第34課應(yīng)用型問題

1、1應(yīng)用型問題一般包括以下幾種情況：應(yīng)用型問題一般包括以下幾種情況：(1)方程、不等式的應(yīng)用方程、不等式的應(yīng)用以實際生活中的例子為背景，涉及以實際生活中的例子為背景，涉及方程、不等式等內(nèi)容的問題，這類題目理解起來相對簡單，做方程、不等式等內(nèi)容的問題，這類題目理解起來相對簡單，做起來也相對容易，但數(shù)量間的關(guān)系比較隱蔽；起來也相對容易，但數(shù)量間的關(guān)系比較隱蔽；(2)函數(shù)、統(tǒng)計的應(yīng)用函數(shù)、統(tǒng)計的應(yīng)用以市場經(jīng)濟或日常生活中人們較為關(guān)以市場經(jīng)濟或日常生活中人們較為關(guān)注的熱點問題為背景，涉及函數(shù)、統(tǒng)計等內(nèi)容的問題，這類題注的熱點問題為背景，涉及函數(shù)、統(tǒng)計等內(nèi)容的問題，這類題目往往以文字材料出現(xiàn)，如有關(guān)目往往

2、以文字材料出現(xiàn)，如有關(guān)“打折打折”與與“利潤利潤”等問題；等問題；(3)幾何知識的應(yīng)用幾何知識的應(yīng)用以貼近生活實際和經(jīng)濟建設(shè)等問題為背以貼近生活實際和經(jīng)濟建設(shè)等問題為背景，運用幾何基礎(chǔ)知識為解題手段，考查應(yīng)用能力為目的的一景，運用幾何基礎(chǔ)知識為解題手段，考查應(yīng)用能力為目的的一種題型這類問題要求對實際問題進行分析、計算、比較、抽種題型這類問題要求對實際問題進行分析、計算、比較、抽象、概括為幾何問題來研究，它通常具有探索性象、概括為幾何問題來研究，它通常具有探索性2應(yīng)用型問題的解題途徑：應(yīng)用型問題的解題途徑：對于上述類型的應(yīng)用型問題，一般要求考生仔細通讀題目，特對于上述類型的應(yīng)用型問題，一般要求考

3、生仔細通讀題目，特別是文字材料，從中尋找數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型，加強文字別是文字材料，從中尋找數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型，加強文字語言語言數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)模型等環(huán)節(jié)的訓(xùn)練及思維展現(xiàn)過程數(shù)學(xué)模型等環(huán)節(jié)的訓(xùn)練及思維展現(xiàn)過程3幾種常見應(yīng)用型問題的數(shù)量關(guān)系：幾種常見應(yīng)用型問題的數(shù)量關(guān)系：行程問題：速度行程問題：速度時間路程；時間路程；工程問題：工作效率工程問題：工作效率工作時間工作量；工作時間工作量；營銷問題：銷售額成本營銷問題：銷售額成本(各種費用各種費用)利潤，利潤，進貨價進貨價(1利潤率利潤率)銷售價；銷售價；利率問題：利息本金利率問題：利息本金利率利率時間時間(1稅率稅率)；購物問題：標(biāo)價購物

4、問題：標(biāo)價n折售價，單價折售價，單價數(shù)量總價；數(shù)量總價；統(tǒng)計問題：頻率統(tǒng)計問題：頻率樣本容量頻數(shù)樣本容量頻數(shù)類型一方程、不等式型應(yīng)用題類型一方程、不等式型應(yīng)用題【精選考題 1】 (2013天津)甲、 乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購物超過 100 元后，超出 100 元的部分按 90%收費；在乙商場累計購物超過 50 元后，超出 50 元的部分按 95%收費設(shè)小紅在同一商場累計購物 x 元，其中 x100.(1)根據(jù)題意，填寫下表(單位：元)：累計購物實際花費130290 x在甲商場127在乙商場126(2)當(dāng) x 取何值時，小紅在甲、乙商場的實

5、際花費相同？(3)當(dāng)小紅在同一商場累計購物超過 100 元時，在哪家商場的實際花費少？解析：(1)在甲商場：100(290100)0.9271，100(x100)0.90.9x10；在乙商場：50(29050)0.95278，50(x50)0.950.95x2.5.(2)根據(jù)題意，得 0.9x100.95x2.5，解得 x150.當(dāng) x150 時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同(3)由 0.9x100.95x2.5，解得 x150.由 0.9x100.95x2.5，解得 x150.當(dāng)小紅累計購物大于 150 元時城甲商場實際花費少； 當(dāng)小紅累計購物為150 元時，在甲、乙兩商場的實際花費一樣

6、少；當(dāng)小紅累計購物超過 100 元而不到 150 元時，在乙商場實際花費少點評：(1)本題主要考查一元一次不等式的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用， 難度中等(2)此題中屬常規(guī)題型， 問題較多且有一定難度 涉及方案選擇時應(yīng)與方程或不等式聯(lián)系起來名師點撥解決實際問題時，首先要仔細審題，理清題意，再根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系建立方程或不等式等數(shù)學(xué)模型，從而求解【預(yù)測演練 11】為了倡導(dǎo)節(jié)能低碳的生活，某公司對集體宿舍用電收費作如下規(guī)定：一間宿舍一個月用電量不超過 a(kWh)，則一個月的電費為 20 元；若超過 a(kWh)，則除了交 20 元外，超過部分每千瓦時要交a100元某宿舍 3 月份用電 80 kWh，

7、交電費 35 元；4 月份用電 45 kWh，交電費 20 元(1)求 a 的值；(2)若該宿舍 5 月份交電費 45 元， 則該宿舍當(dāng)月用電量為多少千瓦時？解析：(1)根據(jù) 3 月份用電 80 kWh，交電費 35 元，得20a100(80a)35，即 a280a15000，解得 a30 或 a50.由 4 月份用電 45 kWh，交電費 20 元，得 a45.a50.(2)設(shè) 5 月份用電量為 x(kWh)，由題意，得 452050100(x50)，解得 x100.該宿舍 5 份月用電量為 100 kWh.【預(yù)測演練 12】 某商場促銷方案規(guī)定： 商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的 80%出售，同時，

8、當(dāng)顧客在商場內(nèi)消費滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額消費金額(元)300400400500500600600700700900返還金額(元)3060100130150注：300400 表示消費金額大于 300 元且小于或等于 400 元，其他類同根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如，若購買標(biāo)價為 400 元的商品，則消費金額為 320 元，獲得的優(yōu)惠額為400(180% )30110(元)(1)購買一件標(biāo)價為 1000 元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？(2)如果顧客購買標(biāo)價不超過 800 元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226 元，那么該商品的標(biāo)價至少為多少元？解析：

9、(1)標(biāo)價為 1000 元的商品按 80%的價格出售，消費金額為 800 元，消費金額 800 元在 700900 之間，返還金額為 150 元，顧客獲得的優(yōu)惠額為 1000(180% )150350(元)(2)設(shè)該商品的標(biāo)價為 x 元標(biāo)價不超過 800 元，消費金額不超過 640 元當(dāng)消費金額在 600700 之間時，13020%x226，解得 x480(顯然不符合題意，舍去)當(dāng)消費金額在 500600 之間時，10020%x226，解得 x630.6300.8504，在 500600 之間，故符合題意答：該商品的標(biāo)價至少為 630 元類型二函數(shù)、統(tǒng)計型應(yīng)用題類型二函數(shù)、統(tǒng)計型應(yīng)用題【精選考

10、題 2】(2013江蘇南京)小麗駕車從甲地到乙地， 設(shè)她出發(fā)第 x(min)時的速度為 y(km/h)， 圖341 中折線表示她在整個駕車過程中 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系(1)小麗駕車的最高速度是km/h；(2)當(dāng)20 x30時， 求y與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出小麗出發(fā)第 22 min 時的速度；(3)如果汽車每行駛 100 km 耗油 10 L，那么小麗駕車從甲地到乙地共耗油多少升？方法指導(dǎo)如果物體的運動速度隨著時間均勻增加(或減少)， 那么其在某個時間段內(nèi)的平均速度為該時間段開始時刻的速度與結(jié)束時刻的速度的平均數(shù)例如，由圖像可知，第 5 min 到第 10 min 汽車的速度隨著時

11、間均勻增加，因此汽車在該時間段內(nèi)的平均速度為1260236(km/h)，該時間段行駛的路程為 36105603(km)解析：(1)60由圖可知，第 10 min 到 20 min 之間的速度最高，為7248260(km/h)(2)設(shè) ykxb(k0)，函數(shù)圖象過點(20，60)，(30，24)，20kb60，30kb24，解得k185，b132.y 與 x 之間的關(guān)系式為 y185x132.當(dāng) x22 時，y1852213252.8(km/h)(3)行駛的總路程12(120)56012(1260)105606020106012(6024)30206012(2448)5604845356012(

12、480)56012310738233.5(km)汽車每行駛 100 km 耗油 10 L，小麗駕車從甲地到乙地共耗油 33.5101003.35(L)點評：(1)本題考查一次函數(shù)等的應(yīng)用，難度中等(2)掌握“路程速度時間”這一等量關(guān)系是基礎(chǔ)， 從圖形中準(zhǔn)確獲取信息并利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵名師點撥1函數(shù)類問題常常數(shù)形結(jié)合，建立準(zhǔn)確的函數(shù)模型，找出點的的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式往往是解題的關(guān)鍵2對于統(tǒng)計類問題，讀懂統(tǒng)計圖表、提取解題的有效信息是關(guān)鍵【預(yù)測演練 21】新星電子科技公司積極應(yīng)對市場變化，及時調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線由于受新產(chǎn)品

13、開發(fā)初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來， 公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程(公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算 1 次)公司累積獲得的利潤 y(萬元)與銷售時間第 x(月)之間的函數(shù)關(guān)系式(即前 x 個月的利潤總和 y 與 x 之間的關(guān)系)對應(yīng)的點都在如圖 342 所示的圖象上 該圖象從左至右依次是線段 OA、曲線 AB 和曲線 BC，其中曲線 AB 為拋物線的一部分，點 A 為該拋物線的頂點， 曲線 BC為另一拋物線y5x2205x1230的一部分，且點 A，B，C 的橫坐標(biāo)分別為 4，10，12.(1)求該公司累積獲得的利潤 y(萬元)與時間第 x(月

14、)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)直接寫出第 x 個月所獲得利潤 S(萬元)與時間x(月)之間的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出計算過程)；(3)前 12 個月中，第幾個月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？解析：(1)設(shè)直線 OA 為 ykx，直線過點(4，40)，y10 x.設(shè)曲線 AB 為 ya(x4)240，點 B 在 y5x2205x1230 上，設(shè) B(10，m)，則 m320.又點 B 在 AB 上，320a(104)240，a10.即 y10(x4)24010 x280 x120.y10 x（x1，2，3，4），10 x280 x120（x5，6，7，8，9），5x2205x1230（x

15、10，11，12）.(2)S10（x1，2，3，4），20 x90（x5，6，7，8，9），10 x210（x10，11，12）.(3)由(2)知，當(dāng) x1，2，3，4 時，S 的值恒為10，當(dāng) x5，6，7，8，9 時， S20 x90.當(dāng) x9 時，S 有最大值 90；當(dāng) x10，11，12 時，S10 x210，當(dāng) x10 時，S 有最大值為 110，因此在第 10 個月公司所獲利潤最大，是 110 萬元【預(yù)測演練 22】 許多家庭以燃氣作為燒水做飯的燃料， 節(jié)約用氣是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅，F(xiàn)實的問題某款燃氣灶旋轉(zhuǎn)位置從 0到 90(如圖 343)，燃氣關(guān)閉時，燃氣灶旋轉(zhuǎn)的位置為 0，旋轉(zhuǎn)角

16、度越大，燃氣流量越大，燃氣開到最大時，旋轉(zhuǎn)角度為 90.為測試燃氣灶旋轉(zhuǎn)到不同位置上的燃氣用量，在相同條件下，選擇燃氣灶旋鈕的 5 個不同位置上分別燒開一壺水(當(dāng)旋鈕角度太小時，其火力不能夠?qū)⑺疅_，故選擇旋鈕角度 x的范圍是 18x90)，記錄相關(guān)數(shù)據(jù)得到下表：旋鈕角度(度)2050708090所用燃氣量(L)73678397115(1)請你從所學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、 反比例函數(shù)和二次函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示所用燃氣量y(L)與旋鈕角度x(度)的變化規(guī)律，并說明確定是這種函數(shù)而不是其他函數(shù)的理由，再求出它的解析式；(2)當(dāng)旋鈕角度為多少時，燒開一壺水所用燃氣量最少？最少是多少？(3)某家庭使用此

17、款燃氣灶，以前習(xí)慣把燃氣開到最大， 現(xiàn)采用最節(jié)省燃氣的旋鈕角度，每月平均能節(jié)約燃氣 10m3，求該家庭以前每月的平均燃氣量解析：(1)若設(shè) ykxb(k0)，由7320kb，6750kb，解得k15，b77.y15x77.把 x70 代入，得 y6583，不符合若設(shè) ykx(k0)，由 73k20，解得 k1460，y1460 x.把 x50 代入，得 y29.267，不符合若設(shè) yax2bxc(a0)，則73400a20bc，672500a50bc，834900a70bc，解得a150，b85，c97.y150 x285x97(18x90)把 x80 代入，得 y97，把 x90 代入，得

18、y115，符合題意二次函數(shù)能表示所用燃氣量 y(L)與旋鈕角度 x(度)的變化規(guī)律(2)由(1)，得 y150 x285x97150(x40)265，當(dāng) x40 時，y 取得最小值 65.即當(dāng)旋鈕角度為 40時，燒開一壺水所用燃氣量最少，最少為65 L.(3)設(shè)該家庭以前每月平均用氣量為 a(m3)，由題意，得65115aa10，解得 a23(m3)，即該家庭以前每月平均用氣量為 23 m3.類型三幾何知識綜合型應(yīng)用題類型三幾何知識綜合型應(yīng)用題【精選考題 3】(2012江蘇南京)某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成，如圖 344，在O1和扇形 O2CD 中，O1與 O2C，O2D 分別相切于

19、點 A， B， CO2D60，E， F 是直線 O1O2與O1， 扇形 O2CD的兩個交點，EF24 cm，設(shè)O1的半徑為 x(cm)(1)用含 x 的代數(shù)式表示扇形 O2CD 的半徑；(2)若O1和扇形 O2CD 兩個區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm2和 0.06 元/cm2， 當(dāng)O1的半徑為多少時，該玩具成本最??？點評：(1)本題考查切線的性質(zhì)、扇形面積的計算、解直角三角形等幾何知識以及求二次函數(shù)的最值，難度中等(2)在利用二次函數(shù)求最值時，往往采用配方法解析：(1)如解圖 1，連結(jié) O1A.O1與 O2C，O2D 分別相切于點 A，B，O1AO2C，O2E 平分CO2D，AO2O11

20、2CO2D30.在 RtO1AO2中，sinAO2O1AO1O1O2，O1O2AO1sinAO2O1xsin 302x.FO2EFEO1O1O2243x，即扇形 O2CD 的半徑為(243x)cm.(2)設(shè)該玩具的制作成本為 y 元，則y0.45x20.06（36060）（243x）23600.9x27.2x28.80.9(x4)214.4.當(dāng) x40，即 x4 cm 時，y 的值最小名師點撥幾何型應(yīng)用題常常和解直角三角形，求最值或設(shè)計方案等知識結(jié)合在一起，還有一種是與圖形的面積或邊的長度有關(guān)，解題的關(guān)鍵是將幾何問題代數(shù)化，與函數(shù)、方程或不等式建立聯(lián)系【預(yù)測演練 31】將一直徑為 17 cm 的圓形紙片(圖 345)剪成如圖345所示形狀的紙片， 再將紙片沿虛線折疊得到正方體(圖 345)形狀的紙盒，則這樣的紙盒體積最大為cm3.圖 345解析： 要想使正方體的體積最大，那么圖的中間 4 個正方形組成的矩形的四個頂點就應(yīng)該都在圓上設(shè)正方