橢圓及其標準方程--教學設計

1、橢圓及其標準方程一、教學目標設計1、知識與技能：理解橢圓的定義；明確焦點、焦距的概念；了解用橢圓定義推導橢圓的標準方程；掌握a、b、c三個量的幾何意義及它們之間的關系；能夠求橢圓的標準方程。2、過程與方法：（1）經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，讓學生感知數學知識與實際生活的普遍聯系逐步提高學生的觀察、分析、歸納、類比、數形結合、概括探索發(fā)現能力。（2）通過橢圓標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的一般方法坐標法，并滲透數形結合、等價轉化的數學思想方法。3、情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學生的探索能力和進取精神，提高學生的數學思維的情趣，給學生以成功的體驗，形成學習數學知識的積極態(tài)度。二、教材內容及

2、重點、難點分析教材分析：本節(jié)教材整體來看是兩大塊內容：意識橢圓的定義和橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把用坐標法對橢圓的研究放在了重點位置上.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的. 重點：橢圓的定義和標準方程的應用；難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用；標準方程推導的關鍵是含有兩個根式的等式化簡. 三、教學對象分析（1）在必修2第二章里學生已經學習了直線和圓的方程，并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動探究橢圓知識的基礎；（2）根據日常生活中的經驗，學生對橢圓有了一定的認識，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認識理性化

3、將會是對他們的一個挑戰(zhàn)；（3）在初中階段沒有涉及過含兩個字母、兩個根式的方程化簡問題；四、教學用具：多媒體四、教學過程與活動設計教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖復習引入1.請同學們用集合的觀點敘述圓的定義。教師在黑板上，分別用圓規(guī)畫圓；用線繩畫圓。讓學生觀察、回答圓的定義。2.用多媒體演示“神州七號”飛船繞地球旋轉運行的畫面提問學生：“神州七號”飛船繞地球旋轉的軌跡是什么圖形？是圓嗎？思考回顧圓的定義是平面內到定點的距離等于定長的點組成的圖形叫做圓，定點成為圓心，定長稱為半徑。在數學學習中，我們可以用類比方法由學習、熟悉的知識引入新的知識。創(chuàng)設情境動手操作：讓同學們按課本上38頁的探究介紹的方

4、法，學生用一塊圖板，把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖分組討論1.畫出的軌跡是什么圖形？2.在作圖過程中，有哪些物體的位置沒變化？有哪些量沒有變化？3.移動的筆尖（動點）M點滿足什么幾何條件？M板書把平面內與兩個定點F1，F2，的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓。兩個定點叫做橢圓的焦點；兩點間的距離叫做橢圓的焦距注意：教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|提問：如何用集合表示M點所滿足的幾何條件？讓同學們勾畫課本

5、39頁橢圓定義的集合表示。學生思考、試驗，動手按課本上步驟畫圖。分析畫圖過程中的“變”與“不變”的條件M F1，M F2都在變化，但MF1+MF2的長度保持不變。整理試驗，歸納抽象成數學問題。學生回答：教師板書P=MMF1+MF2=2a勾畫課本39頁橢圓定義的集合表示。培養(yǎng)學生觀察能力，類比圓的畫法，解決問題。培養(yǎng)學生觀察能力、歸納總結能力，為形成橢圓定交奠定基礎。整理試驗，歸納抽象成數學問題。使學生能將文字語言轉化為數學語言，為推導橢圓標準方程做鋪墊。建構模式提問：大家還記得2.1.1中學習的求曲線方程的一般步驟是什么？知道了橢圓的定義，那如何建立坐標系，求橢圓的標準方程呢？(1)師生共同分

6、析橢圓的特征（如：對稱性），使方程比較簡單；以線F1F2的中心為原心，以F1F2垂直平分線為Y軸，建立直角坐標系。M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1（-c，0），F2（c，0）在黑板上畫出橢圓，并按步驟依次建坐標系CC12yoFFMx(2) 動點M滿足的幾何條件由橢圓的定義不難得出動點M滿足的條件為： （3）動點M滿足的代數方程： （4）化簡方程：（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)推導出了橢圓的方程，但還不夠簡潔，且x，y的系數形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，我們應該如何將方程進行變形呢？ 觀察39頁思考圖，找出表示a、c、的線段請結合圖形找出方程中a、c的關

7、系通過觀察y軸是F1 F2的中垂線，P到F1 F2的距離相等，OF1，OF2被y軸平分，所以：PF1=PF2=a,OF1=OF2=c,P0=由P0=，令b=,b2=a2-c2，即：代入得橢圓形標準方程：根據上圖知：ab0教師指出焦點在x軸上的橢圓的標準方程， （ab0）說明：（1）、方程中條件ab0不可缺少（2）、b的選取雖然是為了方程形式簡潔與和諧，但也有實際的幾何意義，即：b2=a2-c2；（3）、請學生猜想：若焦點在y軸上，得到的方程形式又如何呢？(啟發(fā)學生根據對稱性進行猜想)方程形式為：（ab0）請同學們課后進行推導驗證分析橢圓標準方程： 在橢圓的兩種標準方程中，都有的要求； 在橢圓的

8、兩種標準方程中，由于，所以可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上； 橢圓的三個參數之間的關系是，其中 大小不確定求曲線方程的步驟是：建立坐標系設動點坐標：尋找動點滿足的幾何條件；把幾何條件坐標化；化簡得方程；跟著老師一起化簡式子把焦點在y軸上，得到的方程抄在40頁抄筆記推導曲線方程時，建立坐標系要適當。鞏固已學過的兩點距離公式，為推導標準方程做準備。學習鞏固根式化簡，兩邊平方確定a、b、c的幾何定義及其關系給出焦點在Y軸上的橢圓標準方程讓同學們總結歸納，區(qū)分焦點在X軸與Y軸的不同。培養(yǎng)學生動手和思考的能力。拓展應用練習應用1、下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？

9、2.寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于10；解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示，取過點F1、F2 的直線為X軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸由題意，2a= 10，c=4所以 a=5，c=4，b=3 所求橢圓的標準方程為例題例1 已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，并且經過點，求它的標準方程問：（1）根據焦點可以設橢圓的標準方程是？（2）因點在橢圓上，那是否滿足橢圓方程？（3）需求標準方程，那要確定方程中的哪些未知數（a,b,c），該如何求呢？解：略例2 如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當點在圓上運動時，線段的

10、中點的軌跡是什么？分析：點在圓上運動，由點移動引起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標可由點來表示，從而能求點的軌跡方程解：略 請同學們嘗試自己完成例3。思考并動手操作加深大家對橢圓標準方程的記憶，同時深化大家對焦點在X軸與Y軸上的不同的理解通過例題的講解，更好的達到這堂課的目標，讓大家更熟練的運用所學知識。小結作業(yè)課堂小結：提問個別同學1.橢圓方程的標準形式為：（焦點在x軸和y軸）2.求動點軌跡方程(求曲線方程)的步驟是什么？學習了橢圓的定義和橢圓的標準方程，我們應注意以下幾點：（1） 一個重要關系式：a2-b2=c2（2） 橢圓的焦點位置由含x，y的分式的分母大小來確定（3）當2a=2c時，軌跡為線段，當2a 2c時，軌跡不存在作業(yè)：P42 3P49 2舉手回答提問抄筆記 總結課堂的主要內容和注意內容，讓課堂精彩開場，完美落幕。五、板書設計2.2.1橢圓及其標準方程橢圓：略 注意：橢圓標準方程：略例1 例2 六、反思