第十講期權的定價

1、第十講第十講 期權的定價期權的定價主要內容主要內容 1、Black-Scholes期權定價模型 2、二叉樹模型 自從期權交易產(chǎn)生以來，尤其是股票期權交易產(chǎn)生以來，學者們即一直致力于對期權定價問題的探討。1973年，美國芝加哥大學教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表期權定價與公司負債一文，提出了著名的Black-Scholes期權定價模型，在學術界和實務界引起強烈的反響，Scholes并由此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎。在他們之后，其他各種期權定價模型也紛紛被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹模型

2、。在本講中，我們將介紹以上這兩個期權定價模型，并對其進行相應的分析和探討。 Black-ScholesBlack-Scholes期權定價模型期權定價模型 一、一、Black-Scholes期權定價模型的假設條件期權定價模型的假設條件 Black-Scholes期權定價模型的七個假設條件如下： 1. 期權標的資產(chǎn)為一風險資產(chǎn)(Black-Scholes期權定價模型中為股票)，當前時刻市場價格為S。S遵循幾何布朗運動，即 其中， 為股票價格瞬時變化值， 為極短瞬間的時間變化值， 為均值為零，方差為 的無窮小的隨機變化值（ ，稱為標準布朗運動， 代表從標準正態(tài)分布(即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分

3、布)中取的一個隨機值）， 為股票價格在單位時間內的期望收益率(以連續(xù)復利表示)， 則是股票價格的波動率，即證券收益率在單位時間內的標準差。 和 都是已知的。dzdtSdSdSdtdzdtdtdz 2在期權有效期內，標的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益支付。綜合1和2，意味著標的資產(chǎn)價格的變動是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。 3. 沒有交易費用和稅收，不考慮保證金問題，即不存在影響收益的任何外部因素。綜合2和3，意味著投資者的收益僅來源于價格的變動，而沒有其他影響因素。 4. 該標的資產(chǎn)可以被自由地買賣，即允許賣空，且所有證券都是完全可分的。 5. 在期權有效期內，無風險利率為常數(shù)，投資者可以此利率無限制地進

4、行借貸。 6期權為歐式看漲期權，其執(zhí)行價格為 ，當前時刻為 ，到期時刻為 。 7不存在無風險套利機會。XtT二、二、Black-Scholes期權定價模型期權定價模型 （一）Black-Scholes期權定價公式 在上述假設條件的基礎上，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的一個微分方程： 其中f為期權價格，其他參數(shù)符號的意義同前。rfSfSSfrStf222221 通過解這個微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定價公式： 其中， c為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格；N(x)為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的

5、概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln()(1)(xNxN（二）對Black-Scholes期權定價公式的理解1.期權價格的影響因素 期權價格的影響因素包括：標的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、波動率、無風險利率、到期時間。2.風險中性定價原理 觀察式期權定價公式，我們可以注意到期權價格是與標的資產(chǎn)的預期收益率 無關的。即在我們描述標的資產(chǎn)價格所遵循的幾何布朗運動時曾經(jīng)出現(xiàn)過的預期收益率在期權定價公式中消失了。這對于尋求期權定價的人們來說無疑是一個很大的好消息。因為迄今為止

6、，人們仍然沒有找到計算證券預期收益率的確定方法。期權價格與 的無關性，顯然大大降低了期權定價的難度和不確定性。 進一步考慮，受制于主觀風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在期權的價值決定公式中，公式中出現(xiàn)的變量全都是客觀變量，獨立于主觀變量風險收益偏好。既然主觀風險偏好對期權價格沒有影響，這使得我們可以利用Black-Scholes期權定價模型所揭示的期權價格的這一特性，作出一個可以大大簡化我們工作的簡單假設： 在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。 在所有投資者都是風險中性的條件下（有時我們稱之為進入了一個“風險中性世界”），所有證券

7、的預期收益率都可以等于無風險利率r，這是因為風險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有現(xiàn)金流量在風險中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風險中性定價都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風險中性定價原理。原理。 應該注意的是，風險中性假定僅僅僅僅是一個人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。 舉例：舉例： 假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要求出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期

8、權的價值。 由于歐式期權不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權價值為0。 為了求出該期權的價值，我們可構建一個由一單位看漲期權空頭和X單位的標的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（11X0.5）元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9X元。為了使該組合價值處于無風險狀態(tài)，我們應選擇適當?shù)腦值，使3個月后該組合的價值不變，這意味著： 11X0.5=9X X=0.25 因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股票價格

9、等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。 在沒有套利機會情況下，無風險組合只能獲得無風險利率。假設現(xiàn)在的無風險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應為： 由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 這就是說，該看漲期權的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff 從該例子可以看出，在確定期權價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確

10、定了。例如，在風險中性世界中，無風險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求： P=62.66%。 又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： P=69.11%。0.1 0.2510119(1)ePP0.15 0.2510119(1)ePP 可見，投資者厭惡風險程度決定了股票的預期收益率，而股票的預期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權的價值都等于0.31元。3. 對期權定價公式的經(jīng)濟理解。 從Black-Scholes期權定價模型自身的求解過程來看，N(d2)實際上是在風險中性

11、世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概率，因此，e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值，更樸素地說，可以看成期權可能帶來的收入現(xiàn)值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值，可以看成期權持有者將來可能支付的價格的現(xiàn)值。因此整個歐式看漲期權公式就可以被看作期權未來期望回報的現(xiàn)值。（三）看跌期權的定價公式（三）看跌期權的定價公式 Black-Scholes期權定價模型給出的是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定價公式，根據(jù)歐式看漲期權和看跌期權之間的平價關系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的定價公式：()()21()()r T tr T tp

12、cXeSXeNdSNd 期初期初 時刻現(xiàn)時刻現(xiàn)金流金流期末期末 時刻現(xiàn)金流時刻現(xiàn)金流組合組合（1）（1 1）1 1份歐式看份歐式看漲期權漲期權（2 2）數(shù)量為）數(shù)量為 的現(xiàn)金的現(xiàn)金 合計合計組合組合（2）（1 1）1 1份歐式看份歐式看跌期權跌期權（2 2）1 1份股票份股票 合計合計tT)(tTrXeC)(tTrXeC)(tTrXePSSPXSTXST0TSTSXXXSTXX0TSX TSTS兩個組合的現(xiàn)金流情況兩個組合的現(xiàn)金流情況SPXeCtTr)(（四）（四）Black-ScholesBlack-Scholes期權定價公式的計算：一個例子期權定價公式的計算：一個例子例題例題 假設某種不支

13、付紅利股票的市價為50元，無風險利率為12%，該股票的年波動率為10%，求該股票協(xié)議價格為50元、期限1年的歐式看漲期權和看跌期權價格。 在本題中，可以將相關參數(shù)表達如下： S50，X50，r=0.12,=0.1,T=1, 計算過程可分為三步： 第一步第一步，先算出 和 ，1d2d121ln(50/50)(0.120.01/2) 11.250.110.111.15ddd 第二步，計算 和 ， 第三步，上述結果及已知條件代入公式，這樣，歐式看漲期權和看跌期權價格分別為： 1Nd2Nd121.250.89441.150.8749N dNN dN0.12 1500.8944500.87495.92c

14、e美元0.12 15010.87495010.89440.27pe美元 在Black-Scholes公式所用的參數(shù)中，有三個參數(shù)與時間有關：到期期限、無風險利率和波動率。值得注意的是值得注意的是，這三個參數(shù)的時間單位必須相同，或者同為天、周，或者同為年。年是經(jīng)常被用到的時間單位，因此，我們常常需要將天波動率轉化為年波動率。在考慮年波動率時，有一個問題需要加以重視：一年的天數(shù)究竟按照日歷天數(shù)還是按照交易天數(shù)計算。一般認為，證券價格的波動主要來自交易日。因此，在轉換年波動率時，應該按照一年252個交易日進行計算。這樣，與天波動率相應的年波動率為： 2520.3467yearday二叉樹模型二叉樹模

15、型 一、二叉樹模型的基本方法一、二叉樹模型的基本方法 二叉樹模型首先把期權的有效期分為很多很小的時間間隔 ，并假設在每一個時間間隔內證券價格只有兩種運動的可能：從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ；下降到原先的 倍，即 。其中， ， ，如圖1所示。價格上升的概率假設為 ，下降的概率假設為 。 圖1 時間內資產(chǎn)價格的變動 相應地，期權價值也會有所不同，分別為 和 。tSuSudSd1u 1d q1qSSuSdq1-qtufdf二、單步二叉樹模型二、單步二叉樹模型 運用單步二叉樹為期權定價，可以有兩種方法：無套利方法和風險中性定價方法。1.無套利定價法 由于期權和標的資產(chǎn)的風險源是相同的，在如圖1

16、的單步二叉樹中，我們可以構造一個證券組合，包括 股資產(chǎn)多頭和一個看漲期權空頭。如果我們取適當?shù)?值，使 則無論資產(chǎn)價格是上升還是下跌，這個組合的價值都是相等的。也就是說，當 時，無論股票價格上升還是下跌，該組合的價值都相等。顯然，該組合為無風險組合，因此我們可以用無風險利率對 貼現(xiàn)來求該組合的現(xiàn)值。在無套利機會的假設下，該組合的收益現(xiàn)值應等于構造該組合的成本，即udSufSdfudffSuSd udSufSdf或將 代入上式就可得到：r tuSfSufe udffSuSd 1r tr tr tudededfeffudud 2.風險中性定價法 在上面的期權定價公式中，如果令 ，則期權定價公式可以

17、變?yōu)?。如果把p解釋為股票價格上升的概率，那么1-p就是股票價格下降的概率。這樣，就可以把上面的期權定價公式表述為： 今天的期權價值是其未來預期值按無風險利率貼現(xiàn)的價值今天的期權價值是其未來預期值按無風險利率貼現(xiàn)的價值。 值得注意的是值得注意的是，這里的p并非真正的股票上升下降的概率，而是人為設定的概率，被稱為風險中性概率被稱為風險中性概率。dudeptr1r tudfepfp f 在二叉樹模型中也可以應用風險中性定價原理，只要確定風險中性概率 和參數(shù) 、 ，就可以利用上面的公式為期權定價。這是二叉樹定價的一般方法。 在風險中性世界里： 所有可交易證券的期望收益都是無風險利率； 未來現(xiàn)金流可以

18、用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。 在風險中性的條件下，標的證券的預期收益率應等于無風險利率 ，因此若期初的證券價格為 ，則在很短的時間間隔 末的證券價格期望值應為 。因此，參數(shù) 、 和 的值必須滿足這個要求，即：pudrSttrSepud 這是參數(shù)應該滿足的第一個條件；二叉樹模型也假設證券價格遵循幾何布朗運動，那么在一個小時間段 內，則有： 再設： ； 22222222)1 ()1 (dppuSdSpupStSSdppSuSetr)1 ( dppuetr)1 ( 1udt2222)1 ()1 (dppudpput 則，從以上三個條件可以求得，當 很小時有： 從而從而tdudeptrteuted1r

19、 tudfepfp f 比較以上兩種方法，我們可以看到，無套利定價法和風險中性定價法實際上具有內在一致性。在無套利定價過程中，我們并沒有考慮資產(chǎn)價格上升和下降的實際概率，由于資產(chǎn)預期收益率等于不同情況下收益率以概率為權重的加權平均值，在無套利定價法下無需考慮概率就意味著資產(chǎn)預期收益具有無關性，這正好符合風險中性的概念。其次，風險中性定價法的概率 實際上是風險中性世界中的概率而非實際的概率，因此資產(chǎn)的預期收益率仍然對期權定價是無關的。 一般來說，在運用二叉樹方法時，風險中性定價是常用的方法，而無套利定價法則主要是提供了一種定價思想。p三、多步二叉樹模型 以上所述的單步二叉樹模型雖然比較簡單，但已

20、包含著二叉樹定價模型的基本原理和方法。因此，可以進一步拓展到多步二叉樹模型。應用多步二叉樹模型來表示證券價格變化的完整樹型結構如圖2所示。 圖2 資產(chǎn)價格的樹型結構 當時間為0時，證券價格為 。時間為 時，證券價格要么上漲到 ，要么下降到 ；時間為2 時，證券價格就有三種可能： 、 （等于 ）和 ，以此類推。一般而言，在時刻 ，證券價格有 種可能，它們可用符號表示為： 其中 注意：由于 ，使得許多結點是重合的，從而大大簡化了樹圖。StSuSdt2SuSudS2Sdti1ijijdSu0,1,ji1ud四、倒推定價法 得到每個結點的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結構圖的

21、末端T T 時刻開始往回倒推，為期權定價。由于在到期時刻T T 的預期期權價值是已知的，例如看漲期權價值為 ，看跌期權價值為 ，因此在風險中性條件下在求解 時刻的每一結點上的期權價值時，都可通過將T T 時刻的期權價值的預期值在 時間長度內以無風險利率貼現(xiàn)求出。同理，要求解 時的每一結點的期權價值時， 也可以將 時的期權價值預期值在時間 內以無風險利率r貼現(xiàn)求出。依此類推。采用這種倒推法，最終可以求出零時刻（當前時刻）的期權價值。以上是歐式期權的情況，如果是美式期權，就要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權和繼續(xù)再持有 時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值。)0 ,max(XST),max(oSXTtTttT2tTtt例題例題 假設標的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當前市場價為50元,波動率為每年40%，無風險連續(xù)復利年利率為10%，該股票5個月期的美式看跌期權協(xié)議價格為50元，求該期權的價值。 為了構造二叉樹，我們把期權有效期分為五段，每段一個月（等于0.0833年）。根據(jù)式相關公式，可以算出：4924. 015076. 08909. 01224. 1pdudepedeutrtt 據(jù)此我們可以畫出該股票在期權有效期