高中精品-數(shù)學：求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析

1、3.3遞推數(shù)列一、基本知識簡述1有關概念：我們在研究數(shù)列an時，如果任一項an與它的前一項（或幾項）間的關系可以用一個公式來表示，則此公式就稱為數(shù)列的遞推公式。通過遞推公式給出的數(shù)列，一般我們也稱之為遞推數(shù)列。主要有以下幾種方法：（1） 構造法：通過構造特殊的數(shù)列（一般為等差數(shù)列或等列），利用特殊數(shù)列的通項求遞推數(shù)列的通項.（2） 迭代法：將遞推式適當變形后，用下標較小的項代替某些下標較大的項，在一般項和初始之間建立某種聯(lián)系，從而求出通項.（3） 代換法：包括代數(shù)代換、三角代換等（4） 待定系數(shù)法：先設定通項的基本形式，再根據(jù)題設條件求出待定的系數(shù)。3.思想策略：構造新數(shù)列的思想。4.常見類型

2、： 類型：（一階遞歸）類型II:分式線性遞推數(shù)列:二、例題：例1：，求通項 分析：構造輔助數(shù)列， ，則求通項過程中，多次利用遞推的思想方法以及把一般數(shù)列轉化為等差、等比數(shù)列去討論，從而求出了通項公式。一般形式 已知，其中p,q,a為常數(shù)，求通項同類變式已知數(shù)列滿足，且，求通項分析：（待定系數(shù)），構造數(shù)列使其為等比數(shù)列，即，解得求得歸納：類型：（一階遞歸）其特例為：（1）時, 利用累加法，將，+,+,各式相加，得 +(n2)(2)時,;利用累乘法,（3）時,解題方法：利用待定系數(shù)法構造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列法1：(常數(shù)變易法) 設 則，從而亦即數(shù)列是以為首項，公比為p的等比數(shù)列，從而可得：，

3、 法2：利用成等比數(shù)列求出，再利用迭代或迭另法求出法3：由，則可得 ,從而又可得 即（4）時,兩邊同除以例2：數(shù)列的前n項和為，且，求數(shù)列的通項公式.例3：數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項公式.提示歸納：類型II:分式線性遞推數(shù)列:練習：1.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等

4、變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用練習：2.設二次方程x-x+1=0(

5、nN)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a；例9數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設公差為，由題意得，.（2）若，時，故（3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對任意，均有說明：本例復習數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關數(shù)列與不等式構建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競賽題遞推數(shù)列是國內外數(shù)學競賽命題的“熱點”之一，由于題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構建新數(shù)列的統(tǒng)一方法解答此類問題，基本思路是根據(jù)題設提供的信息，構建新的數(shù)列，建立新數(shù)列與

6、原數(shù)列對應項之間的關系，然后通過研究新數(shù)列達到問題解決之目的。其中，怎樣構造新數(shù)列是答題關鍵。1 求通項求通項是遞推數(shù)列競賽題的常見題型，這類問題可通過構建新數(shù)列進行代換，使遞推關系式簡化，這樣就把原數(shù)列變形轉化為等差數(shù)列、等比數(shù)列和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。例1、數(shù)列中，。求。（1981年第22屆IMO預選題）分析 本題的難點是已知遞推關系式中的較難處理，可構建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡變形。解：構建新數(shù)列，使則 ， ，即化簡得 ，即 數(shù)列 是以2為首項，為公比的等比數(shù)列。 即 2 證明不等式這類題一般先通過構建新數(shù)列求出通項，然后

7、證明不等式或者對遞推關系式先進行巧妙變形后再構建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡化的新數(shù)列滿足的關系式證明不等式。例2、設， ，求證：。（1990年匈牙利數(shù)學奧林匹克試題）分析 利用待證的不等式中含有及遞推關系式中含有這兩個信息，考慮進行三角代換，構建新數(shù)列，使，化簡遞推關系式。證明：易知，構建新數(shù)列，使，則 ，又 ， ，從而 因此，新數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列?？紤]到當時，有 。所以，注：對型如 ，都可采用三角代換。3 證明是整數(shù)這類題把遞推數(shù)列與數(shù)論知識結合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構建新數(shù)列，找到新的遞推關系式直接解決，或者再進行轉化，結合數(shù)論知識解決。例3、設數(shù)列滿足， 求證： 。

8、（中學數(shù)學教學參考2001年第8期第53頁，高中數(shù)學競賽模擬試題）分析 直接令，轉化為證明 證明：構建新數(shù)列，令則 ，代入 整理得 從而 于是 由已知，由上式可知，依次類推， ，即。例4、設r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下： ， 求證：。（1992年中國臺北數(shù)學奧林匹克試題）分析 把條件變形為比較與 前的系數(shù)及與 的足碼，考慮到另一項為，等式兩邊同乘以，容易想到構新數(shù)列，使。證明：由已知得構建新數(shù)列，則， 又 | | ，從而 。4 解決整除問題一般通過構建新數(shù)列求出通項，再結合數(shù)論知識解決，也可用數(shù)學歸納法直接證明。例5、設數(shù)列滿足，對一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學奧林匹克試題）分析 變形遞推關系式為，就容易想到怎樣構建新數(shù)列了。解：由已知構建新數(shù)列 則， 從而，當時，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值為，8，及的一切自然數(shù)。5 證明是完全平方數(shù)這類題初看似乎難以入手，但如能通過構建新數(shù)列求出通項，問題也就迎刃而解了。例6、設數(shù)列和滿足，且 求證：是完全平方數(shù)。（2000年全國高中聯(lián)賽加試題）分析 先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數(shù)項6，就可以利用特征根方法求通項，因此可令，易求得。證明：由式得， 代入得化為構建新數(shù)列，且，由特征方程 得兩根，所以 當，1時，有解得：則 則因為 為正偶數(shù)，所以，是完全