第11課時——函數的奇偶性（2）教師版

1、聽課隨筆第十一課時 函數的奇偶性（2）【學習導航】 學習要求 1熟練掌握判斷函數奇偶性的方法；2熟練單調性與奇偶性討論函數的性質；3能利用函數的奇偶性和單調性解決一些問題【精典范例】一函數的單調性和奇偶性結合性質推導：例1：已知y=f(x)是奇函數，它在(0，+)上是增函數，且f(x)<0，試問：F(x)=在(，0)上是增函數還是減函數？證明你的結論思維分析：根據函數單調性的定義，可以設x1<x2<0，進而判斷：F(x1) F(x2)= =符號解：任取x1，x2(，0)，且x1<x2，則x1>x2>0因為y=f(x)在(0，+上是增函數，且f(x)<0

2、，所以f(x2)<f(x1)<0，又因為f(x)是奇函數所以f(x2)= f(x2)，f(x1)=f(x1)由得f(x2)>f(x1)>0于是F(x1) F(x2)= 所以F(x)=在(，0)上是減函數?！咀C明】設，則，在上是增函數，是奇函數，在上也是增函數說明：一般情況下，若要證在區(qū)間上單調，就在區(qū)間上設二利用函數奇偶性求函數解析式：例2：已知是定義域為的奇函數，當x>0時，f(x)=x|x2|，求x<0時，f(x)的解析式解：設x<0，則x>0且滿足表達式f(x)=x|x2|所以f(x)= x|x2|=x|x+2|又f(x)是奇函數，有f(x

3、)= f(x)所以f(x)= x|x+2|所以f(x)=x|x+2|故當x<0時F(x)表達式為f(x)=x|x+2|.3：定義在（2，2）上的奇函數在整個定義域上是減函數，若f(m1)+f(2m1)>0，求實數m的取值范圍解：因為f(m1)+f(2m1)>0所以f(m1)> f(2m1)因為f(x)在(2，2)上奇函數且為減函數所以f(m1)>f(12m)所以所以<m<追蹤訓練一1. 設是定義在R上的偶函數,且在0，+)上是減函數,則f()與f(a2a+1)（）的大小關系是 （B ） A f()<f(a2a+1)B f()f(a2a+1)C f

4、()>f(a2a+1)D與a的取值無關2. 定義在上的奇函數，則常數 ， ；3. 函數是定義在上的奇函數，且為增函數，若，求實數a的范圍。解：定義域是 即 又 是奇函數 在上是增函數 即 解之得 故a的取值范圍是思維點拔：一、函數奇偶性與函數單調性關系若函數是偶函數，則該函數在關于對稱的區(qū)間上的單調性是相反的，且一般情況下偶函數在定義域上不是單調函數；若函數是奇函數，則該函數在關于對稱區(qū)間上的點調性是相同的追蹤訓練1已知是偶函數，其圖象與軸共有四個交點，則方程的所有實數解的和是 （C） 4 2 0 不能確定2. 定義在(，+)上的函數滿足f(x)=f(x)且f(x)在(0，+)上，則不等式f(a)<f(b)等價于( C )A.a<bB.a>bC.|a|<|b|D.0a<b或a>b03. 是奇函數，它在區(qū)間（其中）上為增函數，則它在區(qū)間上（D） A. 是減函數且有最大值 B. 是減函數且有最小值 C. 是增函數且有最小值 D. 是增函數且有最大值4已知函數ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(5)= 15，則f(5)= 31 5定義在實數集上的