人教版初中數(shù)學第十七章勾股定理知識點

1、第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么勾股定理的證明：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 方法三：，化簡得證17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形.3、互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.4、勾股數(shù)：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，

2、即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等例、在RtABC中，a=3，b=4，求c錯解由勾股定理，得c=5診斷 這里默認了C為直角其實，題目中沒有明確哪個角為直角，當ba時，B可以為直角，故此題解答遺漏了這一種情況 當B為直角時，c=例、RtABC中，B=RT，a=，c=，求b.錯解 由勾股定理，得B=診斷 這里錯在盲目地套用勾股定理“a2b2=c2”殊不知，只有當C=Rt時，a2b2=c2才能成立，而當B=Rt時，那么勾股定理的表達式應為a2c2=b2正確解答 B=Rt，由勾股定理知a2c2=b2b=例、假設直角三角形的兩條邊

3、長為6cm、8cm，那么第三邊長為_錯解 設第三邊長為xcm由勾股定理，得x2=6282x=10即第三邊長為10cm診斷 這里在利用勾股定理計算時，誤認為第三邊為斜邊，其實題設中并沒有說明的兩邊為直角邊，第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊正確解法 設第三邊長為xcm假設第三邊長為斜邊，由勾股定理，得x=10(cm)假設第三邊長為直角邊，那么8cm長的邊必為斜邊，由勾股定理，得x=(cm)因此，第三邊的長度是10cm或者cm.例、如圖，RtABC中，BAC=90°，AD是高，AM是中線，且AM=BC=AD.又RTABC的周長是(6+2)cm.求AD錯解 ABC是直角三角形，AC:AB:B

4、C=3:4:5ACABBC=345AC=(6+2)=，AB=(6+2)=，BC=(6+2)=又=AD=(3+)(cm)診斷 我們知道，“勾三股四弦五是直角三角形中三邊關系的一種特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三邊關系上述解法犯了以特殊代替一般的錯誤正確解法AM=MD=又MC=MA，CD=MD點C與點M關于AD成軸對稱AC=AM，AMD=60°=CB=30°，AC=BC，AB=BCAC+AB+BC=BC+BC+BC=6+.BC=4BC=AD， AD=(cm)例、在ABC中，abc=91512， 試判定ABC是不是直角三角形錯解 依題意，設a=9k，b=15k，c=12k

5、(k0)a2b2=(9k)2(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，a2b2c2ABC不是直角三角形診斷 我們知道“如果一個三角形最長邊的平方等于另外兩邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形而上面解答錯在沒有分辨清楚最長邊的情況下，就盲目套用勾股定理的逆定理正確解法 由題意知b是最長邊設a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2c2=(9k)2(12k)2=81k2144k2=225k2b2=(15k)2=225k2，a2c2=b2ABC是直角三角形例、在ABC中，ABAC，AD是中線，AE是高求證：AB2AC2=2BC·DE錯證 如圖AEBC于E，AB2=BE2

6、AE2，AC2=EC2AE2AB2AC2=BE2EC2=(BEEC)·(BEEC)=BC·(BEEC)BD=DC， BE=BCEC=2DCECAB2AC2=BC·(2DCECEC)=2BC·DE診斷 題設中既沒明確指出ABC的形狀，又沒給出圖形，因此，這個三角形有可能是銳角三角形，也可能是直角三角形或鈍角三角形高AE既可以在形內，也可以與一邊重合，還可以在形外，這三種情況都符合題意而這里僅只證明了其中的一種情況，這就犯了以偏概全的錯誤.剩下的兩種情況如下圖.，正確證明由讀者自己完成例、在ABC中，三條邊長分別為a，b，c，a=n，b=-1，c=(n是大于2的偶數(shù)).求證:ABC是直角三角形.錯證1 n是大于2的偶數(shù)，取n=4，這時 a=4，b=3，c=5a2b2=4232=25=52=c2，ABC是直角三角形(勾