線段垂直平分線的性質(zhì)及判定定理

1、 線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理線段垂直平分線的性質(zhì)與判定定理理解和掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判理解和掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，并能利用它們來進行證明或計算。定，并能利用它們來進行證明或計算。通過經(jīng)歷線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定通過經(jīng)歷線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定的證明過程，體驗邏輯推理的數(shù)學方法。的證明過程，體驗邏輯推理的數(shù)學方法。了解數(shù)學和生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學了解數(shù)學和生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學的能力。的能力。 1.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。 2.運用線段的運用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題垂直平分線的性質(zhì)和判定解題。已知直線已知直線

2、l垂直平分線段垂直平分線段AB，垂足為，垂足為C；在；在l上上任取一點任取一點P，連結，連結PA、PB； 量一量：量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？PlCPA=PBP1A=P1B由此你能得到什么規(guī)律？由此你能得到什么規(guī)律？ 命題命題：線段垂直平分線線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點上的點與這條線段兩個端點的距離相等。的距離相等。動起來！動起來！ABP1猜測（命題）猜測（命題）1 1：線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點點與與這條線段兩個這條線段兩個端點端點的的距離相等距離相等。已知：如圖，直線已知：如圖，直線l線段線段AB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB.求證：求

3、證：PA=PBABPlC 證明：證明：lAB 于點于點C （已知）（已知）, PCA= PCB=90（垂直的定義）（垂直的定義） 在在 PAC和和PBC中，中， AC=BC（已知）（已知）, PCA= PCB（已證）（已證）, PC=PC（公共邊）（公共邊） PAC PBC（SAS）. PA=PB（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等）.定理：線段定理：線段垂直平分線垂直平分線上的上的點點與這條線段兩個與這條線段兩個端點端點的的距離相等距離相等。ABPMNABPMN點點P在線段在線段AB的垂直平分線上（已知）的垂直平分線上（已知）PA=PB（線段（線段垂直平分線垂直平分線上的上的點

4、點和這條線段和這條線段兩個兩個端點端點的的距離相等距離相等。 ）1、如圖直線、如圖直線MN垂直平垂直平分線段分線段AB，則，則AE=AFABMEFN2、如圖線段、如圖線段MN被直線被直線AB垂直平分，則垂直平分，則ME=NEABMNE3、如圖，、如圖，ADBC，BD=DC，點，點C在在AE的垂直的垂直平分線上，平分線上，AB、AC 、CE 的長度有什么關系？的長度有什么關系？AB+BD 與與DE有什么關系？有什么關系？AB=AC=CEAB+BD=DEECDBA 4 、已知已知:如圖，如圖，AB=AC=8cm ,DE是是AB邊的中垂線邊的中垂線 交交AC于點于點E，BC=6cm，求，求BEC的周

5、長的周長EDBCA 解：解： DE是是AB邊的中垂線邊的中垂線 （已知），（已知），AE=BE（線段（線段垂直平分線垂直平分線上的點上的點和這條線段兩個端點的和這條線段兩個端點的距離相等距離相等）AE+EC=BE+EC=8cm （等式性質(zhì)）（等式性質(zhì)）.AC=8cm（已知）（已知）, CBEC=BE+EC+BC =8+6=14cm又又 BC=6cm（已知）（已知）有垂直平分有垂直平分線，就有等線，就有等腰三角形的腰三角形的產(chǎn)生產(chǎn)生進步的標志進步的標志駛向勝利的彼岸思考分析w你能寫出你能寫出定理定理 “ “線段垂直平分線上線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點距離相等的點與這條線段兩個端點距離相

6、等”的逆命題嗎的逆命題嗎? ?w逆命題逆命題 與一條線段兩個端點距離相等的點與一條線段兩個端點距離相等的點, ,在這條在這條線段的垂直平分線上線段的垂直平分線上. .w它是真命題嗎它是真命題嗎? ?ABP如果是如果是. .請你證明它請你證明它. .已知已知: :如圖如圖,PA=PB.,PA=PB.求證求證: :點點P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上. .分析分析: :要證明點要證明點P P在線段在線段ABAB的的垂直垂直平分平分線線上上, ,可以先作出過點可以先作出過點P P的的ABAB的的垂線垂線( (或或ABAB的的中點中點, ,),),然后證明另一個結論正確然后證明另一個結論

7、正確. .想一想想一想: :若作出若作出PP的角平分線的角平分線, ,結論是結論是否也可以得證否也可以得證? ?駛向勝利的彼岸逆定理逆定理w逆定理逆定理 與一條線段兩個端點距離相等的點與一條線段兩個端點距離相等的點, ,在在這條線段的垂直平分線上這條線段的垂直平分線上. .老師提示:這個結論是經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點)的根據(jù)之一. PA=PB（已知）（已知）點點P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上（和一條線段兩個端點和一條線段兩個端點距離相等距離相等的點，在這條線段的點，在這條線段的的垂直平分線上垂直平分線上）ABPMN1、如圖、如圖PA=PB，則直線，則直線MN是線

8、段是線段AB的垂直平分線。的垂直平分線。ABMNP2、如圖，、如圖，AB=AC，MB=MC，直線，直線AM是是線段線段BC的垂直平分線嗎？的垂直平分線嗎？ABCM如圖，如圖，ABCABC中，邊中，邊ABAB、BCBC的垂直平的垂直平分線交于點分線交于點P P。結論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等。（2 2）點）點P P是否也在邊是否也在邊ACAC的垂直平分線的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結論？上呢？由此你能得出什么結論？（1 1）求證：）求證：PA=PB=PCPA=PB=PC。證明證明:點點P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上PA=PBPA=

9、PB（線段垂直平分線上的點與線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等這條線段的兩個端點的距離相等）同理，同理，點點P P在在BCBC的垂直平分線上的垂直平分線上PB=PCPB=PCPA=PB=PCPA=PB=PCPA=PCPA=PC點點P P在在ACAC的垂直平分線上（的垂直平分線上（與一條線段與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）垂直平分線上）解解: 角的平分線角的平分線ODEABPC定理定理1 在角的平分線上的點到這個在角的平分線上的點到這個角的兩邊的角的兩邊的距離相等距離相等。定理定理2 到一個角的兩邊的到一個角的兩邊的距離相等距離相等的點，在這個角的平分線上。的點，在這個角的平分線上。 角的平分線是到角的角的平分線是到角的兩邊兩邊距離距離相等相等的所有點的集合的所有點的集合 線段的垂直平分線線段的垂直平分線定定 理理 線段垂直平分線上的點和這線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的條線段兩個端點的距離相等距離相等。逆定理逆定理 和一條線段兩個端點和一條