高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量

1、第四章平面向量高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念(1)了解向量的實(shí)際背景；(2)理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；(3)理解向量的幾何表示.2.向量的線性運(yùn)算(1)掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；(2)掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；(3)了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示(1)了解平面向量的基本定理及其意義；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.4.平面向量的數(shù)量積(1)理解平面向量數(shù)量

2、積的含義及其物理意義；(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.向量的應(yīng)用(1)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題；(2)會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題.本章重點(diǎn)：1.向量的各種運(yùn)算；2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想；3.向量的數(shù)量積在證明有關(guān)向量相等、兩向量垂直、投影、夾角等問題中的應(yīng)用.本章難點(diǎn)：1.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問題中的應(yīng)用；2.向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用

3、.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范，正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中，不僅注重考查向量本身的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，而且常與解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查.在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)4.1平面向量的概念及線性運(yùn)算典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例1】 下列命題：向量的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同；

4、向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號(hào)是.【解析】對(duì)；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯(cuò)；顯然錯(cuò)；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯(cuò).故是真命題的只有.【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式：|a|；(ab) ca (bc)；在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則2；a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且a與b不共線，則(ab)(ab).其中正確的個(gè)數(shù)為() A.1B.2C.3D.4【解

5、析】選D.| a|正確；(ab) ca (bc)； 正確；如下圖所示，=+且=+，兩式相加可得2，即命題正確；因?yàn)閍，b不共線，且|a|b|1，所以ab，ab為菱形的兩條對(duì)角線，即得(ab)(ab).所以命題正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段DO上，且=，點(diǎn)N在線段OC上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示，.【解析】在ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，所以()(ab)，()(ab).又， ，所以bb×(ab)ab，×(ab)(ab). 所以(ab)(ab)ab.【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以

6、將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】O是平面上一點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足()，若時(shí)，則()的值為.【解析】由已知得()，即()，當(dāng)時(shí)，得()，所以2，即，所以，所以0，所以 ()00，故填0.題型三向量共線問題【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若ab， 2a8b， 3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線.【解析】(1)證明：因?yàn)閍b， 2a8b， 3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以， 共線.又因?yàn)樗鼈冇?/p>

7、公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗ab和akb共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，所以(k)a(k1)b.因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量，所以kk10，所以k210，所以k±1.【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn)，+2+3=0，則OAC的面積與OAB的面積之比是（）A.B.C.2D.【解析】如圖，

8、在三角形ABC中， 230，整理可得2()0.令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為E，BC邊的中點(diǎn)為F，則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的處，即OE2OF.設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h，則SOACSOAESOECOE ()OE·h，SOABABhAB·h，由于AB2EF，OEEF，所以AB3OE，所以.故選B.總結(jié)提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.2.判斷兩非零向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè)向量表示出來.3.當(dāng)向量a與b共線同向時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)

9、向量a與b共線反向時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，|ab|a|b|.4.2平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示典例精析題型一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】如圖ABCD中,M,N分別是DC，BC中點(diǎn).已知=a,=b,試用a，b表示，與【解析】易知，即所以(2ba)， (2ab).所以(ab).【點(diǎn)撥】運(yùn)用平面向量基本定理及線性運(yùn)算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運(yùn)用值得仔細(xì)領(lǐng)悟.【變式訓(xùn)練1】已知D為ABC的邊BC上的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足0，則等于()A.B.C.1D.2【解析】由于D為BC邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知2，因此結(jié)合0即得

10、2，因此易得P，A，D三點(diǎn)共線且D是PA的中點(diǎn)，所以1，即選C.題型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】 已知a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab.(1)若u3v，求x；(2)若uv，求x.【解析】因?yàn)閍(1，1)，b(x，1)，所以u(píng)(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)，v2(1，1)(x，1)(2x，1).(1)u3v(2x1，3)3(2x，1)(2x1，3)(63x，3)，所以2x163x，解得x1.(2)uv (2x1，3)(2x，1) (2x1)3(2x)0x1.【點(diǎn)撥】對(duì)用坐標(biāo)表示的向量來說，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點(diǎn)在解題中很重要，應(yīng)引起重視.【變式訓(xùn)練2】已

11、知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.則函數(shù)y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值為.【解析】設(shè)b(cos ，sin )，所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos，sin)(cos ，sin )(a141)2b22(cos，sin)(cos ，sin )2822cos()，所以y的最大值為284.題型三平行(共線)向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長(zhǎng)c2，角

12、C，求ABC的面積.【解析】(1)證明：因?yàn)閙n，所以asin Absin B.由正弦定理，得a2b2，即ab.所以ABC為等腰三角形.(2)因?yàn)閙p，所以m·p0，即a(b2)b(a2)0，所以abab.由余弦定理，得4a2b2ab(ab)23ab，所以(ab)23ab40.所以ab4或ab1(舍去).所以SABCabsin C×4×.【點(diǎn)撥】設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，則mnx1y2x2y1；mnx1x2y1y20.【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若mn，

13、且ab10，則ABC周長(zhǎng)的最小值為()A.105B.105C.102D.102【解析】由mn得2cos2C3cos C20，解得cos C或cos C2(舍去)，所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab100ab，由10ab2ab25，所以c275，即c5，所以abc105，當(dāng)且僅當(dāng)ab5時(shí)，等號(hào)成立.故選B.總結(jié)提高1.向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示，在引入向量的坐標(biāo)表示后，即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來.向量方法是幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體，很多幾何問題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運(yùn)算.2.向量的運(yùn)算中要特別注意方程思想的運(yùn)用.3.向量的運(yùn)算分為向量形式與坐

14、標(biāo)形式.向量形式即平行四邊形法則與三角形法則，坐標(biāo)形式即代入向量的直角坐標(biāo).4.3平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用典例精析題型一利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題【例1】 已知a，b夾角為120°，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)(a2b) ·(ab)；(3)a與(ab)的夾角.【解析】(1)(ab)2a2b22a·b1642×4×2×12，所以|ab|2.(2)(a2b) ·(ab)a23a·b2b2163×4×2×2×412.(3)a·(ab)a2a

15、·b164×2×12.所以cos ，所以.【點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓(xùn)練1】已知向量a，b，c滿足：|a|1，|b|2，cab，且ca，則a與b的夾角大小是.【解析】由cac·a0a2a·b0，所以cos ，所以120°.題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在ABC中，(2，3)， (1，k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值.【解析】當(dāng)A90°時(shí)，有·0，所以2×13·k0，所以k；當(dāng)B90°時(shí)，有·0，又(

16、12，k3)(1，k3)，所以2×(1)3×(k3)0k；當(dāng)C90°時(shí)，有·0，所以1k·(k3)0，所以k23k10k.所以k的取值為，或.【點(diǎn)撥】因?yàn)槟膫€(gè)角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計(jì)算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練2】ABC中，AB4，BC5，AC6，求···.【解析】因?yàn)?·2·2·(··)(··)(··)·()·()·()··&#

17、183;42625277.所以···.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點(diǎn)O，且xOy，構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向的單位向量，設(shè)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且xe1ye2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，已知Q(1，2).(1)求|的值及與Ox的夾角；(2)過點(diǎn)Q的直線lOQ，求l的直線方程(在斜坐標(biāo)系中).【解析】(1)依題意知，e1·e2，且e12e2，所以2(e12e2)2144e1·e23.所以|.又·e1(e12e2) ·e1e2e1e20.所以e1，即與Ox成90°

18、角.(2)設(shè)l上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，即xe1ye2，又l，故，即(x1)e1(y2)e2 ·(e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2) ·2(y2)0，所以y2，即為所求直線l的方程.【點(diǎn)撥】綜合利用向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，并且與不等式、函數(shù)、方程、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等相交匯，體現(xiàn)以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢(shì).【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(5，0).對(duì)于某個(gè)正實(shí)數(shù)k，存在函數(shù)f(x)ax2(a0)，使得 ()(為常數(shù))，其中點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(1，f(1)，(k，f(k)，則k的取值范圍為()A.(2，)B.(3，)C.(4，)D.(8，)【解析】如圖所示，設(shè)，則.因?yàn)镻(1，a)，Q(k，ak2)，(1，0)，(，)，(1，)，則直線OG的方程為yx，又，所以P(1，a)在直線OG上，所以a，所以a21.因?yàn)閨1，所以10，所以