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文檔簡介

1、利用換元法證明不等式廖東明 合理換元往往能簡化題設的信息、凸顯隱含條件、溝通量與量之間的聯系，對發(fā)現解題思路、優(yōu)化解題過程具有重要作用換元法在不等式證明中也具有獨特的作用一、三角換元在一些代數不等式證明中，選用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化為三角問題，充分利用三角函數的性質可以使問題化難為易例已知，求證：分析：條件表示的圖形是一個圓環(huán)，可采用三角換元，分離出參變量和，進而利用同向不等式的乘積法則使問題獲解證明：令，則，又，即點評：三角換元法依據的公式有，等，要求解題者善于類比和聯想，并且根據具體問題靈活處理如對條件可作三角換元，二、代數換元對于那些具有一定結構特色的代數式，根據題目的特

2、點，巧設某些代數式作換元，往往能收到化繁為簡化難為易的功效局部式子換元例已知，且求證：分析：注意到，作換元（），便可凸顯關系，簡化書寫，使問題快捷得解證明：令，由可知，即點評：解題過程中要善于聯想和變用，如由（）可以得到恒等式（也滿足）這樣，可以開啟思路，簡化過程均值增量換元例已知，求證：分析：由于在條件等式和待證不等式中都具有輪換對稱性，易知不等式在時取得等號，在中的平均值就是，故采用均值增量代換法證題證明：根據，設，其中，則點評：本例的均值增量代換，首先進行一系列的等式轉化，最后利用非負數的性質由相等實現向不等轉化，解答自然流暢，且降低了尋找解題突破口的難度簡化分母換元例設是三角形三邊的長，求證：分析：審視待證不等式，字母具有輪換對稱性，易知在時取得等號，通過對分母換元簡化分母，變成容易利用平均值不等式的形式來使問題獲解證明：令，則均為正數，且，于是，當且僅當、即時取得等號故原不等式成立點評：通過對分母換元，簡化分母，“復雜”分子，為利用平均值不等式創(chuàng)造有利條件，使問題化難為易例若，求證：分析：審視待證不等式，字母具有輪換對稱性，令解得，即在時取得等號，通過對分母換元簡化分母，巧妙利用平均值不等式進行證明證明：，設，、，則原不等式等價于而，即當且僅當及及，即亦即時取得等號故點評：本例兩次應用平均值不等式，在第二次使用時還使用了

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