江蘇專(zhuān)版版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十六章曲線(xiàn)與方程16.2拋物線(xiàn)講義

1、 16.2 拋物線(xiàn)五年高考考點(diǎn)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)1. (2022課標(biāo)全國(guó)I理改編，10,5分)F為拋物線(xiàn)C:y 2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l i,l 2,直線(xiàn)l 1與C交于A,B兩點(diǎn)，直線(xiàn)12與C交于D,E兩點(diǎn)，那么|AB|+|DE|的最小值為.答案 162. (2022課標(biāo)全國(guó)n改編,5,5分)設(shè)F為拋物線(xiàn)C:y 2=4x的焦點(diǎn)，曲線(xiàn)y=；?k0)與C交于點(diǎn)P,PF丄x軸，那么 k=.答案 23. (2022遼寧改編,10,5分)點(diǎn)A(-2,3)在拋物線(xiàn)C:y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與C在第一象限相切于 點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,那么直線(xiàn)BF的斜率為.答案44. (

2、2022四川改編,10,5分)F為拋物線(xiàn)y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在該拋物線(xiàn)上且位于x軸的兩側(cè)，？?？?(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)),那么厶ABO與厶AFO面積之和的最小值是.答案 35. (2022浙江,21,15分)如圖,拋物線(xiàn)x2=y，點(diǎn)A(?,B(| ,?,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(x,y) Gx?.過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足為Q.(1) 求直線(xiàn)AP斜率的取值范圍(2) 求|PA| - |PQ|的最大值.解析(1)設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k,k=?丄14_x 11=X- 2,?+L22因?yàn)?2x3,所以直線(xiàn)ap斜率的取值范圍是(-1,1).1 1(2)解法一：聯(lián)立直線(xiàn)?+ -k + -= 0,AP與BQ的方程

3、：34?+ ? k- = 0,42解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是Xq?2字2(?j2+1)因?yàn)?|PA|= V1 + ?(?+ 2)=“i+ ?(k+1),|PQ|= V(xq-x)=-V?孑+1所以 |PA| - |PQ|= -(k-1)(k+1),3令 f(k)=-(k-1)(k+1).因?yàn)?f (k)=-(4k-2)(k+1)所以f(k)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增，(打)上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=1時(shí)，|PA| - |PQ|取得最大值 磊.解法二：如圖，連結(jié) BP,|AP| - |PQ|=|AP| - |PB| - cos/ BPQ= ?(?=?易知 P(X, x2)(-1 x|),那么?2x+1+2

4、x2- ；=2x2+2x+；, ?=(?+ 1)2+(?2-4)2=x2+x+4+x4-；x2+冷=x4+2x2+x+ |PQ|= -x4+3x2+x+售(冷 x 2).設(shè) f(x)=-x 4+|x2+x+13_(-1x0)交于M,N兩點(diǎn).(1) 當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程；y軸上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/ OPMWOPN說(shuō)明理由.解析 (1)由題設(shè)可得 M(2V?a),N(-2 花)或 M(-2 ?a),N(2 ?a).2又y= ?,故y=?在X=2。處的導(dǎo)數(shù)值為V?1C在點(diǎn)(2 v?ia)處的切線(xiàn)方程為y-a=V?x-2v?,即v?x-y-a=0.y=?4在 x

5、=-2 V?處的導(dǎo)數(shù)值為-V?C在點(diǎn)(-2 V?a)處的切線(xiàn)方程為 y-a=- V?x+2 v?,即V?x+y+a=0.故所求切線(xiàn)方程為 VX-y-a=0和v?x+y+a=0.(5分)(2) 存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn)，M(X1,y1),N(x 2,y 2),直線(xiàn)PM,PN的斜率分別為k1,k 2.2將y=kx+a代入 C的方程得 x -4kx-4a=0.故 X1+X2=4k,x 1X2=-4a.從而k1+k2=+書(shū)壬陛躺空型渾?)當(dāng)b=-a時(shí)，有k1+k2=0,那么直線(xiàn)PM的傾斜角與直線(xiàn) PN的傾斜角互補(bǔ)，故/ OPM/ OPN所以點(diǎn)P(0,-a)符合題 意.(

6、12分)教師用書(shū)專(zhuān)用(7 9)7. (2022課標(biāo)全國(guó)H理改編，11,5分)設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,假設(shè)以MF為直 徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),那么C的方程為.答案 y2=4x 或 y2=16x8. (2022山東,21,14分)拋物線(xiàn) C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l 交C于另一點(diǎn)B,交X軸的正半軸于點(diǎn) D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)， ADF為正三角形.(1) 求C的方程；(2) 假設(shè)直線(xiàn)I 1 / I,且l 1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,(i) 證明直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(ii

7、) ABE的面積是否存在最小值？假設(shè)存在，請(qǐng)求出最小值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析(1)由題意知F(?,0).設(shè)D(t,0)(t0), 那么FD的中點(diǎn)為(筈乎血.因?yàn)?|FA|=|FD|,由拋物線(xiàn)的定義知3+2=|?2|,解得t=3+p或t=-3(舍去).由警3,解得p=2.所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=4x.(i)由 知F(1,0),設(shè) A(X0,y 0)(x 0丫0工 0),D(x d,0)(x d0), 因?yàn)?|FA|=|FD|,那么 |x d-1|=x 0+1, 由 xd0 得 xd=X0+2,故 D(x0+2,0). 故直線(xiàn)AB的斜率kAE=-辿.因?yàn)橹本€(xiàn)I i和直線(xiàn) 設(shè)直線(xiàn)I i的方

8、程為2 AB平行， y=- ?x+b,代入拋物線(xiàn)方程得y2+2y- 8-=0,1 ?由題意樣+評(píng),得b遙 設(shè) E(XE,y e),貝V yE=-?,x e=?4+?當(dāng)?知時(shí),心?-兀=?4, 可得直線(xiàn)AE的方程為y-yo=?4(x-x 0),由?=4xo, 整理可得 y=S(x-1),直線(xiàn)AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0).當(dāng)?=4時(shí),直線(xiàn)AE的方程為x=1,過(guò)點(diǎn)F(1,0), 所以直線(xiàn)AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0).(ii)由(i)知直線(xiàn) AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0),所以 |AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+Q+ 1)=x0+?+2.設(shè)直線(xiàn)AE的方程為x=my+1,因?yàn)辄c(diǎn)A(xo,y 0)在直線(xiàn) AE上,故

9、m帑設(shè) B(xi,y 1),直線(xiàn) AB的方程為 y-y o=-?20(x-x 0), 由于y0豐0,可得 x=-?y+2+X0,?代入拋物線(xiàn)方程得y2+?8?y-8-4x 0=0.所以 yo+yi=-?,?0可求得 yi=_yo_?,x 哥Xo+4,所以點(diǎn)B到直線(xiàn)AE的距離為48I ?+?b+4+m (?0+ ?)-11 d=o?0V1+?2_4(?3+1)v?5=4(爲(wèi)+召).那么厶 ABE 的面積 S=1X4( “?+ 為)(? + ?+2) 16, 當(dāng)且僅當(dāng)?=X0,即X0=1時(shí)等號(hào)成立所以 ABE的面積的最小值為 16.9. (2022湖南理，21,13分)過(guò)拋物線(xiàn)E:x2=2py(p

10、0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為ki,k 2的兩條不同直線(xiàn)I 1,1 2,且 ki+k2=2,l i與E相交于點(diǎn) A,B,l 2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓 M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在直線(xiàn) 記為l.(1) 假設(shè) k10,k 20,證明：？?7?7?0,k 20,k 1k 2,所以 0k1k2(?+?2)=1.222故?0,所以點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離dJ2?+p?1+p| _?|2?+?1+1|1 2 7?2(?+4)+&故當(dāng)ki_-：時(shí),d取最小值 爲(wèi).由題設(shè)得，黑_q?2_16y.三年模擬A組 20222022年模擬根底題組考點(diǎn)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)2 . . ? ?1. (

11、2022河北普通高中質(zhì)量監(jiān)測(cè),20)拋物線(xiàn)C:y _2px(p0)的焦點(diǎn)F與橢圓C:后+虧_1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A(xo,2)在拋物線(xiàn)上，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)I交拋物線(xiàn)于M,N兩點(diǎn).(1) 求拋物線(xiàn)C的方程以及|AF|的值； 記拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)B,假設(shè)？?茨？?,?BM| 2+|BN|2_40,求實(shí)數(shù) 入的值.解析(1)依題意知，橢圓 C: ?+?_1 中,a2_6,b2_5,故 c2_a2-b2_1,65故F(1,0),故2_1,那么2p_4,故拋物線(xiàn)C的方程為y2_4x.將(x 0,2)代入 y2_4x,解得 X0_1,故 |AF|_1+ $2.(2) 設(shè) I:x_my+1,M(x 1

12、,y 1),N(x 2,y 2), 聯(lián)立得?_芒4消去x,得y2-4my-4_0,? 1,所以?M?-：4m,又?_?；? ?那么(1-x 1,-y _ 入(x 2-1,y 2),即 y1_-入 y 2,代入得(?；?2?4如，消去y2得4m2_X+?2.易得 B(-1,0),那么?_? 1+1,y 1),衲(x 2+1,y 2),那么|BM| 2+|BN| 2_?+*?7?_(x 1+1)2+?+(X2+1) 2+?_?+?+2(x 1+X2)+2+?+?22_(my計(jì)1) + (my2+1) +2(my1+my+2)+2+?+?2_(m +1)( ?+?)+4m(y 1+y2)+82242

13、_(m +1)(16m +8)+4m- 4m+8_16m+40m+16,由 16m+4om+16_4o,解得 m_1,故入+1_4,解得入_2 v3.2. (2022江蘇南京調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線(xiàn)y2_2px(p0)的準(zhǔn)線(xiàn)I與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)M的直 線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 A,B兩點(diǎn).設(shè)A(X1,y 1)到準(zhǔn)線(xiàn)I的距離為d,且d_ p(入0).(1)假設(shè)y1_d_1,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)？?+? ?0,求證：直線(xiàn)AB的斜率為定值.解析(1)由條件知，A(1-?1),代入拋物線(xiàn)方程得p=1.所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2=2x.(2)證明:設(shè)B(x 2,y 2),直線(xiàn)AB的方程為y=

14、k(?+ ；?(k工0).將直線(xiàn)AB的方程代入y2=2px,消去 y 得 k2x2+p(k2-2)x+ ?4?=0,所以xi =-?(?2) -2p l-?2?,x 2 =-?(?-2)+2p l-?2?因?yàn)閐=X p,所以xi+2=入p, 又？?+?斤?0,所以X計(jì)尹入(x 2-xi),所以P=X2-X1= 廠(chǎng)，所以k2=22-2,所以直線(xiàn)AB的斜率為定值B組20222022年模擬提升題組(總分值:30分時(shí)間:15分鐘)解答題(共30分)1.(2022江蘇蘇州自主學(xué)習(xí)測(cè)試)拋物線(xiàn)C的方程為y2=2px(p0),點(diǎn)R(1,2)在拋物線(xiàn)C上.(1)求拋物線(xiàn)C的方程； 過(guò)點(diǎn)Q(1,1)作直線(xiàn)交拋物

15、線(xiàn) C于不同于R的兩點(diǎn)A,B,假設(shè)直線(xiàn)AR,BR分別交直線(xiàn)l:y=2x+2于M,N兩點(diǎn)，求 |MN|最小時(shí)直線(xiàn)AB的方程.解析 (1) 點(diǎn)R(1,2)在拋物線(xiàn)C上， 2p=4,p=2, 拋物線(xiàn) C的方程為y2=4x.(2)顯然直線(xiàn)AB的斜率存在且不為 0.設(shè)A(X1,y1),B(x 2,y 2),直線(xiàn)AB的方程為x=m(y- 1)+1(m0). 由?=?1) + 消去 x,整理得 y2-4my+4(m-1)=0. ? + ? = 4m, ? ?= 4(m-1).設(shè)直線(xiàn)AR的方程為y=k1(x-1)+2, 由?= 2?+- 2) + 2,得點(diǎn)m的橫坐標(biāo)?-2 ?-24.?2?-2 ?又幻=帀=賀

16、=?莎吧 - 同理，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xn=-?.-2|y 2-y 1|= (?+ ?)2-4?=4?-m + 1 =v5|x M-x n|= v51-?+ ?| =2v5|?1|令 m-1=t,t 豐 0,貝U m=t+1,|MN|=2 擊+?=28?+ ?+ 1.|MN|=2 帖V(?+ 1)+ 4V15,當(dāng)t=-2,即m=-1時(shí),|MN|的最小值為 5,此時(shí)直線(xiàn) AB的方程為x+y-2=0.2.(2022江蘇常州高級(jí)中學(xué)調(diào)研,23)假設(shè)拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 0,其圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,2). (1)求拋物線(xiàn)C的方程； 過(guò)點(diǎn)M乍拋物線(xiàn)C的兩條弦MA,MB設(shè)MA,MB所在直線(xiàn)的斜率

17、分別為ki,k2,當(dāng)ki,k2變化且滿(mǎn)足ki+k2=-1時(shí)，證明直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).解析(1)由題意可設(shè)所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,因?yàn)閽佄锞€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(2,2),故 22=2pX2 ? 2p=2,從而 y2=2x. 拋物線(xiàn)的弦 MA,MB與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，從而它們所在直線(xiàn)的斜率k1,k2滿(mǎn)足匕工0水2工0,設(shè)A(xA,y a),B(x B,y b),由? = 2x,(2-2?)2 y?2 = ?(x-2),得 xA=(r,y a=?V2,同理 xB=(,y B=?-2,2(2-2?)22?-22 (? -2) - (? -2) =0,從而A,B所在直線(xiàn)的方程為： 【?(

18、詩(shī)-2)【?F-?F- x-由 k1+k2=-1,可得:?(x+2y+2)+ ?(x+2y+2)-(y+4)k1=0,因?yàn)?k1 R,所以?+ ：?；+2 = 解得 x=6,y=-4,所以直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-4).C組 20222022年模擬方法題組方法直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系1.(2022蘇北三市三模,22)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)F(1,0),直線(xiàn)x=-1與動(dòng)直線(xiàn)y=n的交點(diǎn)為M,線(xiàn)段MF 的中垂線(xiàn)與動(dòng)直線(xiàn) y=n的交點(diǎn)為P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作曲線(xiàn)E的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,求證：/ AMB的大小為定值.My0F解析 (1)因?yàn)橹本€(xiàn)y=n與x=-1垂直，所以MP為點(diǎn)P到直線(xiàn)x=-1的距離. 連結(jié)PF,因?yàn)镻為線(xiàn)段MF的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)y=n的交點(diǎn)，所以 |MP|=|PF|.所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn).其焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)為x=-1.所以軌跡E的方程為y2=4x. 證明：由題意知，過(guò)點(diǎn)M(-1,n)的切線(xiàn)斜率存在，設(shè)切線(xiàn)方程為y-n=k(x+1)