數(shù)學(xué)建模模型

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè) 題 目： 基金使用計劃 教 學(xué) 班： 教學(xué)X班 組 員： 指導(dǎo)老師： 二九年十二月一日一、摘要在社會生活中，我們常會遇到一筆資金有很多不同的投資機會，面對這些機會，我們可以選擇不同的投資方式，從而使這筆資金在一段時間內(nèi)達到收益最大化。本文涉及的問題是基金會的一筆資金，每年都要用一部分本息進行必要的資助，每年的資助金額要求大致相同，在可以將其存入銀行業(yè)可購買國庫券的倆中投資方式機會下，怎樣安排一個幾年的計劃，時期每年用于資助的金額盡可能多，而且?guī)啄旰笕匀槐Ａ粼械慕痤~不變。本文給出了基金存款策略的數(shù)學(xué)模型。對于基金M使用n年的情況而言,首先把M分成n份, 其中第i(1in)份存款M

2、i存期為i年,那么只有當?shù)趇(in-1)份資金按最佳存款策略存款到期后的本息和等于當年的資助金額,并且第n份資金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M與當年的獎學(xué)金數(shù)之和時,每年發(fā)放的獎學(xué)金才能達到最多。通過求解此模型,我們得到了基金的最佳存款策略,并求出了在n = 10 年, M = 2000 萬元的情況下,基金的最佳使用方案。在可存款也可購買國庫券時,采取一種轉(zhuǎn)化方法,將國庫券購買情況轉(zhuǎn)化為相應(yīng)年期的定期存款,結(jié)合問題(一) 即可求得在n =10年,M =2000萬元的情況下,基金的最佳使用方案;在第八年基金會慶祝時資助金額比其它年度多20%的問題的分析方法和模型的解決方法與前相同。

3、二、問題的重述某基金會有一筆數(shù)額為M元的基金，打算將其存入銀行或購買國庫券。當前銀行存款及各期國庫券的利率見下表。假設(shè)國庫券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時間不定。基金會計劃在n年內(nèi)每年用部分本息進行必要的資助，要求每年的獎金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額?；饡Ｍ@得最佳的基金使用計劃，以提高每年的獎金額。請你幫助基金會在如下情況下設(shè)計基金使用方案，并對M=2000萬元，n=10年給出具體結(jié)果：1 只存款不購國庫券；2 可存款也可購國庫券；3 在基金到位后的第8年為慶?；饡馁Y助成果，基金會希望這一年的獎金比其它年度多20%。     &

4、#160;          表1 銀行存款及國庫券年利率 銀行存款稅后年率/%   國庫券年利率/%活期0.576三個月1.368六個月1.512一年期1.584二年期1.8002.25三年期2.0162.52五年期2.2322.79           三、模型的假設(shè)（1）每年所發(fā)放獎金額保持相同；（2）銀行年利率假設(shè)在這n年內(nèi)保持不變；（3）銀行儲蓄中所得的利息

5、不考慮納稅金額，同時不計復(fù)息；（4）在每年年末發(fā)放資助金；（5）存款或國庫券到期及時取出，扣除部分用于年發(fā)獎金外立即存入銀行或購國庫券； (6) 基金在當年末一次性到位；(7) 國庫券每年發(fā)行一次且發(fā)行時間不定，且每次發(fā)行時三種利率的國庫券都發(fā)行；(8) 每年年初就已經(jīng)知道國庫券發(fā)行時間。 四、符號說明M 表示基金總數(shù)Mn 表示用于第n年發(fā)放資助金的投資額Rn 表示存款n年的利率X 表示每年資助金額n 表示第n年五、模型分析一只存款你購買國庫券模型現(xiàn)將M元分成n份，分別記作M1、M2、M3Mn。將Mn存入銀行n年，到期時取出，將本息和作為第n年資助金（第10年的本息和除作獎金為，還要留下原本金

6、M）。容易看出，同一筆款任意改變其倆個存款的先后次序不會改變其本息和。例如：現(xiàn)存一年后存三年與先存三年后存一年期，到期時本息和是一樣的。不僅如此，進過分析推演存2個一年期不如存1個二年期，存1個一年期再轉(zhuǎn)存1個二年期不如一次存1個三年期，以此類推，存2個三年期不如存1個一年期再轉(zhuǎn)存1個五年期注：該段參考文獻1。 (1+R1)(1+R1)<1+2R2 (1+R1)(1+2R2)<1+3R3(1+2R2)(1+2R2)<(1+R1)(1+3R3)(1+2R2)(1+3R3)<1+5R5(1+3R3)(1+3R3)<(1+R1)(1+5R5)由下式、得，先存一年定期再存

7、三年定期，或先存三年定期再存一年定期得到的利息是一樣的。 (一、三)Mn(1+R1)(1+3R3)=X (三、一)Mn(1+3R3)(1+R1)=X 結(jié)論 1：由于銀行存款沒有四年期，那么第四年底所發(fā)的獎金應(yīng)由先存一年定期，再存三年定期，或先存三年定期再存一年定期來實現(xiàn)，從而實現(xiàn)資金最優(yōu)化利用。結(jié)論 2：銀行存款最佳周期為五年。為滿足每年發(fā)放獎金最多，應(yīng)滿足一年期率息全部用于發(fā)放第一年獎金；二年期本息全部發(fā)放第二年獎金；三年期本息部分發(fā)放第三年獎金，余額再存一年定期全部發(fā)放第四年獎金；五年期本息用于發(fā)放第五年獎金及余額為M，從而五年實現(xiàn)基金第一次回籠。一周期最大利息存款方案投資時間（年初）投資

8、方案到期用處第一年一個一年期一年到期本息和作為第一年獎金第二年一個二年期二年到期本息和作為第二年獎金第三年一個三年期三年到期本息和作為第三年獎金第四年一個一年期與一個三年期四年到期本息和作為第四年獎金第五年一個五年期 五年到期后本息和除支出相應(yīng)的獎金外，余額為M二可存款也可購國庫券 仍將M元分成n份，分別記作M1、M2、M3Mn。Mn可作為存款或購買國庫券，其利息和用作第n年的獎金，最后一筆除獎金外，還應(yīng)留下基金本金M注：該段參考文獻1。由于國庫券在一年內(nèi)的不定期發(fā)行，為保證有國庫券是能夠機制買上，可以考慮將這筆錢以半年定期存入銀行，若在上半年發(fā)行國庫券，以活期利息提前支出，購買國庫券，當國庫

9、券到期時取出，再存一個半年定期，剩余的時間以活期計息；若早下半年發(fā)行國庫券，此時半年定期以到期，再以活期存入銀行，有國庫券時，立刻取出購買國庫券，到期時取出，剩余時間再存入活期。購買國庫券之前及到期取出之后的兩端時間之和為一年，因此購買一個n年期的國庫券實際需要n+1年。 購買國庫券時,需要存半年的定期和總共半年的活期。一定數(shù)量的資金存儲n 年,存期種類相同,任意改變順序,本息保持不變。再加上以上分析,如果準備購買兩年期國庫券可以這樣想象:先存半年定期,再存1個月的活期,在8月1日購買兩年期的國庫券,兩年后的8月1日取出國庫券的本息后,再存5個月的活期,即需要存半年的定期和總共三個月的活期及三

10、個月的定期注:該段參考文獻1。據(jù)此，下面考慮購買國庫券的情況。1) 第一年和第二年的獎金不能由買國庫券來實現(xiàn)，則和前面問題一相同。即：i. M1(1+R1)=Xii. M2(1+2R2)=X2) 3年時使用，如果考慮購買倆年期國庫券，則有三個月的活期,三個月的定期和半年定期及一個二年活期國庫券的利息，三年結(jié)束時單位資金增長結(jié)果：三年定期是優(yōu)選方案。i. 單位資金購買兩年國庫券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為:(1+2.25%*2)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)=1.0580ii. 單位資金存入銀行的三年定期,其年利率為:1+2.0

11、16%*3=1.06053) 4年時使用，經(jīng)分析，購買三年期國庫券，三個月定期，三個月活期和半年活期及一年定期獲的利息大于存一個三年定期再轉(zhuǎn)存一個一年定期的利息，因此購買國庫券是優(yōu)選方案。i. 單位資金購買三年國庫券、存入銀行三個月活期，三個月定期和半年活期后的本息為:(1+2.52%*3)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)=1.0888ii. 單位資金存入銀行的四年定期,其年利率為:（1+2.016%*3)(1+1.584%)=1.07734) 5年時使用，經(jīng)分析，購買三年期國庫券，三個月定期，三個月活期和半年活期及一年定期，投資結(jié)束時資

12、金增長小于五年定期存款，則五年存款為最優(yōu)方案。i. 單位資金購買三年期國庫券，加三個月活期，三個月定期和半年活期及一年定期后的本息為:（1+2.52%*3)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+1.584%)=1.1063ii. 單位資金存入銀行的五年定期,其年利率為:1+2.232%*5=1.11165) 6年時使用，經(jīng)分析，購買五年期國庫券，在六年結(jié)束后資金增長大于五年定期存款，則夠買國庫券為最優(yōu)方案.i. 單位資金購買五年國庫券、存入銀行半年定期和半年活期后的本息為:(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.3

13、68%*0.25)(1+1.512%*0.5)=1.1537ii. 單位資金存入銀行的六年定期,其年利率為:（1+2.232%*5）(1+1.512%)=1.1284可獲最大利率（%）一年期1.584二年期1.800三年期2.016四年期2.220五年期2.232六年期2.562結(jié)論1:要獲得最大的資金增長，應(yīng)選擇一年定期,二年定期，三年定期以及三年國庫券和五年國庫券。結(jié)論 2：由于沒有四年期存款或國庫券，那么第四年底所發(fā)的獎金應(yīng)由購買三年國庫券實現(xiàn)，從而實現(xiàn)資金最優(yōu)化利用。結(jié)論3：五年投資最后方案為存款。為滿足每年發(fā)放獎金最多，應(yīng)滿足一年期率息全部用于發(fā)放第一年獎金；二年期本息全部發(fā)放第二年

14、獎金；三年期本息全部發(fā)放第三年獎金，第四年由購買的三年國庫券本息發(fā)放第四年獎金；五年期國庫券本息用于發(fā)放第五年獎金；以此類推，直到第十年本息用于發(fā)放第十年獎金及余額為M，從而實現(xiàn)基金合理投資。M=2000萬元，n=10年基金使用總體規(guī)劃投資時間（年初）投資方案到期用處第一年一個一年期存款一年到期本息和作為第一年獎金第二年一個二年期存款二年到期本息和作為第二年獎金第三年一個三年期存款三年到期本息和作為第三年獎金第四年一個三年期國庫券四年到期本息和作為第四年獎金第五年一個五年期存款五年到期本息和作為第五年獎金第六年一個五年期國庫券六年到期本息和作為第六年獎金第七年一個五年期國庫券，一個一年期存款七

15、年到期本息和作為第七年獎金第八年一個五年期國庫券，一個二年期存款八年到期本息和作為第八年獎金第九年一個五年期國庫券，一個三年期存款九年到期本息和作為第九年獎金第十年一個五年期國庫券，一個三年期國庫券，一個一年期存款十年到期后本息和除支出相應(yīng)的獎金外，余額為M三基于八年慶祝的最佳投資模型如果基金會希望將基金會慶祝年度的資助額在上一年的基礎(chǔ)上提高20%，那么需要對問題一及問題二的模型作一定的修改注：該段參考文獻1。方案一：直存款步購買國庫券 因基金會要在基金到位后的第八年舉行慶祝,所以此年資助金應(yīng)是其他年度的1.2 倍，相比問題一而言需要作長久的方案，即十年計劃。方案二：即可存款也可購買國庫券在問

16、題三中只涉及到對第八年度的資助金額的提高問題，所以只需將問題而最優(yōu)方案中的第八年的金額數(shù)乘以1.2即可得到本方案的最優(yōu)情況。即，將公式八中：M8(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)(1+1.584%*2）=X 改為 M8(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)(1+1.584%*2）=1.2X。六、模型的求解一只存款你購買國庫券模型由結(jié)論1，結(jié)論2可得n年的最佳存款方案方程組：ü M1+M2+M3+M4+M5=Mü M1(1+1.5

17、84%)=Xü M2(1+1.8%*2)=Xü M3(1+2.016&*3)=Xü M4(1+2.016%*3)(1+1.584%）=Xü M5(1+2.232%*5)=M+X據(jù)以上公式用Matlab 可以求得n=10年, M = 2000 萬元時基金使用的最優(yōu)結(jié)果: (單位:萬元)在用matlab實現(xiàn)時我們需要對上述方程組進行必要的改動：ü M1+M2+M3+M4+M5+0X=Mü M1(1+1.584%)-X=0ü M2(1+1.8%*2)-X=0ü M3(1+2.016&*3)-X=0

18、2; M4(1+2.016%*3)(1+1.584%)-X=0ü M5(1+2.232%*5)-X=MMATLAB計算程序及結(jié)果見附錄一每年發(fā)放資助金：X=43.2M1=M6=42.5 ;M2=M7=41.7 ;M3=M8=40.8 ;M4=M9=36.9 ;M5=M10=1838.1 .M=2000萬元，n=10年基金使用總體方案（單位：萬元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款數(shù)額（本息）每年發(fā)放資助金第一年初42.541.777.71838.1第一年末43.243.2第二年末43.243.2第三年末42.585.743.2第四年末43.243.2第五年末42.541.7

19、77.71838.12043.243.2第六年末43.243.2第七年末43.243.2第八年末42.585.743.2第九年末43.243.2第十年末2043.243.2二可存款也可購國庫券由結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3可得n年的最佳方案方程組：ü M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10=Mü M1(1+1.584%)=Xü M2(1+1.8%*2)=Xü M3(1+2.016&*3)=Xü M4(1+2.52%*3)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)=Xü

20、; M5(1+2.232%*5)=Xü M6(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)=Xü M7(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+1.584%)=Xü M8(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+1.8%*2)=Xü M9(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.

21、5) (1+2.016&*3)=Xü M10(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+2.52%*3)(1+1.584%)=X+M據(jù)以上公式用Matlab可以求得n=10年, M = 2000 萬元時基金使用的最優(yōu)結(jié)果: (單位:萬元)在用matlab實現(xiàn)時我們需要對上述方程組進行必要的改動：ü M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10-0X=Mü M1(1+1.584%)-X=0ü M2(1+1.8%*2)-X=0ü M3(1+2.016&

22、amp;*3)-X=0ü M4(1+2.52%*3)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)-X=0ü M5(1+2.232%*5)-X=0ü M6(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5)-X=0ü M7(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+1.584%)-X=0ü M8(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25

23、)(1+1.512%*0.5) (1+1.8%*2)-X=0ü M9(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+2.016&*3)-X=0ü M10(1+2.79%*5)(1+0.576%*0.25)(1+1.368%*0.25)(1+1.512%*0.5) (1+2.52%*3)(1+1.584%)-X=MMATLAB計算程序及結(jié)果見附錄二每年發(fā)放資助金：X=46.6 M1=45.8 ;M2=44.9 ;M3=43.9 ;M4=42.8 ;M5=41.9 ;M6=40.4 ;M7=39.7

24、;M8=39.0 ;M9=38.1 ;M10=1623.5 .M=2000萬元，n=10年基金使用總體方案（單位：萬元）Mn一年二年三年四年五年六年七年八年九年第十年投資45.844.943.942.841.940.439.739.038.11623.5本息46.646.646.646.646.646.646.646.646.62046.6三基于八年慶祝的最佳投資模型 因基金會要在基金到位后的第八年舉行慶祝，所以此年資助金應(yīng)是在其它年的1.2倍。方案一：直存款步購買國庫券在通本方案實現(xiàn)問題三時，需要對十年計劃做整體布局：ü M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10

25、=Mü M1(1+1.584%)=Xü M2(1+1.8%*2)=Xü M3(1+2.016&*3)=Xü M4(1+2.016%*3)(1+1.584%）=Xü M5(1+2.232%*5)=Xü M6(1+1.584%)(1+2.232%*5)=Xü M7(1+1.8%*2)(1+2.232%*5)=Xü M8(1+2.016&*3)(1+2.232%*5)=Xü M9(1+2.016%*3)(1+1.584%)(1+2.232%*5)=Xü M10(1+2.232%*5)(

26、1+2.232%*5)=M+X利用matlab軟件求解n=10年，M=2000萬元是基金使用結(jié)果：(單位:萬元)ü M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10+0X=Mü M1(1+1.584%)-X=0ü M2(1+1.8%*2)-X=0ü M3(1+2.016&*3)-X=0ü M4(1+2.016%*3)(1+1.584%)-X=0ü M5(1+2.232%*5)-X=0ü M6(1+1.584%)(1+2.232%*5)-X=0ü M7(1+1.8%*2)(1+2.232%*5)-X=0ü M8(1+2.016&*3)(1+2.232%*5)-1.2X=0ü M9(1+2.016%*3)(1+1.584%)(1+2.232%*5)-X=0ü M10(1+2.232%*5)(1+2.232%*5)-X=MMATLAB計算程序及結(jié)果見附錄三每年發(fā)放資助金：X=42.4M1=41.7 ;M2=40.9 ;M3=40.0 ;M4=36.2 ;M5=38.2 ;M6=37.6 ;M7=36.8 ;M8=43.2 ;M9=32.5 ;M10=1652.9 .M=2000萬元，n=10年基金使用總體方案（單位：萬元）Mn一年二年三