八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形的證明

1、三角形的證明本章知識(shí)點(diǎn)歸納：1、線段垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理：定理：線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的直平分線上.2、角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理：定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))到這個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上3、等腰三角形的性質(zhì):等邊對(duì)等角：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。三線合一：等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合推論：等腰三角形的兩底角的平分線相等；兩腰上的中線相等；兩腰上的高相等。等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半4、

2、等腰三角形的判定：等角對(duì)等邊：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形 命題、公理、定理命題：判斷性的語句,是陳述句幾個(gè)重要的公理（不需證明）：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行（3）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）同位角相等，兩直線平行；（5）兩直線平行，同位角相等。1.1 等腰三角形1、 選擇、填空題1.等腰三角形的底邊為7cm，一邊上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，則腰長為（ ） 20cm10cm10cm或4cm 4cm 2.中，垂直平分，交AC、AB于點(diǎn)E、D，則的度數(shù)為（） 3.如果ABC的A，B的外角平分線分別平行于BC，AC，則AB

3、C是( ) A等邊三角形 B等腰三角形 C. 直角三角形 D等腰直角三角形4.已知AOB30，點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部P與P關(guān)于OB對(duì)稱，P與P關(guān)于OA對(duì)稱，則O，PP三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是( )A. 直角三角形 B鈍角三角形 C. 等腰三角形 D等邊三角形5.如圖，在下列三角形中，若AB=AC，則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是( ) A(1)(2)(3) B(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D(1)(3)(4)6.如圖，把腰長為的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個(gè)小三角形的周長是_ 7.已知等腰三角形中，為邊上一點(diǎn)，連接，若和都是等腰三角形，則的度數(shù)是 二、解答題8.ABC中，B

4、AC90，ABADAC，AD與BC相交于E，CAD30，求BCD和DBC的度數(shù)。9.ABC中，ACB90，ACAE，BC=BF，求ECF的度數(shù)。10.如圖，ABC中，AB=AC,在AB上取一點(diǎn)D,在AC延長線上取一點(diǎn)E,連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，若F是DE中點(diǎn)，求證：BD=CE.11.如圖，AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，且ABD=ACE，求證：BF=CF 12.如圖，中，E在AC上，且，DE的延長線與BC相交于F。求證：13.如圖，AB=AC，D在BC上，DEAB于E，DFBC交AC于點(diǎn)F，若EDF=70，求AFD的度數(shù)。14.如圖，CA=CB,DF=DB,AE=AD,

5、求A的度數(shù)。15.如圖，等邊ABC中，分別延長BA至點(diǎn)E，延長BC至點(diǎn)D，使AE=BD 求證：EC=ED16.如圖，ABC中，1=2，EDC=BAC,求證：BD=ED。17.如圖，ABC中，ABC=2C，AD是BC邊上的高，B到點(diǎn)E，使BE=BD求證：AF=FC1.2 直角三角形一、選擇題1.ABC中，C=90，AD為角平分線，BC=32，BDDC=9 7, 則點(diǎn)D到AB的距離為( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm2在ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P使得點(diǎn)P到ABC的三邊距離相等，則點(diǎn)P應(yīng)是ABC的哪三條線交點(diǎn)（ ） A.高 B.角平分線 C.中線 D.邊的垂直平分線3如圖，ABC

6、中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，下列說法正確的有幾個(gè) （ ） （1）AD平分EDF；（2）EBDFCD；（3）BD=CD；（4）ADBCA.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4 RtABC中，CD是斜邊AB上的高，B=30，AD=2cm，則AB的長度是（ ） A2cm B4cm C8cm D16cm5 如圖，E是等邊ABC中AC邊上的點(diǎn)，1=2，BE=CD，則對(duì)ADE的形狀最準(zhǔn)備的判斷是（ ）A 等腰三角形 B等邊三角形 C不等邊三角形 D不能確定形狀二、解答題6.如圖，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BCDC.你能說明BE與DF相等嗎？7.如圖，在ABC中，ACB=

7、90，CDAB于D，A=30.求證:BD=1/4AB8.如圖，在ABC中，AB=AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BDDE于D，CEDE于E（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖）且AD=CE，說明：BAAC（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖）其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？請(qǐng)證明9.如圖，四邊形ABCD中，ABC和ADC都是直角，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)， 試判斷MN和BD垂直嗎？為什么？10.如圖，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，且滿足AC=AD，證明：AB2=AC2+BCBD11.如圖，ABC中，AB=AC,AD和BE兩條高，交于點(diǎn)H，且AE=BE.求證：AH=2BD12. 如圖，DEF中，EDF=2E

8、，F(xiàn)ADE于點(diǎn)A，問：DF、AD、AE間有什么樣的大小關(guān)系？13. 如圖，已知ABC中，ABAC，F(xiàn)在AC上，在BA的延長線上取AEAF，求證EFBC1.3 線段垂直平分線與角平分線1、ABC中，AB=AC，BAC=100，兩腰AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)P，則（ ） A、點(diǎn)P在ABC 內(nèi) B、點(diǎn)P在ABC 底邊上 C、點(diǎn)P在ABC 外 D、點(diǎn)P的位置與ABC 的邊長有關(guān)2、如果三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)恰好落在第三邊上，則這個(gè)三角形是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、等邊三角形3、已知A和B兩點(diǎn)在線段EF的中垂線上，且EAF=100，EBF=70,則AEB等于(

9、) A、95 B、15 C、95或15 D、170或304、如圖1，在銳角ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BMMN的最小值是 。5、如圖2，四邊形ABCD中，ADBC，若DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分ABC，則AB的長與ADBC的長的大小關(guān)系是（ ） A、ABADBC B、ABADBC C、ABADBC D、無法確定6、如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EFAB于F， 則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A ACD=B BCH=CE=EF CCH=HD DAC=AF7、 如圖，直線l

10、1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站， 要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A、1處 B、2處 C、3處D、4處8、如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點(diǎn)D，則對(duì)于下列結(jié)論：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分線上其中正確的是（ ）A B C和 D二、填空題10、ABC中，C=B，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AE=2cm，且DEBC，則AD=_11、一燈塔P在小島A的北偏西25，從小島A沿正北方向前進(jìn)30海里后到達(dá)小島，此時(shí)測(cè)得燈塔P 在北偏西50方向，則P與小島B相距_12、如圖，在ABC中，C=90，AD是角平分線，DEAB于E，

11、且DE=3 cm，BD=5 cm，則BC=_cm.13、點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，A=60， 則BOC的度數(shù)為_二、解答題14、如圖，B=C=90，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC，求證：AM平分DAB.15、如圖，在中，AD是的平分線. 求證：16、如圖，AF是ABC的角平分線，BDAF交AF的延長線于D，DEAC交AB于E，求證：AE=BE17、 如圖，ABC中，AB=AC，BAC=120，ADAC交BC于點(diǎn)D，求證：BC=3AD.18、如圖，點(diǎn)E是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB，ABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC，且BE平分DBC，求BDE的度數(shù)19、如圖，RtABC的斜邊AB

12、中點(diǎn)為E，EDAB交BC于D，且CADBAD17,求BAC的度數(shù)。20、如圖：在正方形ABCD中E是邊AB上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC延長線上的一點(diǎn)，EF 交邊CD于點(diǎn)G，AE=CF （1）求證：點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上 （2）如果EF交正方形的對(duì)角線BD于點(diǎn)P，BP=BE,求證：EP=FG21、如圖，已知BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于E求證：AE平分FAC.22、如圖，在ABC中，ACB90，D是BC延長線上一點(diǎn)，BD的垂直平分線交AB于P，PD交AC于E，求證：點(diǎn)P也在AE的垂直平分線上。23、已知中，AB=2AC,AD平分AD=BD,求證：24、如圖，ABC中，AD平分BAC

13、，若AC=AB+BD，求B：C的值. 25、如圖，ABC中，AB=AC, A=100，BD平分ABC,求證：BC=BD+AD26、如圖四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，DB=180，求證：ADAB=2AE27、如圖，ABC中，B=60，角平分線AD、CE交于點(diǎn)O,求證：AE+CD=AC.28、如圖所示，AD/BC，AE平分DAB，BE平分ABC，直線DC過點(diǎn)E交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C，求證：（1）E為DC的中點(diǎn)；（2）ADBC=AB.綜合測(cè)試題1、如圖，ABC，ACB的平分線交于F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E。求證：BDECDE。2、如圖ABC中，ACB=90，D為

14、BC延長線上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，EM垂直平分BD，M為垂足，DE交AC于F，求證：E在AF的垂直平分線上.3、如圖，CD、CE分別是AB邊上的高和中線，且。求證：4、如圖，DE、FM、GN分別垂直平分AB、AD、BD。求證：AF=FG=BG。5、 如圖，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，EFAB于F，且CE=EF。求證：FG/AC6、如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，ACD和BCE是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。求證：（1）AOB120；（2）CMCN；（3）MNAB。7、如圖所示，CE是ABC的角平分線，過點(diǎn)E畫BC的平行線，交AC于點(diǎn)D，交外角ACG的平分線于點(diǎn)F.試證明DE=DF.8、ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE，DE交BC于P，求證：DP=EP. 9、 如圖所示，在ABC中，C=90，BAC=60，AB的垂直平分線交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的長.10、如圖，在RtABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分線分別與BC，AB交于M、N.求證MB=2AC.11、如圖所示，CE是ABC