ARMA時(shí)間序列模型及SPSS應(yīng)用PPT課件

1、ARMA時(shí)間序列模型及其相關(guān)應(yīng)用段曉曼吳艾茜黃衍超2017.12.07Southern Medical University1提綱時(shí)間序列模型的概念模型的識(shí)別模型階數(shù)的確定模型參數(shù)的估計(jì)模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膽?yīng)用2Southern Medical University一、時(shí)間序列模型的概念3Southern Medical University時(shí)間序列的概念時(shí)間序列的概念 時(shí)間序列是指將同一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的數(shù)值按其發(fā)生的時(shí)間先后順序排列而成的序列。 時(shí)間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。2000-2013年我國(guó)GDP增長(zhǎng)圖*公開數(shù)據(jù)整理4Southern Medical Univers

2、ityARMA模型的概模型的概念念 ARMA 模型（自回歸滑動(dòng)平均模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時(shí)間序列的重要方法。 1976年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.E.P.Box和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.M.Jenkins聯(lián)合出版了時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)和控制一書，在總結(jié)前人的研究的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地闡述了ARMA模型的識(shí)別、估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)的原理和方法，成為時(shí)間序列分析的核心，故ARMA 模型也稱為Box-Jenkins模型。5Southern Medical UniversityARMA模型的概模型的概念念 ARMA 是一種單變量、同方差的線性模型，對(duì)于滿足有限

3、參數(shù)線形模型的平穩(wěn)時(shí)間序列，主要有以下三種基本形式：u自回歸模型（ AR : Auto-regressive）u移動(dòng)平均模型（ MA : Moving-Average） u混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）平穩(wěn)時(shí)間序列：統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不隨時(shí)間變化。6Southern Medical University設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，階數(shù)為p的自回歸模型定義為：AR模型模型tX1122.tttpt ptXXXXa 模型簡(jiǎn)記為 ，是時(shí)間序列 自身回歸的表達(dá)式，所以稱為自回歸模型。AR( )ptX 其中， 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足 ，

4、 也稱白噪聲序列。 ta0tE a2 taD a 為了方便表示，引進(jìn)延遲算子的概念。令：1ttXBX22-1tttXBXB XptptXB X 則自回歸模型可寫為： ( )ttB Xa212( )1.ppBBBB 其中： 7Southern Medical University 對(duì)于模型：AR模型模型( )ttB Xa 若滿足條件： 的根全在單位圓外，即所有根的模都大于1，則稱此條件為AR(p)模型的平穩(wěn)性條件。( )0B1R 1B2B3B 當(dāng)模型滿足平穩(wěn)性條件時(shí)， 存在且一般是B的冪級(jí)數(shù)，于是模型又可寫為：-1( )B-1( )ttXB a8Southern Medical Universi

5、ty 設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，階數(shù)為q的滑動(dòng)平均模型定義為：tX1122.ttttqt qXaaaa 模型簡(jiǎn)記為 。同樣為了方便表示，引進(jìn)延遲算子的概念。令：MA( )q1ttaBa22-1tttaBaB aptptaB a 則滑動(dòng)平均模型可寫為： ( )ttXB a212( )1.qqBBBB 其中： MA模模型型 若滿足條件： 的根全在單位圓外，則稱此條件為MA(q)模型的可逆性條件，此時(shí) 存在且一般是B的冪級(jí)數(shù)，于是模型又可寫為：( )0B-1( )B1( )ttaB X9Southern Medical UniversityAR與與MA模型的比較模型的比較 自回歸模型：意義在于僅

6、通過(guò)時(shí)間序列變量的自身歷史觀測(cè)值來(lái)反映有關(guān)因素對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)的影響和作用，不一定平穩(wěn)。 滑動(dòng)平均模型：意義在于用過(guò)去各個(gè)時(shí)期的隨機(jī)干擾（白噪聲）或預(yù)測(cè)誤差的線性組合來(lái)表達(dá)當(dāng)前預(yù)測(cè)值，但具有不一定可逆性。1122.tttpt ptXXXXa1122.ttttqt qXaaaa10Southern Medical UniversityARMA模型模型 設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，p階自回歸q階滑動(dòng)平均混合模型定義為：tX11221122.tttpt ptttqt qXXXXaaaa( )tB X( )tB a=模型簡(jiǎn)記為ARMA(p, q).顯然，當(dāng)q =0時(shí)，ARMA(p, q)模型就是AR (p

7、)模型；顯然，當(dāng)p =0時(shí)，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；ARMA(p, q)模型的平穩(wěn)性只依賴于AR 部分；ARMA(p, q)模型的可逆性只依賴于MA 部分；11Southern Medical University二、模型的識(shí)別12Southern Medical UniversityMA模型的自相關(guān)函模型的自相關(guān)函數(shù)數(shù)1122.ttttqt qXaaaa階數(shù)為q的滑動(dòng)平均模型定義為：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義：11111111() = ()() = ktt kttqt qt kt kqt k qqqqqtt kjtt kjit it kijt it kjjiijE X XE

8、aaaaaaE a aE a aE a aE a a 因?yàn)?, .0, .asttsE a ats111= qqqktt kit it kiit it kjiijE a aE a aE a a 所以自相關(guān)函數(shù)變?yōu)槿?xiàng)：13Southern Medical UniversityMA模型的自相關(guān)函數(shù)模型的自相關(guān)函數(shù)111= qqqktt kit it kijt it kjiijE aaE a aE a a 對(duì)于：分以下幾種情況討論：1）當(dāng) k =0 時(shí)，有22222211= =;qqktit iaiaiiE aE a 2）當(dāng) 時(shí)，有222211=-= -;qqkkt kii kt ikaii ka

9、i ki kE aE a 1kq3）當(dāng) kq 時(shí)，有=0;k從上述性質(zhì)可以看出，MA(q)序列的自相關(guān)系數(shù) 在 kq 時(shí)全為0.這種性質(zhì)稱為q步截尾性，表明序列只有q步相關(guān)性。 k14Southern Medical UniversityAR模型的自相關(guān)函數(shù)模型的自相關(guān)函數(shù)階數(shù)為q的自相關(guān)模型定義為：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義：11221122() = () = ktt kt kttptptkkpkpE X XE XXXXa 1122.tttpt ptXXXXa令k=1,2, p,得自相關(guān)系數(shù)：1121-1211231-21-122= = = pppppppp 從上述性質(zhì)可以看出，AR(q)序列的自

10、相關(guān)系數(shù) 隨著k的增大始終不為0.這種性質(zhì)稱為拖尾性，并且是呈負(fù)指數(shù)衰減。 k15Southern Medical UniversityARMA模型的自相關(guān)函模型的自相關(guān)函數(shù)數(shù)ARMA(p, q)模型的自相關(guān)系數(shù)，可以看做AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p，q均不為0時(shí)，如果當(dāng)p, q均大于或者等于2，其自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。16Southern Medical University偏相關(guān)函數(shù)偏相關(guān)函數(shù) 從上面的討論可知，對(duì)于

11、自相關(guān)函數(shù)，只有MA(q)模型是截尾的，AR(p)和ARMA(p, q)模型是拖尾的。為了進(jìn)一步區(qū)分AR(p)模型和ARMA(p, q)模型，我們引入了偏相關(guān)函數(shù)的概念。 對(duì)于零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列中，給定 ，則 之間的偏相關(guān)函數(shù)定義為：11,tt kXX tt kXX和222= tt ktt kXtt kE X XE X XE XE X偏相關(guān)函數(shù)注意：此時(shí)的期望指的是條件期望。17Southern Medical UniversityAR模型偏相關(guān)函數(shù)模型偏相關(guān)函數(shù) 設(shè) 為零均值的實(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列，設(shè)它滿足AR(p)模型：tX1122.tktktkkt ktXXXXa 用 乘上式兩邊，當(dāng)給定 時(shí)

12、，取條件期望得： - t kX1111=,ttt kt kXxXx ，-11-,11-2- .tt kktt kk kt kt kkkt ktt kE X Xx E XxE XE XE a X 因?yàn)?k0 時(shí)， ，且有-0tt kE a X2-,tt kkkt kkkXE X XD X 故2=, 1,2,.tt kkkXE X Xk 顯然 即為AR(p)序列的偏相關(guān)函數(shù)，同時(shí)它又是AR(p)模型的最后一個(gè)回歸系數(shù)。當(dāng)kp時(shí)，有 ，也即是截尾的。kk=0kk18Southern Medical UniversityARMA模型偏相關(guān)函模型偏相關(guān)函數(shù)數(shù) ARMA模型的偏相關(guān)函數(shù)求解方法和上述略有不

13、同，考慮用 對(duì) 做最小方差估計(jì)來(lái)求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例) 的偏相關(guān)函數(shù) ，同時(shí)推出偏相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。 1,tt kXXtXtXkk11111,111111,1,1,1=,1, 1,2, .kkkkkkjkjjkjjjkjkjkkk kjjk 當(dāng)kp時(shí)， 0kk即ARMA模型和MA模型都是拖尾的。19Southern Medical University平穩(wěn)時(shí)間序列的類型識(shí)平穩(wěn)時(shí)間序列的類型識(shí)別別類別模型AR(p)MA(q)ARMA(p, q)模型方程平穩(wěn)條件 的根全在單位圓外無(wú)條件平穩(wěn) 的根全在單位圓外自相關(guān)函數(shù)拖尾截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)截尾拖尾

14、拖尾( )ttB Xa( )ttXB a( )( )ttB XB a( )0B( )0B20Southern Medical University三、模型階數(shù)的確定21Southern Medical University如何用樣本自相關(guān)函數(shù)來(lái)推斷模型的階。模型階數(shù)的確定模型階數(shù)的確定22Southern Medical Universityk110,1,1N kii kix xkNN， 樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：kk0 =0,1,1kN， 模型階數(shù)的確定模型階數(shù)的確定（式1）由樣本值求出樣本自相關(guān)函數(shù)23Southern Medical University由正態(tài)分布的性質(zhì)知，2k11P |(1

15、268.3%qiiN）或2k12P |(1295.5%qiiN）在實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)閝一般不是很大，而N很大，此時(shí)常取1211(12)iqiNNk1P |68.3%Nk2P |95.5%N或24Southern Medical Universityk| 1|N或k| 2|N（3）ARMA(p, q)模型的階數(shù)p和q難于確定，一般采用由低階到高階逐個(gè)試探，如取(p, q)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，直到經(jīng)驗(yàn)證認(rèn)為模型合適為止。25Southern Medical University四、模型參數(shù)的估計(jì)26Southern Medical University 當(dāng)選定模型及確定階數(shù)后，進(jìn)一

16、步地問(wèn)題是要估計(jì)出模型的未知參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法有矩法、最小二乘法、極大似然法等。模型參數(shù)的估計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)27Southern Medical University模型參數(shù)的估計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)11XttptptXXa1121121123121122=+,=+,=+;pppppppp 寫成矩陣式為1121121122123111ppppppp201pajjj （式2）（式3）推導(dǎo)見課本P13528Southern Medical University利用(式2)，(式3) 將參數(shù)換成它們的估計(jì)，-11121121122123111ppppppp 20011 =1ppajjjjjj 模型參數(shù)的估

17、計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)29Southern Medical University模型參數(shù)的估計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)11Xtttqt qaaa將參數(shù)換成它們的估計(jì)，2221k21 1 (1)0 ().aqakkqq kkkq ，1可直接求解，也可迭代求解。MA(q)序列的協(xié)方差函數(shù)表達(dá)式30Southern Medical University模型參數(shù)的估計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)1111X=ttptpttqt qXXaaa首先，利用（式4），將參數(shù)換成它們的估計(jì)q11111q22212qqq pqqq pqqpqppqp （式4）-11q11121q2212qqq pqqq pqpqpqpqp 31Southern

18、 Medical University然后，令11Y =XtttptpXXk0000 ( )pppptt kijt itj kijkj iijijYE YYE XX k00 ( )ppijkj iijY 11Ytttqt qaaa模型參數(shù)的估計(jì)模型參數(shù)的估計(jì)32Southern Medical University五、模型的檢驗(yàn)33Southern Medical University模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋z驗(yàn)34Southern Medical University模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臋z驗(yàn)1111=X+tttptptqt qaXXaak0 ( ) ( )1,2,., ( )kaakMa，21Q( )M

19、MiiNaM取N/10左右35Southern Medical University六、模型的應(yīng)用36Southern Medical University時(shí)間序列或動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)是依時(shí)間順序先后排列的，各有其大小的一列數(shù)據(jù)。這種有序性和大小反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的相互聯(lián)系和變化規(guī)律，蘊(yùn)含著產(chǎn)生這列數(shù)據(jù)的現(xiàn)象、過(guò)程或系統(tǒng)的有關(guān)特性，有關(guān)的信息。 研究、分析與處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，正是為了揭示數(shù)據(jù)本身的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，了解系統(tǒng)的特性，明了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，推斷數(shù)據(jù)與系統(tǒng)的未來(lái)情況。 但是，通常人們獲得的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)總是有限而非無(wú)限的，所以時(shí)間序列分析就是在有限個(gè)樣本數(shù)據(jù)總量的情況下，建立相對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，從而獲得具有一定精

20、度的統(tǒng)計(jì)特性，進(jìn)而達(dá)到預(yù)判經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)等目的。時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析37Southern Medical University某商品月銷售額某商品月銷售額時(shí)間時(shí)間19911991年年19921992年年19931993年年19941994年年19951995年年19961996年年1 1月份月份603.2225612.8499620.2722629.6026640.5817649.40082 2月份月份636.8149645.9645655.7020663.0500672.2036681.69993 3月份月份707.1452715.9899723.8026733.8552743.03

21、34752.35014 4月份月份638.0379646.1702654.8081664.6104675.1520684.52265 5月份月份620.6295628.2095636.0499645.5190655.5609663.96336 6月份月份707.2703717.1703725.7692735.4458741.9791753.33477 7月份月份539.0789549.4425557.4150566.1298573.6024583.93478 8月份月份252.8602259.8826270.9799279.3648288.2158297.61629 9月份月份591.7836

22、601.1425611.3857620.6696627.7034639.49981010月份月份626.9935637.4908646.0962654.9507663.0892672.44491111月份月份582.6923592.8298602.6265611.4662620.7718629.95011212月份月份611.3965620.8653630.0778637.0239647.4319655.4984構(gòu)建模型的數(shù)據(jù)（67個(gè)數(shù)據(jù)，5個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)）構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型38Southern Medical University 使用SPSS畫出時(shí)間序列的序列圖序列特點(diǎn)：1.序列

23、具有周期性，且周期為12個(gè)月。2.序列具有上升趨勢(shì)。3.序列不平穩(wěn)。構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型39Southern Medical University RA 、MA 、RAMA模型，只適用于平穩(wěn)時(shí)間序列，但是通過(guò)前面的分析，該時(shí)間序列的模型符合以下特征：( )( )ttXf td tW其中 是趨勢(shì)項(xiàng)， 是周期項(xiàng)， 則是平穩(wěn)序列。( )f t( )d ttW 只要能將平穩(wěn)序列 從原始具有趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列 中提取出來(lái)，就可以對(duì)提取出來(lái)的序列進(jìn)行上述平穩(wěn)序列的分析。tWtX 而一個(gè)具有趨勢(shì)項(xiàng)的非平穩(wěn)序列，總是可以在經(jīng)過(guò)若干次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。當(dāng)然，具有周期性的序列也可以通過(guò)季節(jié)性的差分提取

24、平穩(wěn)序列。 如果序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)；如果序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響；對(duì)于蘊(yùn)含著固定周期的序列進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算，通常可以較好的提取周期信息。構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型序列平穩(wěn)序列平穩(wěn)化化40Southern Medical University構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型序列平穩(wěn)序列平穩(wěn)化化 進(jìn)行季節(jié)性差分，周期為12序列特點(diǎn)：1.周期性基本去除；2.序列仍然具有上升趨勢(shì)。12tttZXX41Southern Medical University構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型序列平穩(wěn)序列平穩(wěn)化

25、化 進(jìn)行季節(jié)性差分以及一階差分序列特點(diǎn)：1.周期性基本去除；2.序列圍繞著0波動(dòng)，零均值。3.經(jīng)過(guò)差分處理后為平穩(wěn)的序列適用于ARMA模型時(shí)，稱這種模型為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)1tttQZZ12tttZXX42Southern Medical University構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型相關(guān)性分相關(guān)性分析析 自相關(guān)函數(shù)特性：1.自相關(guān)函數(shù)在一階滯后的函數(shù)值基本都落入置信區(qū)間。2.在12階滯后時(shí)自相關(guān)系數(shù)超出置信區(qū)間，周期性趨勢(shì)仍存在。3.自相關(guān)函數(shù)拖尾，無(wú)截?cái)唷?3Southern Medical University特性：1.偏相關(guān)函數(shù)在二階滯后的函數(shù)值基本都落入置信區(qū)間；2.偏相關(guān)函數(shù)拖尾，無(wú)截?cái)?差分處理后的模型適用于ARMA模型，因此對(duì)原序列采用ARIMA模型分析。3.根據(jù)偏相關(guān)函數(shù)：初步定階為：非周期性滯后偏相關(guān)階數(shù)p = 2，周期性滯后偏相關(guān)階數(shù)P=0；4.根據(jù)相關(guān)函數(shù)，初步定階為：非周期性滯后相關(guān)階數(shù)q =1，周期性滯后相關(guān)階數(shù)Q=1；構(gòu)建時(shí)間序列模型構(gòu)建時(shí)間序列模型相關(guān)性分相關(guān)性分析析 偏相關(guān)函數(shù)44Sout