三角恒等變換綜合

1、三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開課和精品資料。三角恒等變換綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2、能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3、能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4、能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】簡(jiǎn)單的三角恒等變換三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)公式倍角公式【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：兩角和、差的正、余弦、正切公式= ； ； ；要點(diǎn)詮釋： 1公式的適用條件(定義域)

2、 ：公式、對(duì)任意實(shí)數(shù)，都成立，這表明、是R上的恒等式；公式中2正向用公式、，能把和差角的弦函數(shù)表示成單角，的弦函數(shù)；反向用，能把右邊結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開式化簡(jiǎn)為和差角 的弦函數(shù)公式正向用是用單角的正切值表示和差角的正切值化簡(jiǎn)要點(diǎn)二：二倍角公式1. 在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式： ； ； 要點(diǎn)詮釋：1在公式中，角沒有限制，但公式中，只有當(dāng)時(shí)才成立；2. 余弦的二倍角公式有三種：；解題對(duì)應(yīng)根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用3. 二倍角公式不僅限于2和的二倍的形式，其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個(gè)角相對(duì)二倍關(guān)系

3、，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運(yùn)用這些公式的關(guān)鍵要點(diǎn)三：二倍角公式的推論升冪公式：， 降冪公式：； ； .要點(diǎn)四：三角恒等變換的基本題型三角式的化簡(jiǎn)、求值、證明是三角恒等變換的基本題型：1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)（1）常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等（2）化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)2三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值

4、：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角3三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明【典型例題】類型一：正用公式例1已知:，求的值.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)椴恢澜撬诘南笙?，所以要?duì)分別討論求的值

5、【解析】由已知可求得.當(dāng)在第一象限而在第二象限時(shí)，.當(dāng)在第一象限而在第三象限時(shí)，.當(dāng)在第二象限而在第二象限時(shí)，.當(dāng)在第二象限而在第三象限時(shí)，.【總結(jié)升華】分類的原則是：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論要逐級(jí)進(jìn)行掌握分類的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解，提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的舉一反三：【變式1】已知，求的值【答案】【解析】例2（2015春 四川雅安期中）已知，且，（1）求的值；（2）已知，且，求【思路點(diǎn)撥】（1）由給出的角的范圍得到，的范圍，從而求得對(duì)應(yīng)角的異名三角函數(shù)值，進(jìn)一步求出的余弦值，由倍角的余弦公式求得的值；（2）

6、由已知求得的正切，再由展開兩角和的正切得的正切值，結(jié)合角的范圍得答案【答案】（1）；（2）【解析】（1），則，；（2），且，舉一反三：【變式1】（2017 陜西長(zhǎng)安區(qū)月考）（1）已知，（0°，90°），求sin（15°）的值（2）已知，且，求的值【思路點(diǎn)撥】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（15°+）的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式可求sin（15°）的值（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin的值，求出的范圍，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos然后求出的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），（

7、0°，90°），（2），且，0，【變式2】已知求的值【答案】【解析】角的關(guān)系式：（和差與倍半的綜合關(guān)系），又 于是有.類型二：逆用公式例3.求值：（1）； （2）.【思路點(diǎn)撥】 題目中涉及到的角并非特殊角，而從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)應(yīng)逆用和角公式等先化簡(jiǎn)再計(jì)算（1）利用將視為,將視為，則式子恰為兩角和的正切.【答案】（1）（2）【解析】（1）原式；（2）原式= .【總結(jié)升華】（1）把式中某函數(shù)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換之后，再逆用兩角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所謂“逆用公式”（2）輔助角公式：，其中角在公式變形過程中自然確定. 舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）.【答

8、案】（1）（2）（3）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式【變式2】已知，那么的值為（ ）A B C D 【答案】A； 【解析】，.例4. 求值：（1）；（2）【思路點(diǎn)撥】問題的特征是角存在倍角關(guān)系，且都是余弦的乘積方法是分子分母（分母視為1）同乘以最小角的正弦 【答案】（1）1/4 （2）1/8【解析】（1）原式=；（2）原式= 【總結(jié)升華】此種類型題比較特殊，特殊在：余弦相乘；后一個(gè)角是前一個(gè)角的2倍；最大角的2倍與最小角的和與差是p三個(gè)條件缺一不可另外需要注意2的個(gè)數(shù)應(yīng)看到掌握了這些方法后可解決一類問題，若通過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個(gè)方法舉一反三：【變

9、式】求值：【答案】1/8【解析】原式=類型三：變用公式例5在中，求值：【答案】1【解析】，原式=例6. 化簡(jiǎn)：（1）；(2）【思路點(diǎn)撥】（1）題中首先“化切為弦”，同時(shí)用好“”和“”的互余關(guān)系，注意逆用和角公式化簡(jiǎn)；（2）題初看有“化切為弦”，“降冪”等諸多想法，但首先應(yīng)注意到這個(gè)關(guān)系【答案】（1）1（2）1【解析】（1）原式=（2）原式=【總結(jié)升華】（1）三角變換所涉及的公式實(shí)際上正是研究了各種組合的角（如和差角，倍半角等）的三角函數(shù)與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系因而具體運(yùn)用時(shí)，注意對(duì)問題所涉及的角度及角度關(guān)系進(jìn)行觀察（2）三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到

10、降冪公式：，.舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：（1）；（2）； （3）【答案】（1）4（2）4（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=.【變式2】若，且，則_.【答案】【解析】由，得，.例7已知，求的值【思路點(diǎn)撥】 先分析所求式 ,分子、分母均為已知條件中和差角的展開式的項(xiàng)【答案】【解析】，解得, ，.舉一反三：【變式1】若、是方程的兩根，求的值【答案】【解析】由已知 ，因而應(yīng)將所求式轉(zhuǎn)化成已知的結(jié)構(gòu)， =類型四：三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用例8函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,為圖象的最高點(diǎn),、為圖象與軸的交點(diǎn),且為正三角形.()求的值及函數(shù)的值域;()若,且,求的值.【答案】() ()【解

11、析】()由已知可得: =3cosx+ 又由于正三角形ABC的高為2,則BC=4 所以,函數(shù) 所以,函數(shù) ()因?yàn)?)有 由x0 所以, 故 【總結(jié)升華】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)同三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力,考查樹形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 舉一反三：【變式1】（2015 湖南岳陽模擬）已知函數(shù)（0，m0）的最小值為2，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為（1）求和m的值；（2）若，求的值【答案】（1）=2，；（2）【解析】（1）函數(shù)（0，m0），所以，又由已知函數(shù)f（x）的最小正周期為，所以，=2（2）由（1）得，所以，【變式2】已知向量,函數(shù)的最大值為6.()求;()將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象.