南昌二中高中物理競賽力學(xué)教程第五講 機械振動和機械波

1、物理課件網(wǎng)（）歡迎您！第五講 機械振動和機械波§51簡諧振動vvF回x如果一個物體受到的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即滿足：F回=-K的關(guān)系，那么這個物體的運動就定義為簡諧振動根據(jù)牛頓第二是律，物體的511、簡諧振動的動力學(xué)特點a=加速度離平衡位置的位移大小成正比，方何相反?，F(xiàn)有一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，上端固定在P點，下端固定一個質(zhì)量為m的物體，物體平衡時的位置記作O點?，F(xiàn)把物體拉離O點后松手，使其上下振動，如圖5-1-1所示。當(dāng)物體運動到離O點距離為x處時，有式中因此 F回K=-mm，因此作簡諧振動的物體，其加速度也和它偏F回=F-mg=k(x0+x)-mg

2、 x0為物體處于平衡位置時，彈簧伸長的長度，且有kx0=mg， 圖5-1-1F回=kx說明物體所受回復(fù)力的大小與離開平衡位置的位移x成正比。因回復(fù)力指向平衡位置O，而位移x總是背離平衡位置，所以回復(fù)力的方向與離開平衡位置的位移方向相反，豎直方向的彈簧振子也是簡諧振動。注意：物體離開平衡位置的位移，并不就是彈簧伸長的長度。512、簡諧振動的方程由于簡諧振動是變加速運動，討論起來極不方便，為此?？梢胍粋€連續(xù)的勻速圓周運動，因為它在任一直徑上的分運動為簡諧振動，以平衡位置O為圓心，以振幅A為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，如圖5-1-2，設(shè)有一質(zhì)點在參考圓上以角速度w作勻速圓周運動，它在開始時與O的連

3、線跟x軸夾角為j0,那么在時刻t，參考圓上的質(zhì)點與O的連線跟x的夾角就成為j=wt+j0，它在x軸上的投影點的坐標(biāo) 圖5-1-2x=Acos(wt+j0) （2）這就是簡諧振動方程，式中j0是t=0時的相位，稱為初相：wt+j0是t時刻的相位。 參考圓上的質(zhì)點的線速度為Aw，其方向與參考圓相切，這個線速度在x軸上的投影是0） （3）這也就是簡諧振動的速度 v=-Awcos(wt+j參考圓上的質(zhì)點的加速度為Aw，其方向指向圓心，它在x軸上的投影是物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！ 2高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波2a=-Awcos(wt+

4、j0） （4）這也就是簡諧振動的加速度由公式（2）、（4）可得a=-w2x由牛頓第二定律簡諧振動的加速度為a=Fk=-xmm因此有w2=km （5）簡諧振動的周期T也就是參考圓上質(zhì)點的運動周期，所以T=2pm=2p×wk513、簡諧振動的判據(jù)物體的受力或運動，滿足下列三條件之一者，其運動即為簡諧運動：物體運動中所受回復(fù)力應(yīng)滿足 F=-kx；2物體的運動加速度滿足 a=-wx；0。 物體的運動方程可以表示為事實上，上述的三條并不是互相獨立的。其中條件是基本的，由它可以導(dǎo)出另外兩個條件和。§5.2 彈簧振子和單擺簡諧振動的教學(xué)中經(jīng)常討論的是彈簧振子和單擺，下面分別加以討論。52

5、1、彈簧振子彈簧在彈性范圍內(nèi)胡克定律成立，彈簧的彈力為一個線性回復(fù)力，因此彈簧振子的運動是簡諧振動，振動周期 x=Acos(wt+j)T=2pmk。 （1）恒力對彈簧振子的作用比較一個在光滑水平面上振動和另一個豎直懸掛振動的彈簧振子，如果m和k都相同（如圖5-2-1），則它們的振動周期T是相同的，也就是說，一個振動方向上的恒力不會改變振動的周期。 圖5-2-1如果在電梯中豎直懸掛一個彈簧振子，彈簧原長l0，振子的質(zhì)量為m=1.0kg，電梯靜止時彈簧伸長Dl=0.10m，從t=0時，開始電梯以g/2的加速度加速下降t=ps,然后又以g/2加速減速下降直至停止試畫出彈簧的伸長Dl隨時間t變化的圖線

6、。由于彈簧振子是相對電梯做簡諧運動，而電梯是一個有加速度的非慣性系，因此要考慮彈簧振子所受到的慣性力f。在勻速運動中，慣性力是一個恒力，不會改變振子的振動周期，物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波振動周期因為k=mg/Dl，所以 T=2p/w=2p/kmT=2pDlg=0.2p(s)因此在電梯向下加速或減速運動的過程中，振動的次數(shù)都為n=t/T=p/0.2p=5(次)當(dāng)電梯向下加速運動時，振子受到向上的慣性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在的地方，同樣，當(dāng)電梯向下減速運動時，振子的平衡

7、位置在的地方。在電梯向下加速運動期間，振子正好完成5次全振動，因此兩個階段內(nèi)振子的振幅都是Dl/2。彈簧的伸長隨時間變化的規(guī)律如圖5-2-2所示，讀者可以思考一下，如果電梯第二階段的勻減速運動不是從5T時刻而是從4.5T時刻開始的，那么Dlt圖線將是怎樣的？ （2）彈簧的組合 設(shè)有幾個勁度系數(shù)分別為k1、k2kn的輕彈簧串聯(lián)起來，組成一個新彈簧組，當(dāng)這個新彈簧組在F力作用下伸長時，各彈簧的伸長為x1，那么總伸長i=1各彈簧受的拉力也是F，所以有 nDl1=1mg/k=Dl/22 Dl2=3mg/k=3Dl/22 2x=åxi xi=F/kii=1故根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù)

8、 圖5-2-2x=Fån1kik=F/xi=1即得如果上述幾個彈簧并聯(lián)在一起構(gòu)成一個新的彈簧組，那么各彈簧的伸長是相同的。要使各彈簧都伸長x，需要的外力 1/k=ån1ki 圖5-2-3F=åkix=xåkii=1i=1nn物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù)nFk=åkixi=1導(dǎo)出了彈簧串、并聯(lián)的等效勁度系數(shù)后，在解題中要靈活地應(yīng)用，如圖5-2-3所示的一個振動裝置，兩根彈簧到底是并聯(lián)還是串聯(lián)？這里我們必須抓住彈簧串并聯(lián)

9、的本質(zhì)特征：串聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧受力相同；并聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧形變相同。由此可見圖5-2-3中兩根彈簧是串聯(lián)。當(dāng)m向下偏離平衡位置Dx時，彈簧組伸長了2 Dx，增加的彈力為F=2Dxk=2Dxm受到的合外力（彈簧和動滑輪質(zhì)量都忽略） k1k2k1+k2SF=2´2Dx所以m的振動周期 k1k24kk=12Dxk1+k2k1+k2m(k1+k2)4k1k2m(k1+k2)pk1k2 = T=2p 再看如圖5-2-4所示的裝置，當(dāng)彈簧1由平衡狀態(tài)伸長Dl1時，彈簧2由平衡位置伸長了Dl2，那么，由桿的平衡條件一定有（忽略桿的質(zhì)量）k1·Dl1a=k2Dl2bDl2=k1

10、a××Dl1k2b由于彈簧2的伸長，使彈簧1懸點下降 ak1a2Dx¢=Dl2=×2×Dl1bk2b因此物體m總的由平衡位置下降了 æk1a2öDx1=Dl1+Dx¢=ççk×b2+1÷÷Dl2è2ø此時m所受的合外力 圖5-2-4k1k2b2SF=k1Dl1=Dx1k1a2+k2b2所以系統(tǒng)的振動周期物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波m(k1a2+k2b2)

11、T=2p2kkb12（3）沒有固定懸點的彈簧振子 質(zhì)量分別為mA和mB的兩木塊A和B，用一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧聯(lián)接起來，放在光滑的水平桌面上（圖5-2-5）。現(xiàn)在讓兩木塊將彈簧壓縮后由靜止釋放，求系統(tǒng)振動的周期。想象兩端各用一個大小為F、方向相反的力將彈簧壓縮，假設(shè)某時刻A、B各偏離了原來的平衡位置xA和xB，因為系統(tǒng)受的合力始終是零，所以應(yīng)該有mAxA=mBxB A、B兩物體受的力的大小FA=FB=(xA+xB)k 由、兩式可解得 mA+mBxAmBm+mBFB=kAxBmB FA=k由此可見A、B兩物體都做簡諧運動，周期都是 圖5-2-5T=2pmAmBk(mA+mB)此問題也可用另一種

12、觀點來解釋：因為兩物體質(zhì)心處的彈簧是不動的，所以可以將彈簧mBmA+mBl0k看成兩段。如果彈簧總長為l0，左邊一段原長為mA+mB，勁度系數(shù)為mB；右邊mAmA+mBl0k一段原長為mA+mB，勁度系數(shù)為mB，這樣處理所得結(jié)果與上述結(jié)果是相同的，有興趣的同學(xué)可以討論，如果將彈簧壓縮之后，不是同時釋放兩個物體，而是先釋放一個，再釋放另一個，這樣兩個物體將做什么運動？系統(tǒng)的質(zhì)心做什么運動？522、單擺一個質(zhì)量為m的小球用一輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在天花板上的O點，小球擺動至與豎直方向夾q角，其受力情況如圖5-2-6所示。其中回復(fù)力，即合力的切向分力為F回=mg×sinq當(dāng)q<5º時

13、，OAB可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且xsinq=l，所以圖5-2-6物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波F回=mgxlk=mgl）F回=kx（式中說明單擺在擺角小于5º時可近似地看作是一個簡諧振動，振動的周期為T=2p在一些異型單擺中，l和g的含意以及值會發(fā)生變化。（1）等效重力加速度g¢單擺的等效重力加速度g¢等于擺球相對靜止在平衡位置時，指向圓心的彈力與擺球質(zhì)量的比值。如在加速上升和加速下降的升降機中有一單擺，當(dāng)擺球相對靜止在平衡位置時，繩子中張力為m(g&#

14、177;a)，因此該單擺的等效重力加速度為g¢=g±a。周期為ml=2pkg圖5-2-7lT=2pg±a再如圖5-2-7所示，在傾角為q的光滑斜面上有一單擺，當(dāng)擺球相對靜止在平衡位置時，繩中張力為mgsinq，因此單擺lT=2pgsinq 的等效重力加速度為g¢=gsinq，周期為又如一節(jié)車廂中懸掛一個擺長為l的單擺，車廂以加速度aag，此單擺可以在車廂中以O(shè)A為中圖5-2-8在水平地面上運動（如圖5-2-8）。由于小球m相對車廂受到一個慣性力f=ma，所以它可以tga=“平衡”在OA位置，心做簡諧振動。當(dāng)小球相對靜止在平衡位置A處時，繩中張力為ma2+

15、g2，等效重力加速度g¢=a2+g2，單擺的周期T=2pla2+g2（2）等效擺長l¢單擺的等效擺長并不一定是擺球到懸點的距離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。如圖5-2-9中的雙線擺，其等效擺長不是l，而是lsinq，周期物理課件網(wǎng)（）-圖5-2-10高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波T=2p再如圖5-2-10所示，擺球m固定在邊長為L、質(zhì)量可忽略的等邊三角形支架ABC的頂角C上，三角支架可圍繞固定的AB邊自由轉(zhuǎn)動，AB邊與豎直方向成a角。當(dāng)m作小角度擺動時，實際上是圍繞AB的中點D運動，故等效擺長lsing l¢=Lcos300=3L2正因為m繞D點擺

16、動，當(dāng)它靜止在平衡位置時，指向D點的彈力為mgsina，等效重力加速度為gsina，因此此異型擺的周期T=2pl¢3L=2pg¢2gsina（3）懸點不固定的單擺如圖5-2-11，一質(zhì)量為M的車廂放在水平光滑地面上，車廂中懸有一個擺長為l，擺球的質(zhì)量為m的單擺。顯然，當(dāng)擺球來回擺動時，車廂也將作往復(fù)運動，懸點不固定。由擺球相對于車廂的運動是我們熟悉的單擺，故取車廂為非慣性系，擺球受到重力mg，擺線拉力N和慣性力maM的作用，如圖分析擺球N=mgcosq-maMsinq （忽略擺球向心力）回復(fù)力 F=mgsinq+maMcosq 分析車廂： Nsinq=MaM 2因為q很小，

17、所以可認(rèn)為sinq=q，cosq=1，sinq=0則由、式可得 aM=mgqMm)qM 圖5-2-11 把它代入 F=mg(1+擺球偏離平衡位置的位移 x=ql所以因此擺球作簡諧振動，周期 F=mg(M+m)xMIT=2p ml(M+m)g物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波T=2p由周期表達(dá)式可知：當(dāng)M»m時，lg，因為此時M基本T<2p不動，一般情況下，lg§5.3 振動能量與共振5. 31、簡諧振動中的能量以水平彈簧振子為例，彈簧振子的能量由振子的動能和彈簧的彈性勢能構(gòu)成，在振

18、動過程中，振子的瞬時動能為：EK=121mv=mA2w2sin2(wt+j)22 121kx=mw2A2cos2(wt+j)22振子的瞬時彈性勢能為：Ep=振子的總能量為：E=EK+Ep=11mw2A2=kA22212kA簡諧振動中，回復(fù)力與離開平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即2是恒量，因此振動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒。如以豎直彈簧振子為例，則彈簧振子的能量由振子的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能構(gòu)成，盡管振動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，但能量的研究仍比較復(fù)雜。由于此時回復(fù)力是由彈簧的彈力和重力共12kx2同提供的，而且是線性力（如圖5-3-1），因此，回復(fù)力做的功（圖中陰影部分的面

19、積）也就是系統(tǒng)瞬時彈性勢能和重力勢能之和，所以類比水平彈簧振子瞬時彈性勢能表達(dá)式，式中x應(yīng)指振子離開平衡位圖5-3-1置的位移，則Ep就是彈性勢能和重力勢能之和，不必分開研究。簡諧振動的能量還為我們提供了求振子頻率的另一種方法，這種方法不涉及振子所受的力，在力不易求得時較為方便，將勢能寫成位移的函數(shù)，即另有Ep=2Ep12kxk=22x。 ，2Epkw=mmx2也可用總能量和振幅表示為物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！圖5-3-2高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波w=2Epmx2532、阻尼振動簡諧振動過程的機械能是守恒的，這類振動一旦開始

20、，就永不停止，是一種理想狀態(tài)。實際上由于摩擦等阻力不可完全避免，在沒有外來動力的條件下，振動總會逐漸減弱以致最后停息。這種振幅逐漸減小的振動，稱為阻尼振動。阻尼振動不是諧振動。振動模型與運動規(guī)律如圖5-3-2所示，為考慮阻尼影響的振動模型，c為阻尼器，粘性阻尼時，阻力R=-cv，設(shè)m運動在任一x位置，由SF=max有max=-kx-cvx分為 ax+2nvx+wx=0 （17）式中這里參考圖方法不再適用，當(dāng) C 較小時，用微分方程可求出振體的運動規(guī)律，如圖4-22所示。阻尼對振動的影響由圖5-3-3可見，阻尼使振幅逐漸衰減，直至為零。同時也伴隨著振動系統(tǒng)的機械能逐漸衰減為零。 2n=c2m c

21、=n2m此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰減愈快。而增大質(zhì)量m可使n減小。所以，為了減小阻尼，單擺的重球及彈簧振子往往選用重球。常量阻力下的振動例1、如圖5-3-4所示，倔強系數(shù)為250g/cm的彈簧一端固定，另端連結(jié)一質(zhì)量為30g的物塊，置于水平面上，摩擦因數(shù)m=14，現(xiàn)將彈簧拉長1cm后靜止釋放。試求：（1）物塊獲得的最大速度；（2）物塊經(jīng)過彈簧原長位置幾次后才停止運動。 解：振體在運動中所受摩擦阻力是與速度方向相反的常量力，并不斷耗散系統(tǒng)的機械能，故不能像重力作用下那樣，化為諧振動處理。（1）設(shè)首次回程中，物塊運動至彈簧拉力等于摩擦力的x位置時，達(dá)最大速度物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物

22、理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波1mgm=0.03(cm)x=k250g由 kx=mgm， 30g´再由能量守恒：12112kx0=mgm(1-0.03)+k´0.032+mvmax22 2代入已知數(shù)據(jù)得vmax=485(cm/s)¢，則 （2）設(shè)物體第一次回程中，彈簧的最大壓縮量為x11212¢=mgm(x0+x1¢)kx0-kx12 22mgm¢=x0-x1k再設(shè)物體第一次返回中，彈簧的最大拉伸量為x1，則1212¢-kx1=mgm(x1¢+x1)kx122

23、2mgm¢-x1=x1k可見振體每經(jīng)過一次彈簧原長位置，振幅減小是相同的，且均為2mgm=k2´30´1000´1=3(cm)250´1000501=16L0.04(cm)<0.06cm3/50而故物體經(jīng)過16次彈簧原長位置后，停止在該處右方。533 受迫振動在周期性策動外力作用下的振動。例如：揚聲器的發(fā)聲，機器及電機的運轉(zhuǎn)引起的振動。1、振動模型及運動規(guī)律如圖5-3-5所示，為策動外力作用下的振動模型。其中，阻力R=-cv，為常見的粘性阻尼力。策動力F=Hcospt，為簡諧力時。由SF回=max，有max=Hcospt-cvx-kx化為

24、標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)式 ax+2nvx+wx=hcosptcw=n=2m式中 ，2kHh=m，mpt圖5-3-5物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波+=瞬態(tài)振動靜態(tài)振動受迫振動（a ） （b） （c）圖5-3-6由微分方程理論可求得振子的運動規(guī)律（2）受迫振動的特性在阻尼力較小的條件下，簡諧策動力引起的振動規(guī)律如圖5-3-6所示。在這個受迫振動過程由兩部分組成：一部分是按阻尼系統(tǒng)本身的固有頻率所作的衰減振動，稱為瞬態(tài)振動（圖（a）；另一部分按策動力頻率所作的穩(wěn)定振動（圖（b）。在實際問題中，瞬態(tài)振動很快消失，穩(wěn)態(tài)振動顯得更

25、加重要。穩(wěn)態(tài)振動的頻率與系統(tǒng)本身的固有頻率無關(guān)，其振幅與初位相也不由初始條件確定，而與策動頻率p密切相關(guān)。534、共振當(dāng)策動力頻率p接近于系統(tǒng)的固有頻率w時受迫振動振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象。 如圖5-3-7所示的一組曲線，描述了不同阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅A隨策動力頻率p改變而引起的變化規(guī)律。由圖可見： 1、當(dāng)p接近w時振幅最大，出現(xiàn)共振。 2、阻尼越小，共振越大。3、p®0時，振幅就是靜力偏移，即 A0=4、p>>w時，振體由于慣性，來不及改變運動，處于 圖5-3-7靜止?fàn)顟B(tài)。§5.4 振動的合成若一個物體同時受到兩個或幾個周期性策動力的作用，在一般情況下其中一個力的存

26、在不會對另外一個力產(chǎn)生影響，這時物體的振動就是它在各個策動力單獨作用下產(chǎn)生的振動相互疊加后的振動，由各策動力單獨產(chǎn)生的振動來求它們疊加后的振動，叫振動的合成。5. 41、 同方向、同頻率兩簡諧運動的合成當(dāng)一個物體同時參與同方向的兩個振動時，它在某一時刻的位移應(yīng)為同一時刻兩個振動的位移的代數(shù)和。當(dāng)兩振動的頻率相同時，設(shè)此兩振動的位移分別為 Hk x1=A1cos(wt+j1)物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波x2=A2cos(wt+j2)則合振動的位移應(yīng)為x=x1+x2=A1cos(wt+j1)+A2cos(

27、wt+j2)=A1coswtcosj1-A1sinwtsinj1+A2coswtcosj2-A2sinwtsinj2=(A1cosj1+A2cosj2)coswt-(A1sinj1+A2sinj2)sinwt=Acosjcoswt-Asinjsinwt=Acos(wt+j)上式中A=(A1cosj1+A2cosj2)2+(A1sinj1+A2sinj2)222(2-j1)+A2 =A1+2A1A2cosjtgj=A1sinj1+A2sinj2A1cosj1+A2cosj2根據(jù)以上結(jié)論，進(jìn)一步可以看到若j2-j1=0或2kp（k為整數(shù)），則cos(j2-j1)=1A=即合振動的振幅達(dá)到最大值，此

28、時合振動的初位相與分振動的初位相同（或相差2kp） 若j2-j1=p或(2k+1)p 則 2A12+2A1A2+A2=A1+A2cos(j2-j1)=-12A=A12-2A1A2+A2=A1-A2即合振動的振幅達(dá)到最小值。此時合振動的初位相取決于A1和A2的大小。即當(dāng)A1>A2時，合振動的初位相等于j1(j1+2kp)；當(dāng)A2>A1時，合振動的初位相等于j2(或j2+2kp)；當(dāng)A2=A1時，則A=0，物體不會發(fā)生振動。一般情況下，j2-j1可以任意值，合振動的振幅A的取值范圍為A1+A2AA1-A25. 42、 同方向、頻率相近的兩振動的合成設(shè)物體同時參與兩個不同頻率的簡諧運動，

29、例如x1=A1cosw1tx2=A2cosw2t為簡單起見，我們已設(shè)j2=j1=0，這只要適當(dāng)?shù)剡x取時間零點，是可以做到的。如果再設(shè)A1=A2=A，則合振動物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波x=x1+x2=A(cosw1t+cosw2t) w-w2w+w2=2Acos1tcos1t22由于w1和w2相差不多，則有（w1+w2）比（w1-w2）大很多，由此，上一合振動可以看成是振幅為2Acosw1-w22t（隨時間變化）。角頻w1+w22率為的振動。這種振動稱為“拍”。拍的位移時間圖像大致如圖5-4-1所示。

30、由圖可見，振幅的變化周期T¢為2Acosw1-w22t變化周期的一半，即 圖5-4-1122pT¢=××2p=2w1-w21-w2 1w-w2v¢=1=v1-v2T¢2p或拍頻為w¢=w1-w2543、同頻率相互垂直的兩個簡諧振動的合成 當(dāng)一物體同時參與相互垂直的振動時x=A1cos(wt+j1)y=A2cos(wt+j2)合振動的軌跡在直角坐標(biāo)系中的方程為x2y22xy2+-cos(j-j)=sin(j2-j1)2122A1A2A12 （6-17） 當(dāng)j2-j1=2Kp時，(K=0,±1,±2LL)x2

31、y22xy+2-=0A12A2A12y=得 A2xA1 A2合成結(jié)果仍為簡諧振動（沿斜率為A1的直線作簡諧振動）。 當(dāng)j2-j1=(2K+1)p時，(K=0,±1,±2LL) x2y2+2=12A1A2物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波可見，當(dāng)j2-j1=p3或p22時，合振動均為橢圓振動，但兩者旋轉(zhuǎn)方向不同。§5.5機械波551、機械波機械振動在介質(zhì)中的傳播形成機械波，波傳遞的是振動和能量，而介質(zhì)本身并不遷移。 自然界存在兩種簡單的波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向垂直時，稱為橫

32、波；與傳播方向一致時，叫縱波，具有切變彈性的介質(zhì)能傳播橫波；具有體變彈性的介質(zhì)可傳播縱波，固體液體中可以同時有橫波和縱波，而在氣體中一般就只有縱波存在了。在波動中，波上相鄰兩個同相位質(zhì)點間的距離，叫做一個波長，也就是質(zhì)點作一個全振動時，振動傳播的距離。由于波上任一個質(zhì)點都在做受迫振動，因此它們的振動頻率都與振源的振動頻率相等，也就是波的頻率，在波動中，波長l、頻率f與傳播速度v之間滿足v=lf=lT （1）注意：波速不同于振動質(zhì)點的運動速度，波速與傳播介質(zhì)的密度及彈性性質(zhì)有關(guān)。552、波動方程如圖5-5-1所示，一列橫波以速度v沿x軸正方向傳播，設(shè)波源O點的振動方程為： y=Acos(wt+j

33、0)在x軸上任意點P的振動比O點滯后時間tp=xv，即xéùw(t-)+j0úêvû，當(dāng)O點相位為(wt+j0)時，P點的相位為ëlf=T，P點振動方程為 由w=2pf，v=lf，xéùy=Acosêw(t-)+j0úvëû圖5-5-1這就是波動方程，它可以描述平面簡諧波的傳播方向上任意點的振動規(guī)律。當(dāng)波向x軸負(fù)方向傳播時，（2）式只需改變v的正負(fù)號。由波動方程，可以（1）求某定點x1處的運動規(guī)律l 2p2px=Acos(t+j0-)Tl =Acos(2pft-j0-2px)

34、物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波將x=x1代入式（6-14），得x2pt+j0-2p1)Tlw(t+j1) =Acos2px1j1=j0-l為x1質(zhì)點作簡諧振動的初相位。 其中y1=A （2）求兩點x1與x2的相位差將x=x2代入（2）式，得兩點x1、x2的相位差Dj=j1-j2=2px2-x1l若x2-x1=l2×2k(k為整數(shù)），則Dj=2kp，則該兩點同相，它們的位移和速度都相2為整數(shù)）同。若，則Dj=(2k+1)p，則該兩點相位相反，它們的位移和速度大小相同，速度方向剛好相反。球面波的波

35、動方程與平面波相比，略有不同，對于球面波，其振幅隨傳播距離的增加而衰減，設(shè)離波源距離為r1處的振幅為A1，離波源距離為r2處的振幅為A2。則有 x2-x1=(2k+1)l(kA1r1=A2r2即振幅與傳播的距離成反比球面簡諧波的方程為式中A是與波源的距離為一個單位長度處的振幅。3、波的疊加和干涉 當(dāng)空間存在兩個（或兩個以上）振源發(fā)出的波時，空間任一點的擾動是各個波在該點產(chǎn)生的擾動的矢量和，這叫做波的疊加原理。當(dāng)有頻率相同、振動方向相同的兩列波在空間疊加時，會出現(xiàn)某些地方振動增強，某些地方振動減弱的現(xiàn)象，叫做波的干涉，這樣的兩列波叫相干波。 圖5-5-2 y(r,t)=A2pcos(wt-r)r

36、l 設(shè)有兩列相干波自振源S1、S2發(fā)出，兩振源的位相相同，空間任一點P至S1的距離為r1，至S2的距離為r2（圖5-5-2），則兩列波在P點產(chǎn)生的振動的相位差為Dj=2pr2-r1l物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波當(dāng)Dj=k×2p(k為整數(shù)），即當(dāng)波程差Dr=r2-r1=2k×l2時，P點的合振動加強；當(dāng)Dj=(2k+1)p，即當(dāng)波程差Dr=r2-r1=(2k+1)l2時，P點的合振動減弱，可見P點振動的強弱由波程差Dr=r2-r1決定，是P點位置的函數(shù)。 總之，當(dāng)某一點距離兩同位相波

37、源的波程差等于零或者是波長的整數(shù)倍時，該點振動的合振幅最大，即其振動總是加強的；當(dāng)某一點距離兩同位波源的波程差等于半波長或半波長的奇數(shù)倍時，該點振動的合振幅最小，即其振動總是削弱的。4、波的反射、折射和衍射當(dāng)波在傳播過程中遇到的兩種介質(zhì)的交界面時，一部分返回原介質(zhì)中，稱為反射波；另一部分將透入第二種介質(zhì)繼續(xù)傳播，稱為折射波，入射波的傳播方向與交界面的法線成圖5-5-3i角，（i叫入射角），反射波的傳播方向與交界面的法線成i¢角（i¢叫反射角）。折射波的傳播方向與法線成g角（g叫折射角），如圖5-5-3，則有i=i¢sinic1=sinrc2式中c1為波在入射介質(zhì)中

38、的傳播速度，c2為波在折射 圖5-5-4介質(zhì)中的傳播速度，（1）式稱為波的反射定律，（2）式稱為波的折射定律。弦上的波在線密度不同的兩種弦的連結(jié)點處要發(fā)生反射，反射的波形有所不同。設(shè)弦上有一向上脈沖波，如圖5-5-4，傳到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振動得以繼續(xù)延續(xù)下去，故反身波仍為向上的脈沖波，只是波形左右顛倒。當(dāng)弦上有向上脈沖波經(jīng)固定端反射時，固定端也可看成新的“振源”，由牛頓第三定律，固定端對弦的作用力方向與原脈沖對固定端的作用力方向相反，故反射脈沖向下，即波形不僅左、右顛倒，圖5-5-5上、下也顛倒，這時反射波可看成入射波反向延伸的負(fù)值（如圖5-5-5），將周期波看成一系列連

39、續(xù)脈沖，周期波經(jīng)自由端或固定端的反射也可由此得出。波在傳播過程中遇到障礙物時，偏離原來的傳播方向，傳到障礙物“陰影”區(qū)域的現(xiàn)象物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波叫波的衍射。當(dāng)障礙物或孔的尺寸比波長小，或者跟波長相差不多時，衍射現(xiàn)象比較明顯；當(dāng)障礙物或孔的尺寸比波長大的時候，衍射現(xiàn)象仍然存在，只是發(fā)生衍射的部分跟直進(jìn)部分相比，范圍較小，強度很弱，不夠明顯而已。此外，在障礙物或小孔尺寸一定的情況下，波長越長，衍射現(xiàn)象越明顯。565、駐波駐波是頻率相同、振幅相同、振動方向一致、傳播方向相反的兩列簡諧波疊加的結(jié)果，

40、如圖6-5-6，設(shè)弦上傳遞的是連續(xù)的周期波，波源的振動方程為y0=Acoswt向左傳播的入射波表達(dá)式為y1=Acos(wt+2plx) 考慮到入射波和反射波在連接點的振動相位相反，即入射波在反射時產(chǎn)生了p的相位突變，故反射波在反射點的相位為反射波在原點P的相位為因而，反射波的波動方程為 5l設(shè)波源到固定端的距離為4，則入射波傳到反射點時的相位為 2p2p55wt+x=wt-(-l)=wt-pll42 wt-p-p=wt-p725272wt-p-p=wt-6p2p52 y2=Acos(wt-6p-合成波為： lx)=Acos(wt-2plx)y=y1+y2=Acos(wt+2pl x)+Acos

41、(wt-2plx)2p=2Acosx)coswt l2A合成波的振幅為腹的位置為 2plx)與x有 關(guān)，振幅最大處為波腹，振幅最小處為波節(jié)。波2plx=kp物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波2k=0,±1,±2LL如圖5-6-6中的D、即E、F等處。波節(jié)的位置為x=k×l1x=(k+)pl21lx=(k+)22 即k=0,±1,±2LL如圖5-5-7中的O、A、B等處。 相鄰兩波節(jié)（或波腹）之間的間2p圖5-5-6l距為2。不同時刻駐波的波形如圖5-6-7所

42、示，其中實線表示t=0、T、2T時的波形；點線表示t=1T2、3T2時的波形；點劃線表示19t=TT8、8時的波形。圖5-5-7556、多普勒效應(yīng)站在鐵路旁邊聽到車的汽笛聲，發(fā)現(xiàn)當(dāng)列車迎面而來時音調(diào)較靜止時為高，而列車迅速離去時音調(diào)較靜止時為低，此外，若聲源靜止而觀察者運動，或者聲源和觀察者都運動，也會發(fā)生收聽頻率和聲源頻率不一致的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。下面分別探討各種情況下多普勒頻移的公式：（1）波源靜止觀察者運動情形 如圖5-5-8所示，靜止點波源發(fā)出的球面波波面是同心的，若觀察者以速度vD趨向或離開波源，則波動相對于觀察者的傳播速度變?yōu)閏¢=c+vD或c¢=c

43、-vD，于是觀察者感受到的頻率為從而它與波源頻率f之比為f¢=c¢l=c±vDl圖5-5-8物理課件網(wǎng)（）-全力打造物理課件、物理試題、物理教案、物理視頻第一交流平臺！高中物理競賽力學(xué)教程 第五講 機械振動和機械波f¢c±vD=fc（2）波源運動觀察者靜止情形若波源以速度vS運動，它發(fā)出的球面波不再同心。圖5-5-9所示兩圓分別是時間相隔一個周期T的兩個波面。它們中心之間的距離為vST，從而對于迎面而來或背離而去的觀察者來說，有效的波長為l¢=l+vsTl¢¢=lmvST=(cmvS)T觀察者感受到的頻率為 cccf=l¢¢(cmvS)TcmvS因而它與波源頻率f之比為 f¢=圖5-5-9 f¢c=fcmvS（3）波源和觀察者都運動的情形此處只考慮波的傳播方向、波