江蘇省蘇北四市高三年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

1、2010年江蘇省蘇北四市高三年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上規(guī)定的地方2.答題時，請使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字跡工整，筆跡清楚請按照題號在答題卡上各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效3.請保持卡面清潔，不折疊，不破損考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.已知集合，若，則實數(shù)的值為 .2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則 .3.已知向量，若，則實數(shù)等于 . 第6題4.一個算法的流程圖如圖所示，則輸出的值為 .開

2、始 i1 , S0i <10 輸出SY SS+ iii +1 結(jié)束 N第4題第5題5.如圖是某市歌手大獎賽七位評委為某位選手打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖，若去掉一個最高分和一個最低分，則所剩余分?jǐn)?shù)的方差為 （莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）6.如圖，已知正方體的棱長為，為底面正方形的中心，則三棱錐的體積為 .7. 已知函數(shù)（為常數(shù)且），若在區(qū)間的最小值為，則實數(shù)的值為 .8. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，若對于任意的正整數(shù)總有，且，則 .9. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象.若在上為增函數(shù)，則的最大值為 . 10.已知函數(shù)，其中，則此函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的概率為 .11.對于問題：“已知關(guān)于

3、的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式解：由的解集為，得的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為 ”，給出如下一種解法：參考上述解法，若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為 . xyOFBQP第13題12.如圖，在平面四邊形中，若， 則 .A第12題CDB13.如圖，已知橢圓的方程為：，是它的下頂點，是其右焦點，的延長線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別交于、兩點，若點恰好是的中點，則此橢圓的離心率是 .14.若函數(shù)的定義域和值域均為，則的取值范圍是 _.參考答案：1. ； 2.； 3.； 4.； 5.； 6. ； 7. ；8. ； 9.； 10. ； 11.； 12.； 13. ； 14.二、解答題: 本大題共

4、6小題， 15-17每題14分，18-20每題16分，共計90分請在答題卡指定的區(qū)域內(nèi)作答， 解答時應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟15.在平面直角坐標(biāo)系中，點在角的終邊上，點在角的終邊上，且（1）求的值；（2）求的值解：（1）因為，所以，即，所以，所以6分 （2）因為 ，所以，所以， 又點在角的終邊上，所以， 同理 ，所以14分CBAA1B1C1D16.如圖，在正三棱柱中，點是棱的中點求證：（1）；（2）平面證明：（1）因為三棱柱是正三棱柱，所以平面，又平面，所以， 2分又點是棱的中點，且為正三角形，所以，因為，所以平面，4分又因為平面，所以6分(2)連接交于點，再連接CBAA1B1C1

5、DE 因為四邊形為矩形，所以為的中點，又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面14分17. 設(shè)為數(shù)列的前項和，若（）是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”（1）若數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列是否為“和等比數(shù)列”；（2）若數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，且數(shù)列是“和等比數(shù)列”，試探究與之間的等量關(guān)系解：（1）因為數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，所以，因此2分設(shè)數(shù)列的前項和為，則，所以，因此數(shù)列為“和等比數(shù)列”6分(2) 設(shè)數(shù)列的前項和為，且， 因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以， 所以對于都成立，化簡得，10分 則，因為，所以，因此與之間的等量關(guān)系為14分18.已知拋物線的頂點在

6、坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線的方程為，點在準(zhǔn)線上，縱坐標(biāo)為，點在軸上，縱坐標(biāo)為（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒與一個圓心在軸上的定圓相切，并求出圓的方程。解：（1）設(shè)拋物線的方程為，因為準(zhǔn)線的方程為，所以，即，因此拋物線的方程為 4分（2）由題意可知，,則直線方程為：，即，8分設(shè)圓心在軸上，且與直線相切的圓的方程為，則圓心到直線的距離， 10分即或 由可得對任意恒成立，則有，解得（舍去）14分由可得對任意恒成立，則有，可解得因此直線恒與一個圓心在軸上的定圓相切，圓的方程為.16分19.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁和外壁都是半徑為的四分之一圓弧，分別與圓弧相切于，兩點，且兩組平行墻壁間的走廊

7、寬度都是（1）若水平放置的木棒的兩個端點分別在外壁和上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點設(shè)，試用表示木棒的長度；NMABCDEFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值NMABCDEFGHPS1m1mTQW解：(1)如圖，設(shè)圓弧所在的圓的圓心為，過點作垂線，垂足為點，且交或其延長線與于，并連接，再過點作的垂線，垂足為在中，因為，所以因為與圓弧切于點，所以，在，因為，所以，若在線段上，則在中，因此若在線段的延長線上，則在中，因此8分（2）設(shè)，則，因此因為，又，所以恒成立，因此函數(shù)在是減函數(shù)，所以，即答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為16

8、分20.已知函數(shù)（不同時為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為.（1）當(dāng)時，若存在使得成立，求的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點；（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，=，其對稱軸為直線，當(dāng) ，解得，當(dāng)，無解，所以的的取值范圍為4分（2）因為，法一：當(dāng)時，適合題意6分當(dāng)時，令，則，令，因為，當(dāng)時，所以在內(nèi)有零點當(dāng)時，所以在（內(nèi)有零點 因此，當(dāng)時，在內(nèi)至少有一個零點綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點10分法二：，由于不同時為零，所以，故結(jié)論成立 (3)因為=為奇函數(shù)，所以, 所以，又在處的切線垂直于直線，所以，即因為所以在上是

9、増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時， ，解得；當(dāng)時，顯然不成立；yO1x-1當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，故所以所求的取值范圍是或數(shù)學(xué)附加題部分（考試時間30分鐘，試卷滿分40分）21【選做題】在A，B，C，D四個小題中只能選做2個小題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A.選修41：幾何證明選講ABCDEF如圖，在中，D是AC中點，E是BD三等分點，AE的延長線交BC于F，求的值A(chǔ)BCDEFM解：過D點作DMAF交BC于M，因為DMAF，所以，分因為EFDM，所以，即分又，即，分所以，因此10分B.選修42：矩陣與變換

10、已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量解：矩陣的特征多項式為，分令，解得，分將代入二元一次方程組 解得，分所以矩陣屬于特征值1的一個特征向量為；分同理，矩陣屬于特征值2的一個特征向量為10分C.選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點P的直角坐標(biāo).解:因為直線的極坐標(biāo)方程為所以直線的普通方程為，分又因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）所以曲線的直角坐標(biāo)方程為， 分聯(lián)立解方程組得或，分根據(jù)的范圍應(yīng)舍去,故點的直角坐標(biāo)為10分D.選修45：不等式選講已知函數(shù)（為實數(shù)）的最小值為，

11、若，求的最小值解：因為，2分所以時，取最小值，即，5分因為，由柯西不等式得，8分所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為 10分22【必做題】某電視臺綜藝頻道組織的闖關(guān)游戲，游戲規(guī)定前兩關(guān)至少過一關(guān)才有資格闖第三關(guān)，闖關(guān)者闖第一關(guān)成功得3分，闖第二關(guān)成功得3分，闖第三關(guān)成功得4分現(xiàn)有一位參加游戲者單獨闖第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)成功的概率分別為、，記該參加者闖三關(guān)所得總分為（1）求該參加者有資格闖第三關(guān)的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：設(shè)該參加者單獨闖第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)成功的概率分別為、，該參加者有資格闖第三關(guān)為事件則；4分(2)由題意可知，的可能取值為、， ，所以的分布列為8分所以的

12、數(shù)學(xué)期望10分23.【必做題】如圖，已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上的一個動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，再分別過，兩點作的垂線，垂足分別為，（1）求證：直線必經(jīng)過軸上的一個定點，并寫出點的坐標(biāo)；（2）若，的面積依次構(gòu)成等差數(shù)列，求此時點的坐標(biāo)ABCDNOxy解法一：（1）因為拋物線的準(zhǔn)線的方程為，所以可設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則， 由，得，求導(dǎo)數(shù)得，于是，即，化簡得，ABCDNOxyEQ同理可得，所以和是關(guān)于的方程兩個實數(shù)根，所以，且在直線的方程中，令，得=為定值，所以直線必經(jīng)過軸上的一個定點，即拋物線的焦點5分(2)由（1）知，所以為線段的中點，取線段的中點，因為是拋物線的焦點，所以，所以，所以，又因為，所以，成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，所以，時，時，所以所求點的坐標(biāo)為10分解法二：（1）因為已知拋物線的準(zhǔn)線的方程為，所以可設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則，設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，因為直線與拋物線相切，所以，即，解得，此時兩切點橫坐標(biāo)