初三相似圖形思維導(dǎo)圖內(nèi)容111模板

1、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么，這四條 線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.a _c線段 a、b、c、d 成比例，表示為 j “或 a : b= c : d （稱其為比例式），其中 a、b、c、d 叫做組成比例的項(xiàng)，a、d 叫做比例外項(xiàng)，b、c 叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段 d 叫做 a、b、c 的第四 比例項(xiàng).a_b若作為比例內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即 a： b= b：c或_r，那么線段 b 叫做線段 a 和 c 的比例中項(xiàng).3r + 4_ y+3 _ z+8例 1、如果_，且 x + y + z = 12，求 x，y，z 的值.x + 4y+3 z+8上解：設(shè)1:

2、，貝 U x = 3k 4，y= 2k 3，z = 4k 8.代入 x + y + z = 12 中，得 3k 4 + 2k 3+ 4k 8 = 12，解得 k = 3. x=3k4=3X34=5，y=2k3=2X33=3，z=4k8=4X38=4.比例的基本性質(zhì)（1）若匚則加=比b d若f上則耳D Ch a b d（4）右 y - - -t- = 一 + 出 44用 H 0 則=.Dd理b + d +b其中（3）稱為合比性質(zhì)，（4）稱為等比性質(zhì).a-b b-c c-a例 2、已知 a,b,c 分別是 ABC 的三邊長，且 B c m ,試猜想 ABC 的形狀，并 說明理由.解：因?yàn)?a+b+

3、甘 0, 且a+b，因?yàn)?aM0,b 工 0,c 千0所以 a-b=0, b-c=0,c-a=0,=- =0a+ h + c即 a=b,b=c,c=a,所以 a=b=c .所以 ABC 是等邊三角形.例 3、如圖， ABC 是一塊銳角三角形余料，邊 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工 成矩形零件，使一邊在 BC 上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊 AB、AC 上，若這個(gè)矩形是正方形， 那么邊長是多少？若這個(gè)矩形的長是寬的兩倍，則邊長是多少？解：(1 )設(shè)正方形邊長為 xmm，： PQ / AD，PN / BC，根據(jù)平行線分線段成比例得PQ BP PN AP- - 二- - 二-AD AB

4、SC 血，由題意知 PN=PQ=x，AD=80，BC=120，x BP x _AP jU i 工二，兩式相加得解得 x=48. 這個(gè)正方形的邊長為 48mm .(2) 設(shè)長方形的寬為 xmm，長為 2xmm，vPQ / AD，PN / BC,根據(jù)平行線分線段PQ_BP更湮成比例得一匸二二，x _BP % AP1若PN=2x， PQ=x，AD=80，BC=120 , J .J 一上，兩式相加得解得 x=2x BP x AP2若 PN=x， PQ=2x，AD=80，BC=120，兩式相加得2x xBPAPAB+卜一=二180 120ABABAB解得 x=30 (mm ) ， 2x=60(mm).x

5、 * 牙 _ BP AP _BP+AP _ AB80 V2OAB AB AB AB24（rrrso,、（伽3）, 2n-（即刑）.77xBP AP AB_ i_ _ |_ _80 1205 ABABA480240- -答：矩形的長為： 寬為； 或長為 60mm，寬為 30mm .相似多邊形1 相似圖形定義：形狀相同的圖形稱為相似圖形.2 相似多邊形定義：一般地，各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相 似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.3)相似多邊形的性質(zhì)及判定相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.相似多邊形的判定：(1)邊數(shù)相同；(2)對應(yīng)角相等；(3)對應(yīng)邊成比例.判定

6、兩個(gè)多邊形相似，這三個(gè)條件缺一不可，另外，形狀相同的圖形也是相似圖形.相似三角形的判定1、相似三角形定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形叫相似三角形.其中對應(yīng)邊的比稱為相似 比，當(dāng)相似比等于1 時(shí)，兩個(gè)相似三角形全等.2、相似三角形的判定(1) 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(2) 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3) 如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(4) 如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等， 并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(5) 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)

7、直角三角形相似 例 4、已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的對角線 AC 所在直線解析式為(1) 在 x 軸上存在這樣的點(diǎn) M，使 MAB 為等腰三角形，求出所有符合要求的點(diǎn) M 的坐標(biāo)；動點(diǎn) P 從點(diǎn) C 開始在線段 CO 上以每秒二；個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) O 移動，同時(shí)，動 點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 開始在線段 OA 上以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) A 移動.設(shè) P、Q 移動的時(shí) 間為 t 秒.是否存在這樣的時(shí)刻使厶 OPQ 與厶 BCP 相似，并說明理由;設(shè) BPQ 的面積為 S，求 S 與 t 間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 t 為何值時(shí)，S 有最小值.例 5、正方形 ABCD 邊長為

8、4, M、N 分別是 BC、CD 上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng) M 點(diǎn)在 BC 上運(yùn)動時(shí)，保持 AM 和 MN 垂直，（1） 證明：二二丄l-d-.?-.1；（2）設(shè)同八亍，梯形 ABCN 的面積為 y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) M 點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形 ABCN 面積最大，并求出最大面積；（3）當(dāng) M 點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí) 二匚二：，求 x 的值.BOQ=tA1）22/=1建當(dāng) -時(shí)，面積 S 有最小值，最小值是 -AB 為腰且 MA=AB 時(shí)，由題意可知|陀-：二- ；O：.：-心八二-；，由對稱性知卜工：h.假設(shè)又 0 BC,求線段 AB 與 BC 的長。解：設(shè) AB=x 二 BC=

9、x55+5,由 AC/AB=BC/AC得 x(x-5V5+5)=(5V5- 5)2x2- 5V5x+5x+50V5-150=0 x=(5V5-5) 5(5-V5)/2x 仁 10, x2=5V5-15(小于 0 舍去)。 AB=10 BC=155V5.相似三角形的性質(zhì)(1) 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.(2) 相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.(3 )相似三角形的周長的比等于相似比.(4 )相似三角形的面積的比等于相似比的平方.例 7、如圖， ABC 中，DE / BC，BE 和 CD 相交于點(diǎn) F，且 SEFC=3SEFD.求 SADE: SABC

10、.n nr-DE/BCt:. hDEMWBF:一 =ABAC/一廠沖 J:BC FC位似1 位似變換的定義若兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，則這樣的兩個(gè)圖 形叫位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心，這時(shí)的相似比又稱位似比從定義可看出，位似圖形一 定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.2、位似圖形的性質(zhì)位似圖形的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.例 8、如圖 ABC 中，AB = 80cm，高 CD = 60cm，矩形 EFGH 中 E、F 在 AB 邊上，G 在BC 邊上，H 在三角形內(nèi)，且 EF:GF = 2:1(1 )在厶 ABC 內(nèi)畫出矩形 GFEH 的

11、位似形，使其頂點(diǎn)在 ABC 的邊上(保留作圖痕跡)(2 )求所作的矩形的面積.解：(1)矩形 GFEH 的位似形其長與寬的比為 2:1，設(shè)其寬為 x，貝U 長為 2x，由此先找出點(diǎn) I，然后作 IJ 丄 AB 于點(diǎn) J,作 IK / AB 交 AC 于點(diǎn) K，再過點(diǎn) K 作 KL 丄 AB 于點(diǎn) L,連接各頂點(diǎn)，四邊形 IJLK 即為所求所畫圖形如下所示：丄+M1- -上 ，解得：x= 24，SC 5亦,二二,兩式左右兩邊分別相加得:根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知:(2)由(1)可知，該矩形的長為 48，寬為 24，3、在平面直角坐標(biāo)系中，圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱后，各點(diǎn)的坐標(biāo)會發(fā)生相應(yīng)變化，同

12、樣，圖形經(jīng)過位似變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)也會發(fā)生相應(yīng)變化.變化規(guī)律為：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值的比等于 k 或一 k.警示：（1）這是以原點(diǎn)為位似中心的位似變換中圖形坐標(biāo)的變化規(guī)律.（2） 當(dāng)對應(yīng)點(diǎn)在同一象限內(nèi)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的比（指橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo) 的比）等于 k.（3） 當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在 x 軸上，它的對應(yīng)點(diǎn)仍在 x 軸上，且橫坐標(biāo)的比等于 k 或一 k （這時(shí)縱 坐標(biāo)為 0，比值不存在），在 y 軸上的情形類似.例 9、如圖， ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A （-2，4）、B （-3，1）、C （-1，1），以坐 標(biāo)原點(diǎn) 0 為位似中心，相似比為 2，在第二象限內(nèi)將厶 A