (a b)56、冪的乘方法則：(am)n amn ( m,n都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(35 )2 310冪的乘方法則可以逆用：即amn (am)n (an)m 如：46 (42)3 (43)27、 積的乘方法則：(ab)n anbn( n是正整數(shù))積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。32、553、52、5515 10 5如：(2x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z 32x y z8同底數(shù)冪的除

3、法法則：am an amn( a 0,m,n都是正整數(shù)，且m n) 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b39、零指數(shù)和負指數(shù);a0 1，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于10,p是正整數(shù))，即一個不等于零的數(shù)的p次方等于這個數(shù)的P次方的倒數(shù)如: 23(2)310、單項式的乘法法則:單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，貝y連同它的指數(shù)作為 積的一個因式。注意: 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。 相同字母相乘，運用同底數(shù)冪的乘法法則。 只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因

4、式 單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。 單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。如：2x2y3z?3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加， 即 m(a b c) ma mb mc(m,a,b,c者E是單項式 )、卜I亠、卜: 注意: 積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。如：2x(2x 3y) 3y(x y)12、多項式與多項式相乘的法則;多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項， 再把所的的積相加。如.

5、(3a 2b)(a 3b) :(x 5)(x 6)三、知識點分析：1. 同底數(shù)幕、幕的運算:（m，n都是正整數(shù)）.（）（m， n都是正整數(shù)）.例題1.若2a64，則；若 27 3n ( 3)8，則例題2.若52125，求(x 2)2009 x 的值。2y 3 n 2y x 2練習(xí)1若 a2n 3，則 a6n=.2. 設(shè)481,且9271,則等于2. 積的乘方()(n為正整數(shù)).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例題1.計算：n m3 Pm n np 4 m3.乘法公式平方差公式：ab a2 2b a b完全平方和公式：ab 2 a2 2abb2完全平方差公式：ab 2

6、a2 2abb2例題1.利用平方差公式計算：2009X 2007- 20082例題2.利用平方差公式計算：2-2007.200722008 20063. ( a 2b+ 3c d) (a+ 2b- 3c d)考點一、因式分解的概念因式分解的概念：把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，叫做因 式分解。因式分解和整式乘法互為逆運算1、 下列從左到右是因式分解的是()A. x() B. x2-1 2=(1)(1) 2C. x 2-仁(1)(1)D.()2、 若4a2 kab 9b2可以因式分解為(2a 3b)2，貝卩k的值為3、已知a為正整數(shù)，試判斷a2 a是奇數(shù)還是偶數(shù)？4、已知關(guān)于X的二次三項式

7、x2 mx n有一個因式(x 5)，且17,試求m, n的值考點二提取公因式法提取公因式法：ma mb mc m(a b c)公因式：一個多項式每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式各項的公因式找公因式的方法：1、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù)2、字母是相同字母3、字母的次數(shù)-相同字母的最低次數(shù)習(xí)題1、將多項式20a3b2 12a2bc分解因式，應(yīng)提取的公因式是()A、B 、4a2b C、4ab D、4a2bc2、已知(19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23)可因式分解為(ax b)(8x c)，其中 a， b，c均為整數(shù)，則等于()A -12、-32、38 D 、723、

8、分解因式(1) 6a(a b) 4b(a b)(2) 3a(x y) 6b(y x)(3) xn(4) ( 3)2011 ( 3)20104、先分解因式，在計算求值(1) (2x 1)2 *(3x 2) (2x 1)(3x2)2x(1 2x)(3x 2)其中1.56、若ab2 1 0，用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值7、已知 a, b, C 滿足 ab abbcbccaca3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a, b, c都是正整數(shù))考點三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)運用平方差公式分解的多項式是二次項，這兩項必須是平方式，且這兩項的符號

9、相反習(xí)題1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A x2 4y2B2 2 2 2、x 2y 1 C、x4yD、x2 4y22、分解下列因式(1)3x2 122(2)(x 2)( x 4) x 422(3) (x y) (x y)(4) x3 xy22(5) (a b) 1(6) 9(a b)230(a2 b2) 25(a b)2(7)2009 201120102 13、若n為正整數(shù)，則(2n 1)2 (2n 1)2一定能被8整除完全平方式a2 2ab b2 (a b)2運用完全平方公式分解的多項式是三項式，且符合首平方，尾平方，首 尾兩倍中間放的特點，其中首尾兩項的符號必須相同，中間項的

10、符號正 負均可。習(xí)題1、在多項式x2 2xy y2x2 2xy y2x2 xy+y24x2 1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（(4)2 2(2x 3) (x 3)2(5) 8x y 8xy 2y(6)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y 42 2(7) 4x 129y 463A、B、 C、D、2、下列因式分解中，正確的有（)4a a3b2a(4a2b2) x2y 2xy xyxy(x 2)a ab ac a(ab c)29abc 6a b 3abc(32a) |x2y |xy2|333xy(x y)A 0個B、1 個 C 、2個 D、5個3、如果x2 2(m3)x16是一個完

11、全平方式，那么m應(yīng)為（）A-5 B 、3C 、7 D、7 或-14、分解因式(1)mx2 4mx :2m(2)2a2-4a2x3 2x2 x5、已知 a b 2x px q x a b x ab x a x b例題講解1、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2X 3AV的分解適合，即2+3=51 2解：x2 5x 6 = x2(2 3)x 2 313=(x 2)(x 3)1X 2+1 X 3=5, ab 2，求 2a3b a2b2 1ab36、證明代數(shù)式x2

12、y2 10x 8y 45的值總是正數(shù)7、已知a, b, C分別是ABC的三邊長，試比較(a2 b2 c2)2與4a2b2的大小考點四、十字相乘法2(1)二次項系數(shù)為1的二次三項式X px q中，如果能把常數(shù)項q分解 成兩個因式a、b的積，并且a b等于一次項系數(shù)p的值，那么它 就可以2把二次三項式x px q分解成用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因 數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例題講解2、分解因式：x2 7x 6(4) x2 x 2(5)y2 2y 15x210x 242、二次項系數(shù)不為條件：（1） a時2（2） c c1c21的二次三項式ax2 bx ca1a2

13、C1C2解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1_.-1=(x 1)( x 6)1 -6（-1）+（ -6）=-7練習(xí)分解因式（1） x2 14x 24(2)a2 15a 36(3)x2 4x 5(3)b aC2 a2&b aC2 a2G分解結(jié)果： ax2 bx c = (a1x c1)(a2x c2) 例題講解1、分解因式：3x2 11x 10分析：13-5(-6)+ (-5)= -11解：3x211x 10 =(x 2)(3x 5)7x 2分解因式：(1)5x2 7x 6( 2)3x2(3) 10x2 17x 3(4)6y2 11y 103、二次項系數(shù)為1的多項式例

14、題講解、分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18 b ； X .1- 16b8(- 16b)= -8b解：a2 8ab 128b2 a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b) (a 8b)(a 16b)分解因式(1) x2 3xy 2y2m2 6mn 8n2(3)a2 ab 6b24、二次項系數(shù)不為1的多項式 例題講解2x2 7xy 6y21孜2-3y.,_1(-3y)+(-4y)=(-1)+(-2)= -3解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 2x y 3xy 2把xy看作一個整體1-2-1-7y解：原式=(x

15、y 1)(xy 2)分解因式：(1) 15x2 7xy 4y2(2) a2x2 6ax 8考點五、因式分解的應(yīng)用1、分解下列因式(2)x3y2 4x(1) 3x2 3(3) x3 6x2 27x(4) a2 b2 2b 12、計算下列各題(1)(4a2 4a 1) (2a 1)(2) (a2 b2 c2 2ab)(a b c)(2) (2x 3)2(2x 3)3、解方程(1 ) 16(x 1)225(x 2)24、如果實數(shù)a b，且，器:1'那么的值等于5、1 221 23242526220092 2010220112201222009 2010201120126、若多項式x2 ax 12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù)a的值（寫出3個）7、先變形再求值（1）已知2x y丄，xy 4，求2x4y3 x3y4的值16（2）已知 3x2 8x 20，求12x2 32x 的值8已知a、b、c為三角形三邊，且滿足a2220，試說明該三角形是等邊三角形9、兩個正整數(shù)的平方差等于195，求出這兩個正整數(shù)10、閱讀下列因式分解的過程，回答問題1 x x(x 1) x(x 1)2 (1 x)1 x x(x 1) (1 x)2