數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)化思維的十種策略

1、數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)化思維的十種策略鄭迪華數(shù)學(xué)活動的實質(zhì)就是思維的轉(zhuǎn)化過程，在解題中，要不斷改變解題方向，從不同角度，不同的側(cè)面去探討問題的解法，尋求最佳方法，在轉(zhuǎn)化過程中，應(yīng)遵循三個原則：1、熟悉化原則，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；2、簡單化原則，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題；3、直觀化原則，即將抽象總是具體化。策略一：正向向逆向轉(zhuǎn)化一個命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一，解題時，如果從下面入手思維受阻，不妨從它的正面出發(fā)，逆向思維，往往會另有捷徑。例1 ：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不共面的取法共有_種。A、150 B、147 C、144 D、141分析：本題正面

2、入手，情況復(fù)雜，若從反面去考慮，先求四點共面的取法總數(shù)再用補(bǔ)集思想，就簡單多了。解：10個點中任取4個點取法有種，其中面ABC內(nèi)的6個點中任取4點都共面有種，同理其余3個面內(nèi)也有種，又，每條棱與相對棱中點共面也有6種，各棱中點4點共面的有3種，不共面取法有種，應(yīng)選（D）。策略二：局部向整體的轉(zhuǎn)化從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細(xì)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問題，不單打獨斗。例2：一個四面體所有棱長都是，四個頂點在同一球面上，則此球表面積為（ ）A、 B、 C、 D、分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過程冗長，容易出

3、錯，但把正四面體補(bǔ)形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點，因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為，應(yīng)選（A）。策略三：未知向已知轉(zhuǎn)化又稱類比轉(zhuǎn)化，它是一種培養(yǎng)知識遷移能力的重要學(xué)習(xí)方法，解題中，若能抓住題目中已知關(guān)鍵信息，鎖定相似性，巧妙進(jìn)行類比轉(zhuǎn)換，答案就會應(yīng)運(yùn)而生。例3：在等差數(shù)列中，若，則有等式（成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中， ，則有等式_成立。分析：等差數(shù)列中，必有，故有類比等比數(shù)列，因為，故成立。策略四：固定向重組的轉(zhuǎn)化挖掘題目隱含關(guān)系，將已知條件或結(jié)論巧妙而又合理地改造，重新組合，讓零散的信息聚整，模糊的信息顯現(xiàn)。例4：外兩條直線，給出四

4、個論斷： 以其中三個論斷為條件，余下論斷為結(jié)論，寫出所有正確的命題。分析：本題要求學(xué)生對線線關(guān)系，面面關(guān)系，以及線面關(guān)系的判定及其性質(zhì)理解透徹，重點考查學(xué)生對信息分析、重組判斷能力，正確命題有，策略五：抽象向具體轉(zhuǎn)化有些題目看起來較為抽象，貌似不易解決，但結(jié)合具體數(shù)學(xué)情境，聯(lián)系相知，建立模型，以啟迪解題思路，尋找解決問題的突破口。例5：已知為常數(shù)，且，問是不是周期函數(shù)，若是，求出周期，若不是說明理由。分析：由聯(lián)想到，找到一個具體函數(shù)，=，而函數(shù)猜想是一個周期為的函數(shù)。這樣方向明，思路清。證明：，策略六：個別向一般的轉(zhuǎn)化華羅庚說過：“善于退，足夠地退，退到起始，而不失去重要地步，是學(xué)好數(shù)學(xué)的決竅

5、。”對于表面上難于解決的問題，需要我們退步考慮，研究特殊現(xiàn)象，再運(yùn)用分析歸納、遷移、演繹等手法去概括一般規(guī)律，使問題獲解。例6：已知數(shù)列 ()是首項為，公比為的等比數(shù)列。1） 求和：；2） 由（1）的結(jié)果歸納出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明。分析：（1） （）同理可得：= 猜想：證明：= =策略七：數(shù)向形的轉(zhuǎn)化數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，形數(shù)結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要表現(xiàn)形式，通過對已知不等式函數(shù)等變形，代換處理后，賦于其幾何意義，以形定數(shù)，可以避繁就簡。例7：設(shè)，求證：分析：不等式右端為，可看為單位正方形的兩條對角線之和，從題目的整體結(jié)構(gòu)容易聯(lián)想到勾股定理。證明：作邊長為1的正方形ABCD，作兩

6、組平行線把正方形分成四個矩形，那么不等式左端=（PA+PC）+（PB+PD）AC+BD=，當(dāng)且僅當(dāng)P在正方形中心處，即時，“等號”成立。策略八：定量向定性的轉(zhuǎn)化當(dāng)定量求解某些問題困難時，可以考慮將定量問題轉(zhuǎn)化為定性問題，通過定性判斷來解決。例8：已知函數(shù)圖象如下圖 則函數(shù)圖象可能是（ ） 分析:要根據(jù)的函數(shù)圖象準(zhǔn)確地畫出的圖象是困難的，但我們注意到一奇一偶，所以是奇函數(shù)排除B，但在無意義，又排除C、D，應(yīng)選A。策略九：主元向輔元的轉(zhuǎn)化主元與輔元是人為的相對的，可以相互切換，當(dāng)確定了某一元素為主元時，則其他元素是輔元。例9：已知關(guān)于的方程：有且僅有一個實根，求實數(shù)的取值范圍。分析：顯然，題目中的是主元，為輔元，但方程中的最高次數(shù)為3，求根比較困難，注意到的最高次數(shù)為2，故可視為主元，原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程。解：原方程可代為即，原方程有唯一實根，無實根，策略十：模式向創(chuàng)造的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，雖然不存在固有的解題模